用比较法证明一类不等式

近年来,中学数学刊物和数学竞赛题中经常出现大量新颖的三元对称分式不等式．其证明方法也较独特巧妙,如利用均值不等式、柯西不等式、排序原理等．它们一般不易被中学生想到或接受．为此,笔者在教学中向学生介绍了证明不等式的原始方法——作差比较法,结合恒等变形,构造完全平方式,学生反应此方法简单易行．下面列举数例,供同行教学时参考．例１　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ＋．求证：ａｂ＋ｃ＋ｂｃ＋ａ＋ｃａ＋ｂ≥３２．证明　左边－右边＝２ａ－ｂ－ｃ２（ｂ＋ｃ）＋２ｂ－ｃ－ａ２（ｃ＋ａ）＋２ｃ－ａ－ｂ２（ａ＋ｂ）＝ａ－ｂ＋ａ－ｃ…     

数学竞赛之窗

波兰数学奥林匹克试题及解答1　设ｎ≥ 3为正整数 ,证明 :所有与ｎ互质且不超过ｎ的自然数的立方和是ｎ的倍数 .2　在锐角三角形ＡＢＣ中∠ＡＣＢ =2∠ＡＢＣ ,点Ｄ是ＢＣ边上一点 ,使得2∠ＢＡＤ =∠ＡＢＣ .证明 :1ＢＤ=1ＡＢ 1ＡＣ.3　已知正实数ａ ,ｂ ,ｃ的和等于 1 ,证明 :ａ2 ｂ2 ｃ2 2 3ａｂｃ≤ 1 .4　圆周上的点都被染上了某三种颜色中的一种 ,证明 :在这个圆周上存在三个点 ,它们是某个等腰三角形的顶点 ,且它们同色 .　5　求所有的正整数对 (ａ ,ｂ) ,使得ａ3 6ａｂ 1与ｂ3 6ａｂ 1都是完全立方数 .6　点Ｘ是Ｒｔ△…     

光孤子原理及其通信技术

光孤子通信属于光纤通信的一种,但它将光纤的应用范围从线性扩大到非线性．和现有的光纤通信相比,无论是传输距离还是信息容量,都有极大地飞跃． 一、何谓光孤子 所谓孤子,就是一种“孤立”的波。它具有十分诱人的特性,即在传输和反复碰撞的过程中,其形态完全不改变;始终保持着自身特有的性质,就像“粒子”的行为一样．孤子（Ｓｏｌｉｔｏｎ）这一术语,最早可见于Ｚａｂｕｓｋｙ和Ｋｒｕｓｋａｌ发表于１９６５年关于求Ｋｄｖ方程数值解的论文中．但是,孤立波的发现却可以追溯到１８３４年．在那年４月的某一天,有两匹马拉着一条…     

'98高中数学联赛试题新议别解

１９９８年高中数学联赛推出了很多情景新颖的题目,从而也就给我们的解题研究留下了广阔的空间,作为初步的考虑,我们提出９道题目异于标准答案的解法,包括所有的解答题．例１　（’９８高中数学联赛第一（３）题）各项均为实数的等比数列｛ａｎ｝前ｎ项之和记为Ｓｎ,若Ｓ１０＝１０,Ｓ３０＝７０,则Ｓ４０等于（　　）．　（Ａ）１５０　　　　　　　（Ｂ）－２００　（Ｃ）１５０或－２００（Ｄ）４００或－５０解法１　由Ｓ３０＝Ｓ１０（１＋ｑ１０＋ｑ２０）,有ｑ２０＋ｑ１０－６＝０,解出正根ｑ１０＝２,从而Ｓ４０＝Ｓ１０…     

关于数学符号的现行国家标准

数学符号的现行国家标准是国家技术监督局1993-12-27批准、发布,并于1994-07-01实施的《中华人民共和国国家标准·物理科学和技术中使用的数学符号》(GB3012.11-93)。这一标     

《数学学习》创刊40周年纪念

1954年陕西省数学会响应党向科学进军的号召和满足会员们的要求创办《数学学习》这一普及性刊物.其宗旨主要是帮助解决中学数学教师会员在教学中所遇到的困难和问题.     

高阶等比数列的划分

文［１］研究了（一阶）等比数列的高阶等差划分的问题,证明了等比数列的均匀划分仍为等比数列,一阶等差划分为３阶等比数列,并猜想ｋ阶等差划分为２ｋ＋１阶等比数列．本文证明：定理　ｓ阶等比数列的ｔ阶等差划分数列为ｓｔ＋ｓ＋ｔ阶等比数列．为了阅读方便,我们先简述一下有关概念．设｛ａｎ｝＝｛ａ（０）ｎ｝为任一数列（ａｎ≠０）．记ａ（１）ｎ＝ａ（０）ｎａ（０）ｎ＋１,…,ａ（ｓ）ｎ＝ａ（ｓ－１）ｎ＋１ａ（ｓ－１）ｎ,则｛ａ（ｓ）ｎ｝称为｛ａｎ｝的ｓ阶商数列．若ａ（ｓ）ｎ＝ｑ（非１常数）,对ｎ∈Ｎ均成立,则｛…     

关于方程思想解平面几何题

平面几何侧重于逻辑推理，其解题过程也经常表现为。的递进的论证过程或运算过程．但由于‘情况的复杂性和题设条件的局限性，单纯依赖这种手段，往往会阻塞解题思路，增加解题难度．因而突破这个模式，强化方程思想，应该成为几何教学中值得加以重视的一环．本来所谓方程思想，究其实质而言，不过是针对题设条件，发掘其中未知且与已知且问的等量关系，借以建立方程或方程组．然后应用方程的性质或解方程的方法，求得问题的解决．现在的问题是，在几何问题中，怎样凭借其本身的特点，恰当的运用这一思想，从而达到强化学生综合解题能力的目…     

开拓三十卷 实践铸文章——为理化检验杂志出刊3O卷而作

理化检验杂志创刊于1963年,今年出刊第30卷。当此广大理化检验工作者热烈庆贺中国机械工程学会理化检验学会成立三十年之际咱感有责任回顾理化检验杂志的以往,并藉以感谢三十余年来关心、支持刊物工作的同志们。