Elastic modulus and yield stress of suspensions

A recent technique, developed to measure yield stress has here also been used to determine the elastic modulus of a suspension. Temperature effects have been measured.     

Zur Theorie der Rheopexie

Zusammenfassung Unter der Annahme, da\ die makromolekularen oder kolloiden Teilchen eines Systems durch die Einwirkung einer Scherung in einen Zustand überführt werden, in welchem sie zur Aggregatbildung befÄhigt sind, und dieser Proze\ sowie die Aggregation zu Flie\gleichgewichten führt, wird ein Reibungsgesetz abgeleitet, das auch das Flie\verhalten rheopexer Systeme wiederzugeben vermag. Es wird gezeigt, da\ mit Hilfe der erhaltenen Gleichung das verwickelte Flie\verhalten der Schmelze eines Epoxydharzes molekular-physikalisch verstanden werden kann.     

Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten — eine Matrixmethode zur Lösung nichtlinearer Ausgleichsvorgänge

Zusammenfassung Mit Hilfe des Digitalen Beukenmodells mit nichtkonstanten Koeffizienten lassen sich ein- und mehrdimensionale Ausgleichsvorgänge berechnen. Besonders einfach ist das Verfahren, wenn nur die Wärmeleitfähigkeit von der Temperatur oder der Diffusionskoeffizient von der Konzentration abhängig ist. Der Hauptvorteil des Digitalen Beukenmodells liegt in der einfachen Handhabung. Für viele praktische Fälle kann die Rechenzeit gegenüber dem herkömmlichen reinen Differenzenverfahren entscheidend verkürzt werden. Das Digitale Beukenmodell mit nichtkonstanten Koeffizienten ist die genaueste Rechenmethode für nichtlineare Ausgleichsvorgänge.

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The digital Beuken-Model with non-constant coefficients — a matrix method for the solution of non-linear diffusion processes

By the help of the digital Beuken-Model with nonconstant coefficients it is possible to compute one- or multidimensional diffusion processes. Especially simple is that method, if only the thermal conductivity depends on the temperature or if the diffusion coefficient depends on the concentration. The main advantage of the digital Beuken-Model is its simple handling. In many practical cases the computing time can be shortened decisively to the traditional difference methods. The digital Beuken-Model with non-constant coefficients is the most exact computing-method for the solution of nonlinear diffusion processes.

     

On conservative elastic systems of the first and second kind

Summary In introducing the definition of a generalized kind of selfadjointness, it can be shown that there are truly nonconservative systems in the classical sense which in the light of a generalized concept are, however, conservative systems of the second kind. Systems like these buckle by divergence, do possess a generalized conservation theorem, and a generalized Rayleigh's quotient. Examples of such systems are given: the pinnedpinned rod, the rod with sliding ends, and the simply supported plate, all of them subjected to compressive follower forces. An example involving a complex differential equation is also treated: Greenhill's problem of the torsion of a pinned-pinned shaft.

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Übersicht Durch Einführen eines verallgemeinerten Begriffs der Selbstadjungiertheit kann gezeigt werden, daß Systeme, die im klassischen Sinne nichtkonservativ sind, bei Zugrundelegen des neuen Begriffs als konservative Systeme zweiter Art aufgefaßt werden können. Für Systeme dieser Art gilt ein verallgemeinerter Erhaltungssatz und es existiert ein verallgemeinerter Rayleigh-Quotient. Einige Beispiele für derartige Systeme werden betrachtet: der beidseitig gelenkig gelagerte Balken, der Balken mit gleitenden Enden und die einfach gelagerte Platte — sofern die Belastung in allen drei Fällen durch mitgehende Druckkräfte geschieht. Es wird außerdem das Greenhillsche Problem des gelenkig gelagerten Stabes mit Torsion untersucht, wobei eine komplexe Differentialgleichung erhalten wird.

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The support of the National Research Council of Canada under Grant A7297 is gratefully acknowledged.     

The buckling load of an elastically supported cantilevered column with continuously varying cross section and distributed axial load

Summary The solution for the buckling load of an elastic supported cantilevered column with continuously varying cross section and distributed axial load is developed. Boundary conditions are formulated for fixed and elastic support. The critical loads are tabled for an usual variation in cross section and axial load distribution as function of the ratio between respectively rigidities and axial forces at fixed and free end, the variation of the rigidity and axial forces given by their degrees of the polynomial variation and rotation stiffness of the elastic support.

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Übersicht Es wird die Knicklast für eine elastisch gelagerte, freitragende Säule mit stetig veränderlichem Querschnitt und stetig verteilter Axiallast berechnet. Die Randbedingungen sind für feste sowie für elastische Lagerung formuliert worden. Für einen übliczen Bereich von Querschnitten und Axiallasten werden die kritischen Lasten in Tabellen angegeben. Dabei wurde das Verhältnis zwischen der Steifigkeit und den Axiallasten am festen und freien Ende variiert.

     

A complex potential method for plate problems with bending extension coupling

Summary Within the framework of linear elasticity a complex plate analysis method is presented which includes bending extension coupling as it appears for example in laminates. Four complex potentials are introduced from which the resultant forces and moments and the accompanying deformations can be determined in a rather simple way. The underlying bending extension coupling is reflected by the actual numerical value of some constants. The usefulness of the introduced complex potentials is demonstrated by the example of a cracked plate under inplane and bending forces.

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Eine Methode komplexer Potentiale für Scheiben/Platten-Probleme mit Biege-Dehn-Kopplung

Übersicht Im Rahmen linearer Elastizität wird eine komplexe Scheiben/Platten-Analyse-Methode vorgestellt, die Biege-Dehn-Kopplung erfaßt, wie sie beispielsweise in Laminaten vorkommt. Es werden vier komplexe Potentiale eingeführt, aus denen die resultierenden Kräfte und Momente in einer recht einfachen Weise bestimmt werden können. Die zugrundeliegende Biege-Dehn-Kopplung spiegelt sich im tatsächlichen numerischen Wert einiger Konstanten wieder. Die Nützlichkeit der eingeführten komplexen Potentiale wird am Beispiel einer rißbehafteten Scheibe/Platte demonstriert, die in ihrer Ebene und durch Biegung belastet ist.

     

Über die Tilgung periodischer Störungen bei digitaler Meßwertverarbeitung

übersicht Beim Einsatz von Proze?rechnern mu? zur Unterdrückung von periodischen St?rungen im Me?signal bisweilen anstelle eines analogen Filters ein digitales Filter treten. Damit eine Abtasfrequenz unterhalb der doppelten zu filternden St?rfrequenz gew?hlt werden kann, werden die Gesetze zur digitalen Erfassung und Rekonstruktion von langsam ver?nderlichen periodischen Signalen dargestellt. Durch Einführung eines zus?tzlichen Me?punktes innerhalb der Abtastzeit ist eine Sch?tzung und Tilgung einer gegenüber der Abtastfrequenz h?herfrequenten St?rung m?glich. Die hierzu erforderlichen Differenzengleichungen werden diskutiert und der Tilgervorgang an einem Beispiel demonstriert. Benutzt man mehrere Tilgergleichungen, dann k?nnen Spektralanteile im Me?signal oberhalb der halben Abtastfrequenz unterdrückt werden.

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Summary In process computer application periodic disturbances are to be sometimes suppressed by digital filters. In order to choose a sampling frequency lower than the highest frequency of the disturbance, the paper describes the principle of digital measuring and reconstruction of slowly varying periodic signals. By introducing an additional measuring point within the sampling-period it is possible to estimate and to suppress a disturbance, whose frequency is above half the sampling frequency. The corresponding difference equations are discussed and an exemple illustrates the dynamic behaviour of suppression. Applying further equations, it is possible to suppress parts of spectral density being activ above half the sampling frequency.

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Meinem Lehrer, Herrn Professor Dr.-Ing. K. Klotter, zum 75. Geburtstag gewidment.     

Ein Verfahren zur Berechnung von Eigenwertschranken mit Anwendung auf das Beulen von Rechteckplatten

Übersicht Das Verfahren von Lehmann und Maehly zur Berechnung unterer und oberer Schranken für die Eigenwerte Hermitescher Operatoren im Hilbertraum wird übertragen auf das allgemeine Eigenwertproblem eines Operators relativ zu einem zweiten. Das Verfahren führt auf ein lineares Matrix-Eigenwertproblem. Als charakteristische Schwierigkeit tritt in der Rechenvorschrift für die Matrixelemente ein inverser Operator auf. Man ersetzt ihn durch seine Truncation, und erhält so ein verallgemeinertes Verfahren zur Berechnung unterer und oberer Eigenwertschranken. Das Verfahren wird angewandt bei der Berechnung von Beulwerten von Rechteckplatten.

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Summary The procedure of Lehmann and Maehly for the calculation of lower and upper bounds to eigenvalues of Hermitian operators in Hilbert space is transferred to the eigenvalue problem of one operator relative to another. The problem is reduced to a linear matrix eigenvalue problem. It is a characteristic difficulty that one needs an inverse operator to calculate the matrix elements. The replacement of this operator by its truncation yields a generalized procedure for the calculation of lower and upper bounds to eigenvalues. The method is used in the buckling of rectangular plates.

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Gekürzte Fassung eines Teiles der Dissertation des Verfassers, eingereicht in der TH Darmstadt, 1966.     

Die Ermittlung von Randspannungen aus den Verschiebungen bekannter Elementverfahren

Übersicht Die Spitzenspannungen von Konstruktionen treten meist an Kerben oder Löchern auf. Hier steigen die Spannungswerte mit starken Gradienten an und werden von Elementverfahren mit Verschiebungsansätzen im allgemeinen unbefriedigend dargestellt. Aber gerade diese Spitzenspannungswerte sind für die Zeitfestigkeit der Teile von zentraler Bedeutung. Deshalb werden in der vorliegenden Arbeit, getrennt von dem Verschiebungsansatz, Spannungsansätze gemacht (hybride Methode). Es wird dann ohne Benutzung eines Variationsprinzips der Mechanik nur gefordert, daß im Hubert-Raum der Abstand zwischen dem aus dem angesetzten Verschiebungsfeld resultierenden Verzerrungsfeld und demjenigen, das sich aus dem angesetzten Spannungsfeld ergibt, möglichst klein sei. Aus dieser Forderung folgt dann die Endgleichung (58), wo man aus bekannten Verschiebungen in jedem Element bessere Spannungen ausrechnen kann, als sie sich aus dem Verschiebungsverfahren auf konventionelle Weise ergeben.

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Summary The peak stresses in structures normally occur where there are notches or holes. There the stress values go up steeply and generally cannot be satisfactorily calculated by finite-element methods involving assumed displacement distributions. But it is precisely these peak stress values which are of crucial importance for the LCF life of components. For this reason, in the present paper stress distributions are assumed separately from the assumed displacements (hybrid method). Then, without using variational principles of mechanics, the only requirement is made that in Hilbert space the distance between the strain field, resulting from the assumed displacement distributions, and the one resulting from the assumed stress distributions be as small as possible. From this requirement, the final equation (58) is obtained, with which stresses can be worked out better from known displacements in each finite element than from the displacement method in the conventional way.

     

Die scheinbare Wärmedurchgangszahl von Plattenwärmeaustauschern

Zusammenfassung Um bei Platten-Wärmeaustauschern die übertragene Wärme richtig zu erhalten, muß das Produkt aus der Wärmedurchgangszahl k=1/(1/a ₁ + / + 1/a ₂), der gesamten Heizfläche A und der mittleren logarithmischen Temperatur differenz _m im allgemeinen noch mit einem Korrekturfaktor Z multipliziert werden, der von der Fließweganzahl n und der dimensionslosen Größe =(k A₀)/(M c) abhängt: Q=Z (kA_m) =k_sA_m (k_s=scheinbare Wärmedurchgangszahl). Unter der Voraussetzung, daß Gegenstrom herrscht und das Umwälzverhältnis U=M₁c₁/M₂c₂=1 ist, konnte diese Funktion Z=Z (n, )=k_s/k jetzt im Anschluß an eine frühere Rechnung für die reine Hintereinanderschaltung beliebig vieler Fließwege bestimmt werden. Die gefundenen Formeln weisen für gerade und ungerade Fließweganzahlen kleine Unterschiede auf. Doch verlaufen beide Kurvenscharen so gleichartig, daß sie sich gegenseitig ergänzend sehr gut ineinander fügen. — Eine wichtige Folgerung aus den Rechnungsergebnissen ist, daß die scheinbare Wärmedurchgangszahl k_s bei einem gegebenem Austauscher für jeden Massenstrom einen absoluten Höchstwert hat.

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The apparent overall heat transfer coefficient of plate heat exchangers

In order to get the correct value of the transfered heat Q of plate heat exchangers one must multiply the product of the overall heat transfer coefficient k=(1/a ₁ + / + 1/a ₂), the total heating area A and the logarithmic mean temperature difference _m with a correction factor Z: Q=Z · k · A · _m =k_s · A_m, where k_s means the so called apparent overall heat transfer coefficient. Z is, as was shown in a previous paper, a function of the numbers of flow channels and the dimensionless quantity =(k · A₀)/M · c. In this paper, assuming counter flow and the validity of the relation U=M₁c₁/M₂c₂=1, the correction factor Z is determined for the pure series con nexion of any desired number of flow channels. — An important conclusion drawn from our results is, that for a given heat exanger, k_s has an absolute maximum value for every mass flow rate.