Пространства Lp со сме шанной нормой на беск онечном декартовом произвед ении вероятностных п ространств

Letp=(p ₁,p₂,...) be a vector with an infinite number of coordinates, 1≦p _k≦,k=1,2,... On the set of random functions depending on infinite number of variables, a mixed norm ∥.∥ _p is introduced, and thus the spacesL _p with mixed norm are defined. Part 1 contains observations of general properties of those spaces (in particular, convergence properties depending on the behaviour of the exponentsp _k ask→ ∞). Part 2 contains the proof of infinite-dimensional version of S. L. Sobolev's theorem (in mixed norm) for potentials of Wiener semigroup on infinite dimensional torusT ^∞.     

О сходимости интерпо ляционного процесса Лагранжа-Эрмита для н еограниченных функц ии

It is proved that in some cases convergence of the Lagrange-Hermite interpolation process with respect to a weighted uniform metric depends essentially on the growth rate of the interpolated function.     

Об одной задаче лузина

Резюме В работе предлагается решение одной задачи, принадлежащей н. н. Лузину, о выделении максимальных коэффициентов в ряде Фурье. Ключевое соображение состоит в использовании итерированных сверток, в который максимальные коэффициенты Фурье играют ведущую роль. Результат доведен до формул, содержащих предельный переход по номеру свертки. Предельные значения оказываются априори целыми числами, так что приближенные вычисления с последующим обычным округлением дают абсолютно точный результат.Поступило 12 августа 1997 г, переработанные варианты 12 января 1999, 15 сентября 2000 и 21 мая 2001 гг.     

О РАцИОНАльНых сОстА ВльУЩИх МЕРОМОРФНых ФУНкцИИ И Их пРОИжВОД Ных

LetG be an arbitrary domain in \(\bar C\) ,f a function meromorphic inG, $$M_f \mathop = \limits^{def} \mathop {\lim \sup }\limits_{G \mathrel\backepsilon z \to \partial G} \left| {f(z)} \right|< \infty ,$$ andR the sum of the principal parts in the Laurent expansions off with respect to all its poles inG. We set $$f_G (z) = R(z) - \alpha ,{\mathbf{ }}where{\mathbf{ }}\alpha = \mathop {\lim }\limits_{z \to \infty } (f(z) - R(z))$$ in case ∞?G, andα=0 in case ∞?G. It is proved that $$\left\| {f_G } \right\|_{C(\partial G)} \leqq 50(\deg f_G )M_f ,{\mathbf{ }}\left\| {f'_G } \right\|_{L_1 (\partial G)} \leqq 50(\deg f_G )V(\partial G)M_f ,$$ where $$V(\partial G) = \sup \left\{ {\left\| {r'} \right\|_{L_1 (\partial G)} :r(z) = a/(z - b),{\mathbf{ }}\left\| r \right\|_{G(\partial G)} \leqq 1} \right\}.$$      

Convergence of simultaneous Padé approximants to two dilogarithms

. .     

Onp-Helson sets in R n

p- . E R ⁿ -, f () _p(R ⁿ)., ER ⁿ 2nq ₀, E— - q ₀(q ₀-1). : q₀>2 n1 E R ⁿ 2nq ₀, p- p<₀. , f-[-, ]ⁿ, f A _p(R ⁿ) , _p([-, ]ⁿ) (1 << ).     

Приближение алгебра ическими многочлена ми классов функций, являющихся д робными интегралами от суммируемых функц ий

Approximation in the mean (E _n(f)₁) by algebraic polynomials of order ≦n is studied in the paper, for classesW ₁ ^r of functionsf, which can be represented as $$f(x) = \frac{1}{{\Gamma (r)}}\int\limits_{ - 1}^1 {(x - t)_ + ^{^{r - 1} } } \varphi (t)dt,$$ where??L ₁-1, 1], ∥?∥₁≧1, (x-t) ₊ ^r1 =[max(0, x-t)]^r1, Г (r) stands for Euler's gamma-function. It is proved that for all realr≧1 and positive integersn≧[r]?1 the relation sup E_n(f)₁:f?W₁ ^r=∥(S_n)_r∥_t8, is valid, where $$(s_\Lambda )_{_r } (t) = \frac{1}{{\Gamma (r)}}\int\limits_{ - 1}^1 {(x - t)_ + ^{r - 1} } $$ sgn sin (n+2) arc cosx dx.     

A generalization of the Heine limit for functions which converge on a base

. , , . . . .     

On the Cesàro summability of orthogonal sequences

(C, ). , . 0<<1. 1) - ( _k ), _k =a _k , (C, ), . 2) , , (C, ) ; _k = =¦a _k ¦.