2014年自主招生试题中的不等式问题赏析

不等式是中学数学的重要内容,是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具,因而是高中数学竞赛和自主招生考查的重点知识.自主招生中的不等式试题不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力,其中一些试题的综合性较强,内容涉及到函数、方程、数列、三角、解析几何、向量、复数、线性规划、实际问题等．不等式的概念和性质是进行不等式的变换、证明不等式的依据．在证明不等式时,也要注意均值、柯西不等式、琴生不等式等重要不等式的灵活运用．     

函数图像交点问题的几种类型

分析近年高考试题不难发现,函数图像交点问题是高考中的一大热点问题.一般地,此类问题可以分为:f(x)与直线的交点问题、f(x)与g(x)(非直线)的交点问题、曲线的切线条数问题和方程根的问题,本文中对这四种类型加以解析,希望对同学们有所帮助!     

关于非线性泛函的一个问题

Suppose that H is a Hilbert space, D is a convex closed set inis a functioal, f(x)=1/2‖x‖²-g(x). Suppose that the minimum of f(x) withrespect to D is attained at x₀∈D and f(x) has a bounded linear Gateaux differential at x₀. In this paper we prove that f(x₀) is a critical value of f(x) when and only when g′(x₀)∈I_D(x₀)={(1-λ)x₀+λy|y∈D.λ≥0}.     

一道导数题的求证感悟

评注 学生思路直接易想,将函数极小值转化为关于a的函数,但运算超出学生能力范围,导致无为之错．参考解答,另辟蹊径,将a换成x2,将x2视为主元,构造新函数,其中x2〉1是关键．