数学问题解答

2007年4月号问题解答(解答由问题提供人给出)1666如图,⊙O是△ABC的内切圆,分别与BC,AB,AC相切于点D,E,F,DO的延长线交EF于点G,AG的延长线交BC于点H,求证:BH=CH.(辽宁省岫岩满族自治县教师进修学校侯明辉114300)证明如图,过G作BC的平行线,分别交AB,AC于M,N,则易知BMHG=NCHG①.连结OM,ON,OE,OF.因为⊙O是△ABC的内切圆,所以OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥AC.故OG⊥MN.所以O,M,E,G与O,F,N,G分别四点共圆,得∠OEG=∠OMG,∠OFG=∠ONG.又易知∠OEG=∠OFG,所以∠OMG=∠ONG,从而OM=ON,于是MG=NG②.由①、②得BH…     

综合题新编选登

题 39　 已知椭圆Ｃ的方程为ｘ2ａ2 + ｙ2ｂ2 =1(ａ>ｂ >0 ) ,双曲线 ｘ2ａ2 - ｙ2ｂ2 =1的两条渐近线为ｌ1,ｌ2 ,过椭圆Ｃ的右焦点Ｆ作直线ｌ,使ｌ⊥ｌ1,又ｌ与ｌ2交于Ｐ点 ,设ｌ与椭圆Ｃ的两交点从左到右依次为Ｂ ,Ａ(如图 1) .图 1　题 39图求|ＰＢ||ＰＡ| 的最大值及取得最大值时椭圆Ｃ的离心率ｅ的值 .解　设Ｃ的半焦距为ｃ,由对称性 ,不妨有ｌ1:ｙ =- ｂａｘ ,ｌ2 :ｙ =ｂａｘ .由ｙ =ｂａｘ ,ｙ =ａｂ(ｘ -ｃ) ,得Ｐ ａ2ｃ ,ａｂｃ .知点Ｐ在椭圆的右准线ｘ =ａ2ｃ上 .设点Ａ内分有向线段ＦＰ的比为λ ,由定比分点坐标公式求出点Ａ的…     

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题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …     

新题征展 (44)

A 题组新编 1.设P是椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1(a＞b＞0)上的动点,F1、F2是其焦点,A1、A2是长轴端点,B1、B2为短轴端点.分别求下列各值的取值范围:     

不等式a^2＋b^2＋c^2≥ab＋bc＋ca及其应用

本文介绍一个常见的不等式 ,把它当作一个定理 ,并围绕这个定理及其推广精选了从易到难各档次的五个题目加以解答 ,意在开发它的功能 ,加强它在解题中的运用 .定理　a ,b ,c∈R ,则a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .证明　∵ 2 (a2 +b2 +c2 ) =(a2 +b2 ) + (b2 +c2 ) + (c2 +a2 )≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴a2 +b2 +c2 ≥ab +bc +ca .“ =”号成立时当且仅当a =b =c .推广　x ,y ,z∈R+ ,a ,b ,c∈R ,那么　 y +zx a2+ x +zy b2 + x +yz c2 ≥ 2 (ab +bc+ca) .证明　∵ yxa2 + xyb2 + zyb2 + yzc2 +xzc2 + zxa2 ≥ 2ab + 2bc+ 2ac .∴推广成立 .该定理…     

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题 73　 双曲线 x2a2- y2b2 =1(a >0 ,b >0 )的左、右焦点分别为F1,F2 ,点P(x0 ,y0 )是双曲线右支上一点 ,且x0 >2a .I为△PF1F2 的内心 ,直线PI交x轴于Q点 ,若 |F1Q| =|PF2 | ,当a ,b变化时 ,求I分PQ的比λ的取值范围 (见图 1) .解　设双曲线半焦距为c ,则c =a2 +b2 .∵I为PQ的内分点 ,则λ =PIIQ=|PI||IQ| .由内角平分线定理知|PI||IQ| =|PF1||F1Q| =|PF2 ||F2 Q| .又∵ |F1Q| =|PF2 | .∴|PI||IQ| =|PF1||PF2 | ,可得|PI| - |IQ||IQ| =|PF1| - |PF2 ||PF2 | =2a|PF2 | ,|PI||IQ| =|F1Q||F2 Q| ,可得|PI| …     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…