Die Ungleichungen von Vietoris

The inequalities $$P_{k,l} = \frac{1}{{B(l + 1,k)}}\int\limits_0^{l/(k + l)} {x^l (1 - x)^{k - 1} dx = I_{l/(k + l)} (l + 1,k)< \frac{1}{2}}$$ and $$\Phi _{k,l,\mu } = \frac{1}{{B(k,k\mu + 1)}}\int\limits_0^1 {x^{k - 1} (1 - x)^{k\mu } I_x (l + 1,l\mu )dx< \frac{1}{2}}$$ are shown to be valid for any positive real numbersk, l, μ.     

Registrierende Messung des mechanischen Verlustes von Kunststoffproben

Zusammenfassung Ein neues Verfahren, das eine unmittelbare und kontinuierliche Registrierung des mechanischen Verlustwinkels über einen weiten Temperaturbereich erm?glicht, wird beschrieben. Die Probe wird einer periodischen Biegung (f=2,5 Hz) unterworfen; die Zeit des Kraftnulldurchgangs relativ zur Bewegung ist dem Verlustwinkel proportional und wird elektronisch ermittelt. Das Me\ergebnis ist weitgehend von der Probenform und deren ?nderung w?hrend der Messung (Krümmung der Probe, thermische Ausdehnung usw). unabh?ngig. Der Deutschen Forschungsgemeinschaft sei für die Unterstützung dieser Arbeit verbindlichst gedankt.     

Begleitfiguren und Invariantensystem minimaler Differentiationsordnung von Kurven im reellenn-dimensionalen affinen Raum

For such curves we know a moving frame and a complete system of invariants (affine curvatures) with respect to the group of volume-conserving transformations (unimodular group) of the order 2n?1 respectively 2n (see [1], p. 171). In this paper we study for a curvec a moving frame and a system of invariants of the minimal ordern+1, respectivelyn+2, by means of a curve with vanishing affine curvatures that has contact of maximal order withc. Forn=3 this is a result ofA. Winternitz ([1], p. 171 or [3], p. 86).     

On the speed of convergence in the ergodic theorem

Given any ergodic invertible measure preserving transformation τ of [0,1] and any null-sequence (α _N ) of positive reals, there exists a continuousf such that $$\lim \sup \alpha _{\rm N}^{ - 1} \left| {N^{ - 1} \sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {f \circ \tau ^k - \smallint f} } \right| = \infty a. e.,$$ i.e. there is no “speed of convergence” in the ergodic theorem for any τ. The analogous result holds also for norm-convergence.     

Über geschlossene Regelflächen im elliptischen Raum

On a ruled closed surface in the elliptic 3-space two integral invariants are considered: the aperture distance of a curve orthogonal to the generating lines of , and the aperture angle of an orthogonally circumscribed tangent surfaces. By means of these integral invariants and by considering certain ruled surfaces associated to one finds the geometric meaning of further integral invariants. If is generated by the binormals of a curve one obtains some properties of closed curves in the elliptic 3-space.     

Heuristische Verfahren zur Tourenplanung bei der Hausmüllentsorgung in ländlichen Regionen

Zusammenfassung Tourenprobleme bei der Hausmüllsammlung lassen sich in die Reihe der Lieferplanprobleme einordnen. Zur Lösung praktischer Größenordnungen werden hier einfache heuristische Verfahren (Prioritätsregeln) vorgestellt, weniger um der Vielzahl heuristischer Verfahren weitere hinzuzufügen als vielmehr dem Praktiker einen vielversprechenden Weg beim Lösen seiner Probleme aufzuzeigen.

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Summary The discussed solid waste collection problem shows the properties of the so called truck dispatching problem. To solve problems for typical problem structure heuristic rules are pointed out in order to show the planner an efficient way of problem solving.

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Zusammenfassung dreier Vorträge im 4. planungstechnischen Seminar Tourenplanung bei der Abfallbeseitigung am Institut für Siedlungswasserwirtschaft der Universität Karlsruhe am 1.10.1976.     

Kriterien in der Theorie der Gleichverteilung

It is the aim of this paper to introduce two new notions of discrepancy. They are defined by the formulas $$\begin{gathered} \Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| = r} \left| {\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}} \right)\sum\limits_{n = 1}^N {f\left( {z e^2 \pi i\omega \left( n \right)} \right)} - f\left( 0 \right)} \right|, and \hfill \\ \delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) = \mathop {\sup }\limits_{\left| z \right| = r} \left| {\left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 N}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} N}} \right)\sum\limits_{n = 1}^N {f\left( {z \omega \left( n \right)} \right)} \cdot z - \int\limits_0^z {f\left( \zeta \right)d\zeta } } \right|, \hfill \\ \end{gathered} $$ wheref is a holomorphic function defined in the unit disc withf ^(k) (0)≠0 for allk∈?,r<1 is a positive number, and ω is a sequence in [0, 1]. The first of these discrepancies can be generalized for multidimensional sequences. ω is uniform distributed if and only if lim _N→∞ Δ _N ^r (ω;f)=0 resp. lim _N→∞δ _N ^r (ω;f)=0. These results are proved in a quantitative way by estimating the classical discrepancyD _N (ω) by means ofΔ _N ^r (ω;f) and δ _N ^r (ω;f): $$\begin{gathered} \Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) \ll D_N \left( \omega \right) \ll \Phi \left( {\Delta _N^r \left( {\omega ;f} \right)} \right), \hfill \\ \delta _N^r \left( {\omega ;f} \right) \ll D_N \left( \omega \right) \ll \Psi \left( {\delta _N^r \left( {\omega ;f} \right)} \right). \hfill \\ \end{gathered} $$ The functions Φ and Ψ only depend onf andr. These estimations are based on the inequalities ofKoksma-Hlawka andErdös-Turán.