例谈导数法可能引起的错解

导数作为高中数学的新增内容,为解决函数单调性、最值（极值）、零点及交点问题提供了有力的工具.但借助导数工具解决某些特殊函数时还有一些注意的地方,否则会导致一些不易察觉的错误,下面举例说明.     

一道求字母范围例题的错解辨析

例　ｍ是什么实数时 ,关于ｘ的方程ｘ2 (ｍ - 2 )ｘ (5 -ｍ) =0的二不等根均大于 2 .错解　分离出ｍ =ｘ2 - 2ｘ 51 -ｘ ,即ｍ=- [(ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ](ｘ >2 ) ,问题转化成求关于ｘ的函数ｍ的值域 .∵ (ｘ - 1 ) 4ｘ - 1 ≥ 4(当且仅当ｘ =3时取“ =”) ,∴ｍ≤ - 4 .图 1　例题图辨析　为研究的方便 ,需用到一个重要函数 ｆ(ｕ) =ｕ ａｕ (ａ >0 ,ａ为常数 )的单调性 :ｆ(ｕ) 在 (0 ,ａ]上递减 ,在 [ａ , ∞ )上递增 (用单调性定义易证 ) .本题设ｕ =ｘ - 1 ,∵ｘ >2 ,∴ｕ >1 .设 ｙ1=ｍ ,ｙ2=- (ｕ 4ｕ) (ｕ >1 ) ,于是题目中的…     

“恒成立”问题的一种错解分析

本刊2002年22期《再解“恒成立”问题》一文介绍了以下一种求解“恒成立问题”的方法,笔者认为存在逻辑推理方面的错误。为了便于说明,将原文中的解法摘录如下。     

两个概率问题的错解辨析

我们经常会碰到这样的情形，凭经验和常识，我们认定一种结果是正确的，其解答也无懈可击，但有人却强词夺理，硬是从另一个角度“合情合理”地得出了另一个从常理上感到怀疑的结果，明知有漏洞，却一时无法反驳．请看下面的例子：假定抛起三枚硬币，并注意观察各枚落下后是国徽向上或是麦穗向上，问三枚硬币向上的一面完全相同的概率是多少？     

（225）马氏体的相变及亚结构形成的位错理论

本文提出（２２５）马氏体的惯习面为旋转了的（１１２）ｒ面，并研究了相变位错，确定了相变位错的Ｂｕｒｇｅｒｓ矢量。由计算的相变应力所预言的亚结构，与实验符合的很好。     

退火温度对a-Se0.70Ge0.15Sb0.15薄膜的结构和光学性质的影响

研究了退火温度对Se0.70Ge0.15Sb0.15薄膜的影响.通过热蒸发技术,在300K温度下将大块无定形Se0.70Ge0.15Sb0.1s沉积在石英和玻璃衬底上.研究发现,未经过退火处理的薄膜结构和在300K,1.33×10-5Pa下退火1小时后的薄膜结构都是无定形结构,而在同样气压470K温度下退火1小时的薄膜有结晶现象.通过在300 2 500nm范围内垂直入射光方向上透射率和反射率的测试,研究了薄膜的一些光学参数,如消光系数(k),折射系数(n)和吸收系数(a).研究发现,n和k同热处理温度有关.通过光学数据的分析,得到了不同条件下薄膜的间接带隙宽度(Enong),未经过热处理薄膜的Enong是1.715±0.021eV,300K下退火薄膜的Enong是1.643±0.021eV,470K下退火的Enong是1.527±0.021eV.退火温度降低了带隙宽度Enong,但增加了带尾eo这种效应可以根据Mott和Davis提出的多晶体系中态密度来解释.     

氧化锌纳米带中的面缺陷

面缺陷是纳米带中非常普遍和非常重要的一类缺陷。在有些情况下，面缺陷对于高表面能指数面的出现起着决定性的作用。同时。它们可以诱导纳米带沿着特殊的方向生长。面缺陷可以是孪晶或双晶，层错和由杂质原子聚集在特定原子面所形成的间隙原子层。在本文中。利用透射电子显微术，我们将介绍氧化锌纳米带中被发现的几种面缺陷。我们确认了两种孪晶／双晶结构，它们的孪晶面分别是（01^-13）和（^-2112）面。基面层错有I1和I2两种。在大尺寸的纳米带中，I1基面层错可以折叠到（2^110）面形成棱面层错。当少量的In离子掺入氧化锌纳米带后，我们发现伴随着杂质In在基面的聚集，形成了两种倒反畴界。     

浅部隔离煤柱对覆岩运移的控制及其合理留设

为了揭示西部浅埋工作面沿倾向方向开采时隔离煤柱对覆岩运移的控制作用,以大柳塔煤矿为工程背景,采用相似材料模拟试验方法,分析工作面开采中隔离煤柱对覆岩垮落、移动变形的控制作用及其应力变化特征,并确定煤柱的合理留设。研究结果表明,采区倾向方向上,由于工作面间存在隔离煤柱,各工作面开采会形成彼此独立的垮落带,隔离煤柱有效地分隔了相邻工作面垮落空间的横向贯通和纵向扩展,隔开了相邻工作面上覆岩层沉降曲线;覆岩垮落高度与工作面倾向开采长度密切关系,非充分采动较充分采动时覆岩垮落高度明显降低。在煤层开采过程中,留设30 m宽的1^#~4^#煤柱处于稳定状态,但3^#、4^#煤柱安全性较低。理论计算出了2^-2煤和5^-2煤合理煤柱宽度分别为18.6 m、24.5 m,得出了避开煤柱集中应力与控制地表均匀沉降的上下煤层煤柱最佳错距为95.5 m。     

考虑晶界效应的多晶体有限变形分析

将晶界及其影响区综合考虑，建立了考虑晶界效应的力学模型，结合晶体塑性理论，利用有限变形有限元对多晶体进行数值模拟，数值结果显示了细观层次下晶粒变形场的特点，理论计算同实验定性一致。