一道第49届IMO试题的解题分析

第49届IMO第一题是一道平面几何题:已知H是锐角三角形ABC的垂心,以边BC的中点为圆心,过点H的圆与直线BC相交于两点A_1,A_2;以边CA的中点为圆心,过点H的圆与直线CA相交于两点B_1,B_2;以边.AB的中点为圆心,过点H的圆与直线AB相交于两点C_1,C_2.证明:六点A_1,A_2,B_1,B_2,C_1,C_2共圆.     

3维流形中的双侧可压缩曲面与薄形分解

对一个3维流形的任何一组彼此不相交的非过剩的双侧可压缩曲面集所含有的元素个数证明了是有上界的,记为No(M).记L0(M)为M的薄形分解的长度,则有L0(M)≤N0(M) |(e)M|,记L0(V ∪ W)为M的Heegaard分解M=V ∪ W的薄形分解的长度,则对M的任意不可稳定化的Heegaard分解都有L0(V ∪ W)≤N0(W) |(e)M|.     

解一个三角形数表题的思维历程

题目给定倒三角形数表如图1所示,其中第一行各数依次是1,2,3,…,2009,从第二行起每一个数分别等于上一行左右两数之和,最后一行只有一个数M,则这个数M是_________．     

函数零点问题中参数取值的求解

函数的零点主要涉及三个方面的问题：连续函数零点的存在性;连续函数零点个数的判定;求连续函数零点的近似解（二分法）．在以上三个问题的考查中,常常涉及到参数取值范围的求解,主要从问题的逆向方面进行考察．这类问题是目前新课标下高考的重点、难点、热点,如何引导学生解决这类问题？笔者认为应从两方面入手．     

一道概率题的拓展与证明

问题1设有标号为1,2,3的三个盒子和标号为1,2,3的三个小球,将这三个小球任意地放入这三个盒子,每个盒子放一个小球．若j（j=1,2,3）号球放入j号盒子,则称该球放对了,否则称放错了．搴表示放对了的球的个数,求ξ的数学期望．     

射影空间的故事(三)

4.射影空间的结构如我们前面所说,射影空间是与寻常的空间大不相同的几何结构.首先我们来看它们的拓扑结构.我们先来看射影直线,它是由寻常的直线加一个无穷远点得到的,如果沿着直线走     

N次乘、开方去9余数验算表

求相同因数乘积的运算叫做乘方;求一个数方根的运算叫做开方。乘方与开方运算可用珠算、珠心算。亦可用笔算,但高次方运算过程比较烦琐,稍不当心就容易出错,因此答数需要检查,而检查的方式只有复算,甚至多次复算,这是非常乏味的。现介绍一种简捷的“去9余数验算法”,无论是多少乘方或开方运算,只要对照本文中“N次乘、开方去9余数验算表”,按此法验算,便能很快判断答数是否正确。     

两道试题的简解

本刊2012年11、12月上半月刊登载了两篇文章《一道联考填空题的五种解法》和《关于一道期末考试题的解法研究》,文[1]和文[2]介绍了两道试题的解法     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2