Tschebyscheff-Approximation mit einer Klasse rationaler Splinefunktionen, II

Diese Arbeit verschärft die in [6] enthaltenen Kriterien über Tschebyscheff-Approximationen mit rationalen Splinefunktionen. Es zeigt sich, daβ man wie bei den γ-Polynomen [1] die in hinreichenden Bedingungen auftretende Länge einer Alternante verkürzen kann, wenn man das Vorzeichen der Fehlerfunktion im gröβten Alternantenpunkt berücksichtigt. Eine weitere Verkürzung der Alternante folgt aus der Tatsache, daβ man eine Verschärfung der oberen Schranke für die Nullstellenanzahl der Differenz zweier rationaler Splines erhalten kann, wenn zu einem der Splines “wesentliche Regularitätsintervalle” (Definition siehe Abschnitt 4) gehören.Ist die Approximierende ein eigentlicher rationaler Spline, so erweist sich das in [6] angegebene hinreichende Kriterium als notwendig.Für die Fälle, daβ die Definitionsintervalle aus nur einem oder zwei Teilstücken bestehen, werden die zur Charakterisierung der besten Approximierenden aus der Klasse rationaler Splines notwendigen und hinreichenden Bedingungen vollständig angegeben.     

Generalized Gaussian quadrature formulas

Existence and uniqueness of canonical points for best L₁-approximation from an Extended Tchebycheff (ET) system, by Hermite interpolating “polynomials” with free nodes of preassigned multiplicities, are proved. The canonical points are shown to coincide with the nodes of a “generalized Gaussian quadrature formula” of the form (*) which is exact for the ET-system. In (*), ∑_{j = 0}^{v_i − 2} ≡ 0 if v_i = 1, the v_i (> 0), I = 1,…, n, are the multiplicities of the free nodes and v₀0, v_{n + 1} 0 of the boundary points in the L₁-approximation problem, ∑_{i = 0}^{n + 1} v_i is the dimension of the ET-system, and σ is the weight in the L₁-norm.The results generalize results on multiple node Gaussian quadrature formulas (v₁,…, v_n all even in (*)) and their relation to best one-sided L₁-approximation. They also generalize results on the orthogonal signature of a Tchebycheff system (v₀ = v_{n + 1} = 0, v_i = 1, I = 1,…, n, in (*)), and its role in best L₁-approximation. Recent works of the authors were the first to treat Gaussian quadrature formulas and orthogonal signatures in a unified way.     

Kritische Punkte bei der nichtlinearen Tschebyscheff-Approximation

Ohne Zusammenfassung     

Die konstruktion monotoner iterationsfolgen zur lösungseinschließung bei linearen Gleichungssystemen

Ohne Zusammenfassung Vorgelegt von L. Collatz     

Rationale Interpolation,Normalität und Monosplines

This paper is concerned with interpolation by rational functions. Conditions are given which ensure that the solution has no poles between the points of interpolation. Comparison theorems on the error of the interpolation are also derived.     

Chebyshev approximation by spline functions with free knots

Summary This paper is concerned with Chebyshev approximation by spline functions with free knots. Necessary and sufficient conditions for the best approximations are derived. It is shown by examples that the gap between these conditions cannot be bridged. The situation is less complicated, if the given function satisfies a generalized convexity condition.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird die Tschebyscheff-Approximation mit Splines bei freien Knoten behandelt. Notwendige und hinreichende Alternantenkriterien werden hergeleitet. Anhand von Beispielen zeigt sich, daß diese nicht ohne weiteres verschärft werden können. Dies hat erhebliche Konsequenzen für die Konstruktion bester Approximationen. Für Funktionen, die in einem bestimmten Sinne konvex sind, ist die Lage wesentlich übersichtlicher. An verschiedenen Stellen ergeben sich Parallelen zur Approximation mit -Polynomen, die in einer früheren Arbeit untersucht wurden.