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Whittaker and collaborators in the thirties, and R. Rankin some twenty years later, were able to prove the conjecture for several families of hyperelliptic surfaces, characterized by the fact that they admit a large group of symmetries. However, general results of the analytic theory of moduli of Riemann surfaces, developed later, imply that Whittaker's conjecture cannot be true in its full generality.
Recently, numerical computations have shown that Whittaker's prediction is incorrect for random surfaces, and in fact it has been conjectured that it only holds for the known cases of surfaces with a large group of automorphisms.
The main goal of this paper is to prove that having many automorphisms is not a necessary condition for a surface to satisfy Whittaker's conjecture.
We give a new and efficient method of sieving for rational points on hyperelliptic curves. This method is often successful in proving that a given hyperelliptic curve, suspected to have no rational points, does in fact have no rational points; we have often found this to be the case even when our curve has points over all localizations . We illustrate the practicality of the method with some examples of hyperelliptic curves of genus .