Finite element stability analysis of pre-twisted Beck's column

Summary This paper presents a stability and vibration analysis of a pre-twisted cantilever column subjected to vertical and follower loads at its free end. The investigation is carried out using finite element modelling where the effects of transverse shear deformation and rotatory inertia are taken into account in deriving the element matrices. By using the assembly procedure and imposing the boundary conditions, a relationship between the load and vibration frequency is obtained. The critical, divergence and flutter, loads are calculated by evaluating the relationship and shown in figures for various values of non-conservativeness parameter, of twist angle, and those of rigidity ratio.

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Untersuchung der Stabilität des verwundenen Beck-Stabes mit Finiten Elementen

Übersicht Dieser Aufsatz stellt eine Stabilitäts- und Schwingungsuntersuchung des vorverwundenen, einseitig eingespannten Stabes dar, der an seinem freien Ende vertikalen und mitgehenden Lasten ausgesetzt ist. In der Untersuchung wird die Methode der finiten Elemente angewendet, und in der Herleitung der Elementmatrizen werden die Einflüsse der Schubspannungen infolge der Querkraft und der Rotationsträgheit berücksichtigt. Eine Beziehung zwischen der Last und der Schwingungsfrequenz wird dadurch ermittelt, daß man die Gesamtssystemmatrix bildet und die Randbedingungen anwendet. Durch die Auswertung der Beziehung werden die kritischen Divergenz- und Flatterlasten für verschiedene Werte des Nichtkonservativitätsparameters, des Verwindungswinkels und des Steifigkeitsverhältnisses ermittelt und in Bildern dargestellt.

     

Deposition of droplets from turbulent stream

A model of particle deposition from a turbulent stream is presented. It is based on the modified stopping distance concept which allows for the difference between particle and eddy diffusivities, recognizing that the particle has equal probability to move toward the wall or back into the turbulent core. The theory is tested against the data which cover a wide range of droplet size and duct Reynolds number for different surface configuration. A quite satisfactory agreement has been found in all examined cases.     

Postbuckling of angle-ply and anisotropic plates

Summary An analysis based on the von Kármán-type large-deflection equations of plates is presented for the postbuckling behavior of homogeneous and symmetrically laminated anisotropic rectangular plates. Boundary conditions for both simply supported and clamped edges are considered. A solution is obtained by expressing the force function and transverse deflection as double series involving the appropriate beam eigen-functions. Numerical results are presented for graphite-epoxy angle-ply laminates and homogeneous anisotropic plates. In the cases of buckling of anisotropic plates and postbuckling of isotropic and orthotropic plates, the present solution is in good agreement with existing solutions.

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Übersicht Es wird das Nachbeulverhalten von homogenen, symmetrisch geschichteten, anisotropen Rechteckplatten auf der Grundlage der von Kármán angegebenen Platten-Gleichungen für große Auslenkungen untersucht. Dabei werden sowohl einfach aufliegende, wie auch eingespannte Ränder als Randbedingungen berücksichtigt. Lösungen werden dadurch gewonnen, daß die Belastungsfunktion und die Querauslenkung als doppelte Reihen von geeigneten Balken-Eigenfunktionen angesetzt werden. Für Graphit-Epoxid-Schichtplatten und anisotrope homogene Platten werden numerische Ergebnisse mitgeteilt. Die erhaltenen Lösungen stimmen in den Fällen des Beulens von anisotropen Platten sowie des Nachbeulens von isotropen und orthotropen Platten gut mit bekannten Lösungen überein.

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The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Research Council of Canada.     

Einfluß nichtnewtonscher Stoffeigenschaften auf die Taylor-Wirbelströmung

Zusammenfassung Nach einer kurzen Beschreibung über die Anwendung der Taylor-Wirbelströmung bei der Filtration von nichtnewtonschen Flüssigkeiten werden polymere Modellflüssigkeiten charakterisiert, die als Partikel- und Netzwerklösungen in einer Wirbelströmungsapparatur eingesetzt wurden. Die Fließkurven der Polymerlösungen zeigen aufgrund der extrem hochmolekularen Polymerproben neben strukturviskosen Erscheinungen auch dilatantes Fließverhalten mit besonderer Wirkung auf die Taylor-Wirbelströmung.Die Versuchsflüssigkeiten offenbaren vier verschiedene Typen von Strömungsinstabilitäten: spiralförmige, schwingende und stationäre Instabilitäten sowie gedämpfte Turbulenz. Während die stark strukturviskosen Netzwerklösungen alle genannten Formen aufweisen, fehlt bei den Partikellösungen die spiralförmige Instabilität.Unter Zuhilfenahme des Hantelmolekülmodells zur Beschreibung viskoelastischer Strömungsphänomene gelingt es, durch Einführung einer kritischen Deborahzahl den Einsatzpunkt nichtnewtonscher Taylorströmungseffekte vorauszusagen. Die gefundene Beziehung steht in engem Zusammenhang mit dehnviskositätserhöhenden Polymerwirkungen in Porenströmungen und mit reibungsmindernden Polymereffekten in turbulenten Rohrströmungen.

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Experimental investigations dealing with dilute polymer solutions are described after a short review of the application of Taylor-vortex flow in the filtration processes of non-Newtonian fluids. The test fluids represent both viscoelastic solutions with isolated macromolecules and network solutions with power law fluid behaviour.These solutions show four different types of flow instabilities: spiral-shaped, oscillatory, steady and turbulent phenomena. The Taylor-numbers which depend upon the polymer concentration are determined for the onset of these instability types. For isolated macromolecule solutions, the Deborah-number concept for dilute dumbbell solutions can be applied to describe the first appearance of irregular nonstationary Taylor vortices.The present data are compared to literature values. This fluid behaviour is related to extensional viscosity increases which are also observed in porous media flow and turbulent pipe flow of dilute macromolecular solutions.

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Nomenklatur A, B Konstanten aus Randbedingungen der Ringspaltströmung - C Polymerkonzentration - D Schergeschwindigkeit - De Deborahzahl - l Länge einer Wirbelzelle - L Zylinderlänge - m Gesamtanzahl der Wirbelpaare zur Bestimmung der Wellenzahl - M Molmasse der Polymere - M _w Gewichtsmittel der Molmasse - M _v Viskositätsmittel der Molmasse - n Drehzahl des Rotors - universelle Gaskonstante - r Radius - R _a Radius des Außenzylinders - R _i Radius des Innenzylinders - s Spaltweite - s ^* dimensionslose Spaltweite - T Temperatur - Ta Taylorzahl - v Umfangsgeschwindigkeit - z Anzahl der Wirbelpaare zur Bestimmung der Wellenzahl Griechische Symbole Deformationskoeffizient von Makromolekülen - Wellenzahl - Dehnrate - dynamische Viskosität - [] Grenzviskositätszahl - Relaxationszeit - Dichte - Schubspannung - Winkelgeschwindigkeit - _a Winkelgeschwindigkeit des Außenzylinders - _i Winkelgeschwindigkeit des Innenzylinders Indices c kritisch (erstmaliges Auftreten von Taylorwirbel) - N newtonsch - o onset, Schwellwert - P polymer - r radial - Sch schwingend - Spir spiralförmig - Stat stationär - Turb turbulent - T Taylorströmung - Umfangsrichtung Herrn Prof. Dr. Heinz Harnisch zum 60. Geburtstag gewidmet     

Determination of critical molecular weight for entangled macromolecules using the tensile strength data

The multivariable power dependence of polymer properties on molecular characteristics (Dobkowski, 1981) has been applied to molecular weight dependence of tensile strength, and the known equation of Flory (1945) has been extended taking polydispersity of polymers into account. Constant parameters of the relevant regression equations have been calculated using experimental data on tensile strength and molecular weight averagesM _n andM _w of polystyrene (PS) and polycarbonate (PC). Then, the critical molecular weight for entanglementsM _c has been obtained from the following relationship:A=K M _cwhereA and are parameters of the extended Flory equation for the tensile strength, and the constantK = 2 is assumed for linear polymers. It has been found thatM _c of injection and compression moulded PS is equal to 34000 and 37350g/mole, respectively, whileM _c of injection moulded PC equals to 5000 g/mole. The values ofM _c calculated from the polymer tensile strength are consistent with published data obtained by other methods and with the computer modeling calculations. Branched polymers have only qualitatively been discussed. Dimensionless equations have been proposed for tensile strength characteristics for polymer materials.The described procedure can be suggested as applicable to various polymers for the determination of theirM _c values. However, more experimental data on another polymer materials will be necessary to support hitherto obtained results.The essential part of a lecture presented during the NATO Advanced Study Institute Rheological Fundamentals of Polymer Processing, Alvor, Portugal, 26 September–7 October 1994     

On a stress function method of a thermoelastic problem expressed in cylindrical coordinates in a multiply-connected region exhibiting temperature-dependent material properties

Summary This paper is concerned with the formulation of a plane thermoelastic problem in a multiplyconnected region exhibiting temperature-dependent material properties in terms of a stress function by deriving the integral conditions necessary for the assurance of the single-valuedness of the rotation and displacements, i.e., new Michell's conditions and the finite difference representation of the resulting fundamental equations.The method of solution for the thermoelastic problem in the multiply-connected region is applied to a transient plane-strain thermal stress problem in a hollow circular cylinder having temperature-dependent material properties subjected to an asymmetrical heating by a high-temperature fluid on the inner surface of the cylinder.

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Zur Methode der Spannungsfunktion bei thermoelastischen Problemen mit mehrfach zusammenhängendem Gebiet und temperaturabhängigen Materialeigenschaften

Übersicht In dieser Untersuchung wird ein thermoelastisches Problem mit mehrfach zusammenhängendem Gebiet und temperaturabhängigen Materialeigenschaften mit Hilfe einer Spannungsfunktion behandelt. Die Bedingungen für Eindeutigkeit von Rotation und Verschiebung werden hergeleitet. Die Grundgleichungen des Problems werden mit der Methode der finiten Differenzen gelöst.Als Anwendungsbeispiel wird ein hohler Kreiszylinder mit temperaturabhängigen Werkstoffeigenschaften betrachtet. Der Zylinder wird dabei durch eine Flüssigkeit mit hoher Temperatur in seinem Innern einer symmetrischen Erwärmung unterworfen.

     

Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung mit axialer Wärmeleitung

Zusammenfassung Der Einfluß der axialen Wärmeleitung auf den konvektiven Wärmeübergang kann bei laminarer Strömung bedeutsam werden. Theoretisch-numerische Methoden wurden angewendet, um eine umfassende Untersuchung dieses Wärmeübergangsproblems für folgende Bedingungen durchführen zu können: Axiale Wärmeleitung im Fluid stromaufwärts und stromabwärts des Wärmeübergangsrohres bei entweder konstanter Temperatur oder konstanter Wärmestromdichte an der Rohrwand. Für die Wand des Zulaufrohres wird entweder eine konstante Temperatur oder Wärmeundurchlässigkeit angenommen.

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Heat transfer in tubes with laminar flow and axial heat conduction

The influence of axial heat conduction on convective heat transfer becomes of importance for laminar flow conditions. Numerical methods have been applied for a comprehensive study of this mode of heat transfer for the following conditions: Axial molecular heat conduction in the fluid upstream and downstream of the heat transfer tube with constant temperature or constant heat flux at the tube wall. For the wall of the entrance tube arranged upstream of the heat transfer tube either constant temperature or adiabatic conditions were assumed.

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Bezeichnungen a m²/s Temperaturleitkoeffizient - c_p kJ/(kg K) spezifische Wärmekapazität - d m Rohrdurchmesser - q_w kJ/(m²s) Wärmestromdichte an der Wand - r m radiale Koordinate - R m Rohrradius - T K örtliche Temperatur des Fluids - T_O K Fluidtemperatur am Rohreintritt bei x=– - T₁ K Fluidtemperatur am Rohraustritt bei x=+ - ¯T K mittlere Fluidtemperatur - T_f K integrale Mitteltemperatur - w m/s örtliche Geschwindigkeit des Fluids - ¯w m/s mittlere Fluidgeschwindigkeit - x m axiale Koordinate - _x kJ/(m²s K) örtlicher Wärmeübergangskoeffizient - kJ/(m²s K) mittlerer Wärmeübergangskoeffizient - kg/(m s) dynamische Viskosität des Fluids - kJ/(m s K) Wärmeleitkoeffizient des Fluids - m²/s kinematische Viskosität des Fluids - kg/m³ Dichte des Fluids Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser zum 75. Geburtstag gewidmet     

Zur Berechnung von Durchsenkungen eines Balkens unter Folgen von wandernden Lasten mit finiten Raum-Zeit-Elementen

Übersicht Die Diskretisierung des Raumes und der Zeit führt auf ein Näherungsverfahren für die Durchbiegungen von Einfeldträgern unter Folgen von wandernden Lasten. Dabei wird nachgewiesen, daß Vereinfachungen der mathematischen Ausgangsgleichung für analytische Näherungslösungen nur bedingt möglich sind.

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Summary The discretization of space and time leads to an approximation for the deflections of a beam under sequences of moving loads. It is shown that simplifications of the mathematical equation for analytical approximations are possible only under certain restrictions.

     

Verschiebungs- und Spannungsübertragung an ebenen Schichten elastischer Medien

Übersicht Die Behandlung vieler Probleme der Elastomechanik und der Akustik im Zusammenhang mit Platten oder Schichtungen erfordert die Berechnung des Zusammenhanges der Verschiebungen und Spannungen auf beiden Seiten der Platte oder der Schichtung. Diese Berechnung wurde für Hookesche Medien allgemein durchgeführt und zu einem Eingabe-Ausgabe-Formalismus ausgearbeitet. An Hand von zwei Beispielen aus der Akustik wird die Leistungsfähigkeit des Kalküls dargelegt.

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Summary Many problems of elastomechanics and acoustics in connection with plates or layers need the evaluation of the displacement-stress-relations between the two sides of the plate or the layer. This evaluation has been carried out in general for Hooke's media and elaborated to an input-output formalism. The efficiency of the calculus is demonstrated by two examples out of the acoustics domain.

     

Heat transfer in laminar entrance region of a flat channel for the temperature boundary condition of the third kind

To explore the influence of the developing flow in a flat channel on the laminar forced convection heat transfer, the non-linear momentum and the linear energy equation are solved successively by employing the Galerkin-Kantorowich method of variational calculus. Assuming constant fluid properties, negligible axial diffusion and temperature boundary condition of the third kind, semi analytic solution for velocity and temperature is derived. The local Nusselt numbers are tabulated for various values of Biot and Prandtl number.