一个不等式的证明——Schur不等式一个特例的应用

<数学通讯>2010年9月上(学生刊)中有如下题目征解问题27 设a,b,c∈R+且a+b+c=3,求证:2(a3+b3+c3)+3abc≥9.     

综合题新编选登

题170已知两个二次函数:y=f(x)=ax2 bx 1与y=g(x)=a2x2 bx 1,函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x11时,设x3,x4是方程ax2 bx 1=0的两实根,且x31时,试判断x1,x2,x3,x4的大小关系;解1)由于函数y=g(x)的图象与x轴有两个交点,其交点横坐标分别为x1,x2(x10,∴|b2a|>1,即b2a>1或b2a<-1,∴-b2a<-1或-b2a>1成立,于是得抛物线y=f(x)的对称轴x=-b2a在(-1,1)的左侧或右侧,故y=f(x)在(-1,1)上是单调函数.2)由于x1…     

三次曲线的两个性质

定理1若三次曲线f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)与x轴有三个不同交点,依次为A,B,C,如图1所示,自点A,C分别引曲线f(x)的切线,切点分别为D,E,则点D,E在x轴上的射影分别为线段BC,AB的中点.     

立体几何错解库升级

在解立体几何题时,因对概念不清而致错已屡见不鲜.本文再举几例错解,供大家升级错解库.     

准圆与准线的一种关联

从名称上看，圆锥曲线的准圆与准线名称都含“准”字，那么它们是否有某种关联呢？对此，笔者做了一点探究，得到了它们的一种关联性质．首先介绍一下圆锥曲线准圆的概念．     

一个不等式的简证

《数学通报》2010年1月号问题1833如下题目已知a,b>0,且a+b=1.求证:(1/a2-a3)(1/b2-b3)≥(31/8)2.原答案技巧性很强,笔者在此提供简单自然的一种证法,仅供参考.证明∵a+b=1,     

一道预赛不等式的简证

2010年全国高中数学联赛广东省预赛解答题第3题如下:题目设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:9abc≤ab+bc+ca≤1/4(1+9abc).证由Schur不等式的一个特例,即对于非负实数x,y,z,有     

正多边形的两个优美定值

文[1]中的定理1如下： 若正三角形的边长为a,以其中心为圆心的圆半径为r,则该圆上任意一点与该正三角形各顶点连线段长度的平方和及四次方和均为定值．     

颗粒增强有机硅基复合涂层的冲蚀磨损行为

利用气流喷砂型试验机,对ＳｉＣ和Ａｌ２Ｏ３颗粒增强的有机硅基复合材料涂层（ＳＭＣＣ）的冲蚀磨损行为进行了研究。发现合适的基体组成、增强体颗粒种类及含量使ＳＭＣＣ冲蚀率较纯有机硅树脂涂层降低了１个数量级。冲蚀表面形貌ＳＥＭ分析表明：低速冲蚀时涂层冲蚀磨损机理以显微犁耕为主,并伴有显微切削;而高速冲蚀时的磨损机量主要是微裂纹的产生和扩展造成成涂层的大块剥落,并伴有微切削和微犁耕。