函数综合问题

函数是数学中的一个基本而又重要的概念.在现代数学中,它几乎渗透到各个分支.函数也是中学数学的一条主线,数学竞赛的一个重要内容.掌握好函数的性质,并加以巧妙地运用,可以帮助我们解决许多问题.本讲通过一些具体的例子,讲授一些典型的方法.例1　(第15届美国数学邀请赛)已知a,b,c,d为非零实数,f (x ) =ax+ bcx+ d,x∈R,且f (19) =19,f(97) =97.若当x≠- dc时,对于任意实数x,均有f(f(x) ) =x,试求出f(x)值域以外的唯一数.解　由题设,对任意实数x≠- dc,有f(f(x) )=x,所以a·ax+ bcx+ d+ bc·ax+ bcx+ d+ d=x,化简得　(a+ d) cx2 + (d2 - a2…     

数学竞赛之窗

本期给出2006年美国数学奥林匹克(第2天)试题及解答,由上海中学冯志刚提供.第1天(2006年4月19日12∶30—17∶00)4.求所有的正整数n,使得存在正整数k(≥2)及正有理数a1,a2,…,ak,满足:a1 a2 … ak=a1a2…ak=n.5.一只兵在数轴上跳动,初始位置在1,依下述规则进行每一次跳动:如果兵     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件，请直接寄给熊斌（２０００６２，华东师大数学系），或冯志刚（２００２３１，上海市上海中学）．提供试题及解答请尽量注明出处．本期给出由伍能先生提供的１９９８年加拿大数学奥林匹克试题及解答．１９９８年加拿大数学奥林匹克１．求满足下面方程的实...     

数学竞赛之窗

有关本栏的稿件,请直接寄给熊斌(200062,华东师范大学),或冯志刚(200231,上海市上海中学).提供试题及解答请尽量注明出处.本期给出由上海的至刚先生提供的1999年保加利亚数学奥林匹克(第四轮)试题及解答.收稿日期:2000-04-061999年保加利亚数学奥林匹克第四轮1　将一个长方体(边长为整数,且被分为若干个单位正方体)的表面染成绿色,已知没有染上绿色的单位正方体的个数为长方体中单位正方体个数的13,求这个长方体的三条棱长.2　设数列{ａｎ}为一个整数数列,满足:对任意自然数ｎ,均有(ｎ-1)ａｎ 1=(ｎ 1)ａｎ-2(ｎ-1).　若2000|ａ1999,求最小…     

数学竞赛之窗

有关本栏目的稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,上海市华东师大数学系 ) ,或冯志刚(2 0 0 2 31,上海市上海中学 ) .提供试题及解答 ,请尽量注明出处 .　　本期给出华东师大数学系范端喜先生提供的2 0 0 0年加拿大数学奥林匹克试题及解答 .2 0 0 0年加拿大数学奥林匹克竞赛试题及解答1　中午 12 :0 0 ,Ａｎｎｅ ,Ｂｅｔｈ和Ｃａｒｍｅｎ从同一地点沿着 30 0米长的环形跑道跑步 .每人匀速地在无限的时间内以两种可能的方向奔跑 .证明 :如果Ａｎｎｅ的速度不同于其他两人 ,那么在以后某一时刻 ,Ａｎｎｅ与其他两人至少保持 10 0米远的距离 (…     

2002年上海市高中数学竞赛试题

[说明]解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题10小题,每小题7分,共70分) 1.一个正三角形ABC内接于椭圆x2/9+y2/4=1,顶点A的坐标为(0,2),过顶点A的高在Y轴上,则此正三角形的边长为_____.     

七点的Heilbron问题的证明

七点的Ｈｅｉｌｂｒｏｎ问题的证明熊斌（华东师大数学系）田廷彦（上海交大应用数学系）平面上的Ｈｅｉｌｂｒｏｎ问题是这样的：在平面上任给ｎ个点，每两点之间有一个距离，最大距离与最小距离之比记为λｎ，求人的最小值（即ｉｎｆλｎ）．已知ｉｎｆλ３＝１，ｉｎｆ...     

波谱解析实验课程教学改革的探讨

针对目前高校波谱解析课程教学中存在的现状,提出了将实验内容纳入课堂教学并设置为基础篇、综合篇、设计篇三大模块教学体系.本文分别从实验内容设置、网络教学模式及开放实验等方面提出了具体措施,并取得了较好的教学效果.     

第43届IMO美国队选拔考试

(有关本栏目稿件 ,请直接寄给熊斌 (2 0 0 0 6 2 ,华东师范大学数学系E -mail:xiongbin @sh16 3.net) ,或冯志刚 (2 0 0 2 31,上海市上海中学E -mail:zhgfeng @online .sh .cn) .提供试题及解答请尽量注明出处 .)　　本期给出由湖南师大附中黄军华先生提供的第 4 3届IMO美国队选拔考试试题选登 .1　在△ABC中 ,证明 :sin3A2 +sin3B2 +sin3C2 ≤cos A -B2 +cosB -C2 +cosC -A2 .2　设n是大于 2的整数 ,P1,P2 ,… ,Pn 是平面上n个不同的点 ,S表示线段P1P2 ,P2 P3 ,… ,Pn -1Pn 上所有点的集合 .是否总是可以在S中找到点A ,B使得P…