图的上可嵌入性与圈中顶点度

本文利用非上可嵌入图的充要条件,结合圈中顶点最大度与图的上可嵌入性之间的关系,得到了下两个结果:(1)设G是2-边连通简单图,若对G中任意圈G,存在点x∈C满足,d(x)>|V(G)|/3 1,则图G是上可嵌入的,且不等式的下界是不可达的.(2)设G={x,y;E}为简单二都图,且是2-边连通的. |x|=m,|Y|=n(m,n≥3),若对G中任意圈C,存在点x∈C且x∈X满足d(x)>n/3 1,则图G是上可嵌入的,且不等式的下界是不可达的.     

图的指数多个最大亏格嵌入与完全图的亏格嵌入

本文研究一般图的最大亏格嵌入的计数问题及其应用. 结果表明: 一个连通图往往有指数级别多个最大亏格嵌入. 特别地, 一个简单的n阶3-正则图G至少具有${(\sqrt{2})}^{m+n+\frac{\,\alpha}{\,2}}$个不同的最大亏格潜入, 其中α与m分别是G的最优树T的内部节点数目和G&;#8722;T的奇连通分支数目. 值得注意的是: (不同)图的最大亏格与最小亏格之间存在着某些必然联系. 事实上, 作为以上结果的一个直接应用, 证明了如下结果: 对于充分大的形如12s+4, 12s+7, 12s+10的自然数n, 完全图K_n至少具有$C2^{\frac{\,n}{\,4}}$个不同的最小亏格嵌入, C是一个与n关于模12剩余类有关的常数. 这些结果从本质上改进了V. P. Korzhik与H.-J. Voss所得到的结果, 并且所用的方法更加直接而简洁.     

几类新的上可嵌入图

讨论了几类上可嵌入的边连通简单图,得到了如下结果:若G为简单连通图,且满足以下条件1)-3)之一:1)G为1-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤3,2)G为2-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤5,3)G为3-边连通的,且不含完全图K_3,α(G)≤10,则G是上可嵌入的,且在上述相应条件下,独立数上界都分别是最好的.     

基本圈与图的曲面嵌入

本文研究图的基本圈与图在可定向曲面上的嵌入之间的关系．本文结果表明：一个图G可以嵌入到亏格至少为g的可定向曲面上的充分必要条件是：对于G中任意一个支撑树T,存在一个基本圈序列C1,C2,…,Q2g,使得对于每一个i：1≤i≤g,C2i-1∩C2i≠0．特别地,在T的β（G）个基本圈中有基本圈序列C1,C2…,Q2γM（G）,使得Qt-1∩C2t≠0对于每一个i：1≤i≤γM（G）成立．这里β（G）和γM（G）分别是G的Betti数和最大可定向亏格．这个结果的意义在于：我们可以从任意一个支撑树（可以具有任意奇连通分支数）出发去构造图在可定向曲面上的嵌入．这在本质上有别于Xuong与Liu在最大亏格方面的工作（即,从具有最小奇连通分支数的支撑树出发构造图嵌入）．事实上,这个结果在本质上同时推广了Xuong-Liu与Fu等在最大亏格方面的工作．作为这一结果的直接应用,本文得到以下结果：（1）提出了用于计算图的最大亏格的新条件,它尤其适用于计算具有特定边割（edge—cut）图的最大亏格．并得到一些新的与已知的著名结果（包括Huang在曲面嵌入图方面的工作）．（2）最大亏格问题可以归结为在基本相交图中求最大对集问题．结合Micali-Vazirani的一个有效算法,我们设计出了一个用于计算图的最大亏格的多项式算法,它的复杂度是O（（β（G））^5/2）,这一算法与Furst等人的算法相比更加直接、便于计算．     

图的上可嵌入性与独立顶点的度和

设G=（V,E）是2（或3）-边连通的简单图,独立数为α,围长为g,n=｜V｜.若下列条件之一成立：（1）独立数α＆lt;3g2（或6g-21）;（2）对G中任意含有m=3g2（或6g21）个顶点的独立集{v1,v2,...,vm}V,当g为偶数时,im=1dG（vi）n＋4（或n-11）;当g为奇数时,im=1dG（vi）n2（或n＋1）.则G是上可嵌入的.     

图和它补图的上可嵌入性

主要得到了如下结果:如果G是一个重图,那么图G或者它的补图Gc是上可嵌入的.     

图的上可嵌入性与2-因子（英文）

对含有4边形2因子的3连通图和k正则图的上可嵌入性进行了讨论,得到了一些上可嵌入图类.     

3-边连通图的Betti亏数与奇度点

图G是3-边连通的且G的奇度点的数目为k.若k小于等于4,则G是上可嵌入的; 若k大于等于6,则ξ(G)小于等于k/2减去1.而且当k不小于6时,存在无限多个3边连通图G使得ξ(G)等于k/2减去1.     

一类特殊连通图的最大亏格的下界

主要考虑了一些特殊连通图(即含有O-型点或Ⅱ-型对点的连通图)的最大亏格的下界,得到了1/3β(G)是一些特殊连通图的最大亏格的下界。     

关于(ξ,1)-临界图与上可嵌入性

设G为连通图,且ξ(G)=k≥1,若对G中任意边e,有ξ(G\e)=k-1,则称G为(ξ,k)-临界图.利用ξ-1-临界图的上可嵌入性,通过研究ξ-1-临界图的加重边、点扩张、圈扩张的ξ-1-临界性,得到了新的上可嵌入图,从而丰富了上可嵌入图的种类和求法.