Weak Tensor Category and Related Generalized Hopf Algebras

There are at least two kinds of generalization of Hopf algebra, i.e. pre-Hopf algebra and weak Hopf algebra. Correspondingly, we have two kinds of generalized bialgebras, almost bialgebra and weak bialgebra. Let L = （L, ×, I, a, l, r） be a tensor category. By giving up I, l, r and keeping ×, a in L, the first author got so-called pre-tensor category L = （L, ×, a） and used it to characterize almost bialgebra and pre-Hopf algebra in Comm. in Algebra, 32（2）： 397-441 （2004）. Our aim in this paper is to generalize tensor category L = （L, ×, I, a, l, r） by weakening the natural isomorphisms l, r, i.e. exchanging the natural isomorphism ll^-1 = rr^-1 = id into regular natural transformations lll= l, rrr = r with some other conditions and get so-called weak tensor category so as to characterize weak bialgebra and weak Hopf algebra. The relations between these generalized （bialgebras） Hopf algebras and two kinds generalized tensor categories will be described by using of diagrams. Moreover, some related concepts and properties about weak tensor category will be discussed.     

左n-角范畴的稳定化及Grothendieck群

本文证明了左n-角范畴的稳定化范畴具有n-角结构,并证明了当n为奇数时,左n-角范畴的Grothendieck群与其稳定化范畴的Grothendieck群同构.     

对离散数学课程中结构主义观点的思考

离散数学课程的知识结构,是课程教学的一个重要问题.本文在厘清其基于集合论结构主义观点的基础上,自然地导入范畴论的概念,并说明离散数学教学中从集合论结构主义观点向范畴论结构主义观点转向的合理性.     

珠数合一:催化珠心算教育普及

<正>中国珠算心算协会会长丁先觉指出:"在珠算发祥的中华大地要抓住大好时机稳步地推进珠心算教育的普及。这是顺应科学发展历史潮流、合乎广大家长要求和新一代儿童发展需要的。"那么,我们怎样促进珠心算教育的普及?笔者认为,把珠数合一的珠心算纳入幼儿园"科学"领域教育范畴,是科学而合理的启蒙教育策略。     

相对于半对偶化模的Gorenstein同调维数与Auslander范畴

设$R$是一个局部noether环. 我们在本文中研究了相对于半对偶化模$C$的Gorenstein投射, 内射与平坦模. 给出了$C$-Gorenstein同调维数与$\hat{R}$的Auslander范畴之间的关系.     

范畴CDCPO及其子范畴的完备性

讨论范畴CDCPO的完备性以及余积的存在性。证明了CDCPO的子范畴L-CDCPO不是完备的;给出了该范畴的一个非满的完备子范畴LCDOM并证明了该子范畴存在余积。给出了L-CDCPO范畴的满子范畴LCDOMI并证明其存在等值子。     

Gorenstein子范畴与相对奇点范畴

令A是阿贝尔范畴, T是A的一个自正交子范畴, 且T中每个对象均有有限投射维数和内射维数. 假设左Gorenstein子范畴lG(T)等于T的右正交类,且右Gorenstein子范畴rG(T)等于T的左正交类,我们证明了Gorenstein子范畴$G(T)$等于T的左正交类与T的右正交类之交,并且证明了它们的稳定范畴三角等价于A关于T的相对奇点范畴.作为应用,令$R$是有有限左自内射维数的左诺特环, $_RC_s$是半对偶化双模,且所有内射左$R$-模的平坦维数的上确界有限, 我们证明了 若$\mbox{}_RC$有有限内射（平坦）维数且$C$的右正交类包含$R$,则存在从$C$-Gorenstein投射模与关于$C$的Bass类的交到关于$C$-投射模的相对奇点范畴间的三角等价,推广了某些经典的结果.     

Fuzzifying闭包系统的研究

在Fuzzifying(模糊化)数学的框架下,建立了Fuzzifying闭包系统和Birkhoff型Fuzzifying闭包算子的概念; 引入了Fuzzifying闭包空间范畴和Fuzzifying闭包系统空间范畴,并从范畴论的角度证明Birkhoff型Fuzzifying闭包算子与Fuzzifying闭包系统是协调的.最后文中还得到Fuzzifying闭包空间范畴和Fuzzifying闭包系统空间范畴可以嵌入到Birkhoff型L-闭包空间范畴这一重要结果.     

具有核的态射的 w -加权Drazin逆

该文中, a: X→Y, w: Y→ X为加法范畴 £ 中的态射, k₁: K ₁→X是(aw)ⁱ 的核, k₂: K₂ →Y是(wa)^j 的核. 那么下列命题等价: (1) a 在 £ 中有w -加权Drazin逆a _d,w; (2) ₁:X→ L₁是(aw)ⁱ 的上核,k_{1 1}(aw)ⁱ⁺¹}+ ₁(k_{1 1})^-1k₁是可逆的; (3) ₂: Y→ L₂是(wa)^j 的上核, k_{2 2}和(wa)^j+1+ ₂(k_{2 2})^-1k₂是可逆的. 作者又研究了具有{1} -逆的正合加法范畴中态射的w -加权Drazin逆的柱心幂零分解, 证明了其存在性. 作者把具有核的态射的Drazin逆及其柱心幂零分解推广到具有核的态射的w -加权 Drazin逆及其柱心幂零分解, 并给出了表达式.     

群Yetter-Drinfel'd范畴中的Hopf代数

In this note we first show that if H is a finite-dimensional Hopf algebra in a group Yetter-Drinfel＇d category L^LyD（π） over a crossed Hopf group-coalgebra L, then its dual H^＊ is also a Hopf algebra in the category L^LyD（π）. Then we establish the fundamental theorem of Hopf modules for H in the category L^LyD（π）.