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The three bilinearities for functions are sharply estimated in function spaces associated to the Schrödinger operator . These bilinear estimates imply local wellposedness results for Schrödinger equations with quadratic nonlinearity. Improved bounds on the growth of spatial Sobolev norms of finite energy global-in-time and blow-up solutions of the cubic nonlinear Schrödinger equation (and certain generalizations) are also obtained.
In this paper we prove uniqueness of positive solutions to logistic singular problems , , 1$">, 0$"> in , where the main feature is the fact that . More importantly, we provide exact asymptotic estimates describing, in the form of a two-term expansion, the blow-up rate for the solutions near . This expansion involves both the distance function and the mean curvature of .