Weighted majority games and the matrix of homogeneity

If a weighted majority game (not necessarily constant sum or super additive) is described by the weights (voting strength) of the players involved and a majority level, then it is desirable to know whether the game is in addition homogeneous. The paper provides a recursive procedure defining a test for homogeneity. This procedure involves the computation of a number theoretical function, the matrix of homogeneity. If this matrix is knownall majority levels with respect to which the given set of weights represents a homogeneous simple weighted majority game are known at once.

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Zusammenfassung Ein gewichtetes Majoritätsspiel (nicht notwendig superadditiv oder mit Konstantsummeneigenschaft) kann beschrieben werden durch die Gewichte (die Abstimmungsstärke) der beteiligten Spieler und durch eine Mehrheitsschranke. Wenn eine solche Darstellung gegeben ist, so ist es wünschenswert, das Spiel zusätzlich auf die Eigenschaft der Homogenität hin zu untersuchen. Die vorliegende Arbeit stellt eine rekursive Prozedur zur Verfügung, die einen Test auf Homogenität einer vorgelegten Darstellung eines Spieles impliziert. Die Prozedur ermöglicht die Berechnung einer zahlentechnischen Funktion, der Homogenitätsmatrix. Wenn diese Matrix bekannt ist, kann man bei einem vorgegebenen Gewichtssatz alle Majoritätsschranken angeben, bezüglich welcher die vorgelegten Gewichte ein homogenes einfaches gewichtetes Majoritätsspiel darstellen.

     

Application of the ellipsoid method in an interactive procedure for multicriteria linear programming

The research reported in this paper is concerned with an application of the ellipsoid algorithm in the interactive multicriteria linear programming step method (STEM) byBenayoun et al. [1971]. Due to this application we eliminate some drawbacks of the original version of STEM and, moreover, we avoid extra computations connected with sensitivity analysis in every iteration. Specifically, we use the ellipsoid algorithm to minimize the Euclidean norm in the criterion space instead of the Chebyshev norm, which ensures that every solution submitted to the decision maker is efficient. As follows from a computational experiment, in comparison with the application of the simplex method, the proposed modification of STEM shows a smaller increase of the computational effort when the number of criteria increases. However, the absolute computation time becomes worse for problems of larger size.

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Zusammenfassung In dieser Arbeit wird über eine Anwendungsmöglichkeit der Khachiyan-Shor-Algorithmus (Ellipsoid-Algorithmus) im Rahmen des STEM-Verfahrens zur interaktiven Lösung linearer Vektoroptimierungsmodelle berichtet. Auf diese Weise können einige spezifische Nachteile des STEM-Verfahrens in seiner Originalversion vermieden werden. Durch die Verwendung der Euklidischen Norm anstelle der beim STEM-Verfahren üblichen Tschebyscheff-Norm wird garantiert, daß dem Entscheidungsträger nur effiziente Lösungen vorgeschlagen werden. Die numerischen Erfahrungen zeigen, daß der Lösungsaufwand der hier vorgeschlagenen Modifikation des STEM-Verfahrens mit steigender Anzahl von Zielfunktionen weniger stark zunimmt als bei der üblichen Version. Dies gilt jedoch nicht hinsichtlich der allgemeinen Problemgröße.

     

Registrierende Messung des mechanischen Verlustes von Kunststoffproben

Zusammenfassung Ein neues Verfahren, das eine unmittelbare und kontinuierliche Registrierung des mechanischen Verlustwinkels über einen weiten Temperaturbereich erm?glicht, wird beschrieben. Die Probe wird einer periodischen Biegung (f=2,5 Hz) unterworfen; die Zeit des Kraftnulldurchgangs relativ zur Bewegung ist dem Verlustwinkel proportional und wird elektronisch ermittelt. Das Me\ergebnis ist weitgehend von der Probenform und deren ?nderung w?hrend der Messung (Krümmung der Probe, thermische Ausdehnung usw). unabh?ngig. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei für die Unterstützung dieser Arbeit verbindlichst gedankt.     

Begleitfiguren und Invariantensystem minimaler Differentiationsordnung von Kurven im reellenn-dimensionalen affinen Raum

For such curves we know a moving frame and a complete system of invariants (affine curvatures) with respect to the group of volume-conserving transformations (unimodular group) of the order 2n?1 respectively 2n (see [1], p. 171). In this paper we study for a curvec a moving frame and a system of invariants of the minimal ordern+1, respectivelyn+2, by means of a curve with vanishing affine curvatures that has contact of maximal order withc. Forn=3 this is a result ofA. Winternitz ([1], p. 171 or [3], p. 86).     

Heuristische Verfahren zur Tourenplanung bei der Hausmüllentsorgung in ländlichen Regionen

Zusammenfassung Tourenprobleme bei der Hausmüllsammlung lassen sich in die Reihe der Lieferplanprobleme einordnen. Zur Lösung praktischer Größenordnungen werden hier einfache heuristische Verfahren (Prioritätsregeln) vorgestellt, weniger um der Vielzahl heuristischer Verfahren weitere hinzuzufügen als vielmehr dem Praktiker einen vielversprechenden Weg beim Lösen seiner Probleme aufzuzeigen.

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Summary The discussed solid waste collection problem shows the properties of the so called truck dispatching problem. To solve problems for typical problem structure heuristic rules are pointed out in order to show the planner an efficient way of problem solving.

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Zusammenfassung dreier Vorträge im 4. planungstechnischen Seminar Tourenplanung bei der Abfallbeseitigung am Institut für Siedlungswasserwirtschaft der Universität Karlsruhe am 1.10.1976.     

Kriterien in der Theorie der Gleichverteilung

It is the aim of this paper to introduce two new notions of discrepancy. They are defined by the formulas $$\begin{gathered} \Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| = r} \left| {\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}} \right)\sum\limits_{n = 1}^N {f\left( {z e^2 \pi i\omega \left( n \right)} \right)} - f\left( 0 \right)} \right|, and \hfill \\ \delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| = r} \left| {\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}} \right)\sum\limits_{n = 1}^N {f\left( {z \omega \left( n \right)} \right)} \cdot z - \int\limits_0^z {f\left( \zeta \right)d\zeta } } \right|, \hfill \\ \end{gathered} $$ wheref is a holomorphic function defined in the unit disc withf ^(k) (0)≠0 for allk∈?,r<1 is a positive number, and ω is a sequence in [0, 1]. The first of these discrepancies can be generalized for multidimensional sequences. ω is uniform distributed if and only if lim _N→∞ Δ _N ^r (ω;f)=0 resp. lim _N→∞δ _N ^r (ω;f)=0. These results are proved in a quantitative way by estimating the classical discrepancyD _N (ω) by means ofΔ _N ^r (ω;f) and δ _N ^r (ω;f): $$\begin{gathered} \Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) \ll D_N \left( \omega \right) \ll \Phi \left( {\Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right)} \right), \hfill \\ \delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) \ll D_N \left( \omega \right) \ll \Psi \left( {\delta _N^r \left( {\omega ;f} \right)} \right). \hfill \\ \end{gathered} $$ The functions Φ and Ψ only depend onf andr. These estimations are based on the inequalities ofKoksma-Hlawka andErdös-Turán.     

Untersuchungen zur Physisorption und Chemisorption von Wasser auf Zinkoxid-Oberflächen

The investigation of different zinc oxide samples by means of thermogravimetry and infrared spectroscopy has shown that the surface of the samples is covered by an approximately monoatomic layer of hydroxide groups. Furthermore, varying amounts of carbonate groups are found which are due to the presence of zinc hydroxide carbonate II [Zn₅(OH)₆(CO₃)₂]. Below relative water vapour pressures of p/p₀ = 0.2 (25°C), two hydrogen bridges connect one physisorbed water molecule with two chemisorbed surface hydroxide groups. In addition, about the same amount of water is physically adsorbed between vapour pressures of p/p₀ 0.2 and 0.8. At still higher relative humidity, a multimolecular layer is built up which reaches a thickness of about 200 water molecules at p/p₀ = 1.0. All samples show in the v-OH region of the IR. spectrum a broad absorption with four bands, A, B, C, and D. The position of the bands and the change of their intensities when rising the temperature of the samples up to 600°C indicate that both bands of longer wave lengths, C and D, arise from physically adsorbed water molecules, while the bands A and B are due to hydroxide groups located on the crystallographic faces (0001) and (0001 ), respectively.     

Diphosphacarbollide analogues of the C5H5- anion: isolation of the nido-di- and triphosphacarboranes 7,8,9-P2CB8H10, [7,8,9-P2CB8H9]-, [7,8,10-P2CB8H9]-, and 7,8,9,10-P3CB7H8

Treatment of a solution of excess PCl(3) and PS (PS = "proton sponge" = 1,8-dimethylamino naphthalene) with arachno-4-CB(8)H(14) (1) in CH(2)Cl(2), followed by hydrolysis of the reaction mixture, resulted in the isolation of the eleven-vertex diphosphacarbaborane nido-7,8,9-P(2)CB(8)H(10) (2) (yield 34%) as the main product. Other products isolated from this reaction were the phosphacarboranes nido-7,8,9,10-P(3)CB(7)H(8) (3) (yield 5%) and closo-2,1-PCB(8)H(9) (4) (yield 15%). Compound 2 can be deprotonated by PS in CH(2)Cl(2) or NaH in diethyl ether to give the [nido-7,8,9-P(2)CB(8)H(9)](-) (2(-)()) anion, which gives back the original compound, 2, upon re-protonation. Thermal rearrangement of anion 2(-) (Na(+) salt) at 350 degrees C for 2 h produced the isomeric [nido-7,8,10-P(2)CB(8)H(9)](-) (5(-)()) anion, which was isolated as a PPh(4)(+) salt (yield 86%). Multinuclear ((1)H, (11)B, (31)P, and (13)C), two-dimensional [(11)B-(11)B] COSY, (1)H{(11)B(selective)}, (1)H{(31)P(selective)}, and gradient-enhanced ([(1)H-(13)C] HSQC) magnetic resonance measurements led to complete assignments of all resonances which are in excellent agreement with the structures proposed. Coupling constants, (1)J((31)P,(13)C), (2)J((31)P,C,(1)H), and (1)J((31)P,(31)P), were calculated using the DFT method B3LYP/6-311+G(d,p). The molecular geometries of all compounds were optimized ab initio at a correlated level of theory (RMP2(fc)) using the 6-31G basis set, and their correctness was assessed by comparison of the experimental (11)B and (13)C chemical shifts with those calculated by the GIAO-SCF/II//RMP2(fc)/6-31G method. The computations also include the structures and chemical shieldings of the still unknown isomers [nido-7,10,8-P(2)CB(8)H(9)](-) (6(-)) and [nido-7,9,8-P(2)CB(8)H(9)](-) (7(-)).