分组数列及其应用

1 分组数列 把一个数列{an}按照一定规律进行分组,得到的就是原数列的分组数列,也叫分群数列或群数列,例如将正整数数列依次按第1组1个,第2组2个,…,第k组k个的规律分组得到分组数列:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),…;又如将数列{an}按第1组1个,第2组3个,…,第k组2k-1个的规律分组得到分组数列:(a1),(a2,a3,a4),(a5,a6,a7,a8,a9),….     

问题征解

本栏目精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊．该栏目面向广大读者征集问题,问题的选题范围不做限制,但难度应适当控制,适宜高中学生解答．欢迎自编新问题,也可以在现有问题基础上进行改编,提供试题时请注明来源,并请附上解题思路分析和详细解答．     

构造“零件不等式”证明一类条件不等式

文[1]用初等方法证明了不等式：若xi〉0，i=1，2，3，且x1＋x2＋x3—1，则1/（1＋x1^2）＋1/（1＋x2^2）＋1/（1＋x3^2）≤27/10     

第42届IMO第2题隔离的推广

第42届IMO(2001年)第二题为:对所有正实数a、b、c,证明aa2 8bc bb2 8ca cc2 8ab≥1(1)文[1]将其推广为:设a,b,c∈R ,λ≥8,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥31 λ(2)文[2]给出了(2)的一个中间隔离:设a,b,c∈R ,λ≥8,∑a3=a3 b3 c3,则aa2 λbc bb2 λca cc2 λab≥(a b c)32∑a3 3λabc≥31 λ(3)并把(3)推广到n个字母的情形:设ai∈R (i=1,2,…,n),λ≥n2-1,则n∑i=1ani-2 1ani-1 λa1a2…anai≥(∑ni=1ai3n)32∑ni=1ain λna1a2…an≥n1 λ(4)本文给出(4)的推广,得到命题设ai∈R (i=1,2,…,n),n≥2,k∈R,0<α≤n-1,λ≥n1α-1,n则∑i=1k…     

明确大方向 关注小细节

做题犹如野外探险,告诉你目的地是哪里,你首先要知道的是要往哪个方向前行．如果方向错了,是不可能解出题的．明确方向后,你可能会发现在途中还有许多障碍、陷阱,这需要你关注每一个细节．