对三次函数图象的切线的探究

人教社高中数学第三册(选修Ⅱ)第112页例3是:例如图1,已知曲线y=1/3x3上一点P[2,8/3],求(1)点P处的切线的斜率;(2)点P处的切线的方程.问题展示后,学生大多能迅速找到解题思路,并得到正确结果:(1)4;(2)12x-3y-16=0.接着笔者给出了如下变式,请同学们继续思考.变式已知曲线y=13x3上一点P(2,38),求过点P的切线的方程.经过讨论,我们对“曲线过点P的切线”和“曲线在点P处的切线”进行了区别,并求得变式题的切线有两条(如图2),方程分别为12x-3y-16=0与3x-3y 2=0.图2中,切线3x-3y 2=0与曲线有两个交点,过曲线上一点P可以作两条直线与曲线相切,…     

2010年高考湖北卷第9题的一个简解

2010年高考湖北卷文、理第9题均是: 若直线y=x+b与曲线y=3-4x-x2有公共点,则b的取值范围是 A.[-1,1+2√2] B.[1-2√2,1+2√2] C.[1-2√3,3] D.[1-√2,3]     

抛物线问题的一种简捷解法

由于抛物线方程中有一个坐标变量是一次的 ,因此在设抛物线上的点的坐标时 ,我们可直接设二次变量为参数 ,如抛物线 y2 =2 px(p >0 )上的点可设为 (y0 22 p,y0 ) .采用这一设法 ,给解决问题带来了一定的方便 ,且过程显得简捷明了 .下面以近几年高考图 1　例 1图题举例说明 .例 1　 (2 0 0 4年北京高考题 )如图 1,过抛物线 y2 =2 px(p >0 )上一定点P(x0 ,y0 )(y0 >0 )作两条直线分别交抛物线于A (x1,y1) ,B (x2 ,y2 ) ,当PA ,PB的斜率存在且倾斜角互补时 ,求 y1+y2y0的值 ,并证明直线AB的斜率是非零常数 .解　将P ,A ,B三点的坐标调整为…     

一道西班牙竞赛题的奇异变式

在《数学通讯》网站论坛网友交流分坛上,网友searchbeyond发贴求教一个问题:题1已知(x~2 1 y)～(1/2)(y~2 1-x)～(1/2)=1,试判断x与y的大小关系.有网友提醒,《中学数学月刊》曾多次刊登这个问题的解法,笔者经过查证,发现该刊刊载的是第31届西班牙数学奥林匹克第2题:题2如果(x x2 1)(y y2 1)=1,那么x y=0.先看揭示此题本质的一个简证:证将条件式整理为x2 1 x=(-y)2 1 (-y),构造函数f(t)=t2 1 t(t∈R),∵f′(t)=tt2 1 1=t t2t 2 11>0,∴f(t)在R上单调递增,又f(x)=f(-y),∴x=-y,故x y=0.将题2中y换为-y,可得题2的一个等价问题:如果(x2 1 x)(y2…     

构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数，然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值，是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例．谈谈构造函数的常用方法．     

赏析一道与垂心有关的向量试题

本文赏析一道涉及三角形垂心的向量竞赛题,从不同视角给出多种解法,既有解决向量问题通性通法的精彩演绎,也有出其不意的奇思妙解.