巧用柯西不等式证不等式竞赛题

设ai,bi∈R(i=1,2,…,n),则(a12 a22 … a2n)(b12 b22 … b2n)≥(a1b1 a2b2 … anbn)2(1)当且仅当且bi=λai(i=1,2,…,n)时,(1)式取等号.这就是著名的柯西不等式,它还有如下等价形式:设ai,bi>0(i=1,2,…,n),则a12b1 ab222 … ban2n>(ab11 ab22 …… abnn)2(2)当且仅当且ab11     

用初等方法解决一个猜想

文[1]末的猜想1为：若a^n b^n=2，n，b∈R，n∈N，n≥2，则a b≤2，ab≤1．最近，文[2]用导数证明了此猜想成立，并给出了a b及ab的下界，得到命题若a^n b^n=2，a，b∈R，n∈N，n≥2．     

加权幂——算术(几何)平均值不等式的加强

设a_i>0,p_i>O,(i=1,2,…,n),p_n=m∈R,M_n(a,p)=1/m,A_n(a,p)=那么 A_n(a,P)≥G_n(a,p) (1) M_n(a,p)≥G_n(a,p)(m>0) (2) M_n(a,p)≥A_n(a,p)(m>1) (3) 作者在文[1]将(1)加强为: P_n[A_n(a,p)-G_n(a,p)]≥p_n-1[A_(n1)(a,p)-G_(n-1)(a,p)], (4)或[A_n(a,p)/G_n(a,p)]~(p_n)≥[A_(n-1)(a,p)/G_(n-1)(a,p)]~(p_n-1) (5) 本文给出(2),(3)的加强定理1 a_i,p_i,P_n,M_n(a,p),G_n(a,p)意义同(2),λ>0,m>0,n∈N且n≥2,则P_n{[M_n(a,p)]~mλ~(1/p_n)[G_n(a,p)]~m}     

数学问题解答

20 0 0年 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )12 3 6.设 f( x) =( x2 2 x 3 ) x 3 ( x2 2 x 3 ) x2 ,当 x∈ R.证明 :f ( x)≥ 6.证明　∵　x2 2 x 3 =( x 1) 2 2≥ 2∴　对 x∈ R有　 ( x2 2 x 3 ) x 3 >0成立 .因此1°　当 x<-3时 ,f ( x) >0 2 x2 >2 9>6,这时命题成立 .2°　当 x≥ -3时 ,f ( x) =〔( x 1) 2 2〕x 3 〔( x 1) 2 2〕x2令　 x 1=t,由 x 3≥ 0 ,则 t 2≥ 0那么　 f ( x) =g ( t) =( t2 2 ) t 2 ( t2 2 ) (t-1 ) 2≥ 2 t 2 2 t2 -2 t 1 =4· 2 t 2· 2 t2 -2 t= ( 2 t 2 t 2 t 2 t) ( 2 t2 -2 t 2 …     

一类分式型最值的另一求法——加零法

文[1]给出了一类带条件的分式型最值问题的一种解法———代“1”法,本文给出这类问题的另一种解法———加零法.例1已知x,y>0且x y=1,求u=1x 16y的最小值.解u=1x 1y6 λ(x y-1),其中λ为待定的正常数.则u=(1x λx) (1y6 λy)-λ≥21x.λx 21y6.λy-λ=10λ-λ,等号成立的充要条件为1x=λx且1y6=λy x=1λ,y=4λ,代入x y=1易求得x=15,y=54,故当x=51,y=54时,u=1x 1y6取最小值25.注上述待定常数λ是用来调节不等式等号成立用的,可以求出,也可以不求出(通过消去λ求得使等号成立的x,y).例2设a,b,c,m,n均为正常数,ax by=c,求u=xm yn(x,y>0)的最…     

问题征解

本栏目精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊．该栏目面向广大读者征集问题,问题的选题范围不做限制,但难度应适当控制,适宜高中学生解答．欢迎自编新问题,也可以在现有问题基础上进行改编,     

数学问题解答

2006年5月号问题解答(解答由问题提供人给出)图11611已知:如图1,⊙O1与⊙O2相交于A,B两点,且⊙O2过⊙O1的圆心O1,由B点引⊙O2的弦BC,连结AC交⊙O1于点F,求证:BC=CF.图2证明如图2,连结AB,O1O2,BF,O1A,O1B,O2A,O2B,延长CB交⊙O1交于D点,连AD.因为AB为⊙O1与⊙O2的公共弦,O1O2为连     

数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

理科(22)题别解

试题 (Ⅰ)设{an}是集合{at+2s|0≤s＜t,且s,t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列,即a1=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,….     

一个不等式的推广及应用

最近文[2]给出了此不等式的一些应用．本文首先给出(2)的一个推广，然后给出推广结果的一些应用．