微积分中的两个问题

由于f(x)在(-∞,+∞)上是可微的,且,f~1(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)(x≠0),所以对任意的x,在区间[0,x]或[x,0]上,f(x)都满足拉格朗日中值定理的条件,因此,在0与x之间至少存在一点ξ,使得:     

微积分教学中参数方程的几个例子

参数方程在许多学科都有广泛应用,本文旨在探讨大学数学中的参数方程教学,通过三个比较典型的例子展示参数方程与直角坐标和极坐标间的联系与区别以及同工程等学科的关系.建议在教学中参考以提升学生对这类方程描述运动的理解.     

从微积分的发展看微积分的教学

本文中我们想回顾一下微积分的发展 ,但本文不是一篇数学史的论文。尽管它涉及一些历史事实 ,但有不少事实并未经过专门的考证。而且一些重要的历史事实与历史人物全未涉及。我们希望说明的只是一点 :数学发展归根结底是为了探索大自然规律。为了实现这个目的 ,数学不可能只是某些经验事实的积累 ,也不可能仅仅依靠哲学的思辨。在人类文化的各个分支中 ,数学成了可能是唯一的依靠逻辑规则建立自己的分支。这是它对人类的发展的伟大的 ,不可代替的贡献。如果这个论点是站得往脚的 ,则它的教学过程也应该充分考虑到这一点。但是本文是关于数学…     

两个集合问题的辨析

下面通过对两个集合问题的辨析,希望能 帮助同学们更好地理解集合的有关概念. 问题1 设集合A,则集合B={x | x∈A) 与集合是否相等? 高一同学常常认为集合B与集合C相同, 既使高三同学也有很大一部分认为是相同的. 从调查发现,同学们对证明集合相等的方法 (证明两个集合互为子集关系)还是理解的,错     

微积分教学点滴

微积分是重要的一门课程，它的应用很广．学生在学习它时，有一定难度．现将我在教学中的点滴体会介绍出来，供同行参考．一、极限计算中学生易犯的错误的例子例１求ｌｉｍｎ→∞１＋２＋…＋ｎｎ２．错解ｌｉｍｎ→∞１＋２＋…＋ｎｎ２＝ｌｉｍｎ→∞１ｎ２＋ｌｉｍｎ→...     

基于本原问题的微积分概念教学浅析

利用匀速直线运动、自由落体运动、变速直线运动等问题,直观介绍微积分基本概念及其相互联系,阐明微积分本原问题在微积分概念教学中的作用.     

向量中两个问题的辨析

问题一已知A(3,4)、B(9,2)把向量AB→按a→(-2,13)平移,求平移后所得向量的坐标. 解法一AB→=(6,-2),根据平移公式x'=x-2 y'=y 3,那么平移后A’B’→=(4,1); 解法二根据平移公式得A’(1,7)、     

向量中两个问题的辨析

问题1　已知A( 3,4 ) ,B( 9,2 ) ,把向量AB按a( - 2 ,3)平移,求平移后所得向量的坐标.解　[解法1 ]　AB =( 6 ,- 2 ) ,根据平移公式x′=x - 2 ,y′=y + 3,那么平移后的AB =( 4 ,1 ) .[解法2 ]　根据平移公式得A ( 1 ,7) ,B( 7,5) ,那么AB =( 6 ,- 2 ) .辨析　两种解法结果不同,哪种方法对呢?解法1是先求向量AB再平移;解法2是先移A ,B两点再求向量AB .要解决这个问题,首先要搞清图形的平移与向量平移的区别.教材中讲的平移有两种:一种是图形平移,一种是向量平移.向量平移是不改变大小和方向的,当然坐标也不变,所以本题中AB =( 6 ,- 2…     

微积分应用的两个实例

本文所要列举的两个微积分应用的实际例子,都是天津市第一机床厂的同志根据该厂设计上的需要向我们提出的.这两个问题的特点是:实际背景比较简单,但它们的解答却涉及了微积分中的极限理论,导数,积分以及级数等几个主要方面.把这些实际问题充实到数学分析的教学后收到了良好的效果.     

多元微积分教学刍议

数学科学的前沿和后方两者之间存在着辩证关系,忽视任何一方都会使另一方受到损失。中国数学会教育工作委员会以及安徽省数学会高等数学教学研究会的成立是一件喜事,一个良好的开端。作为响应,写了这篇文章。文中以多元微积分教学为例阐述了关于高等数学教科书、教学原则、教学方法等问题的一些看法。     

初等微积分教学拾零

当前,学习《高等数学课》的人日益增多。因为高等数学课的最基础部份是初等微积分,所以,研究它的教学方法与学习方法是有必要的。 笔者在讲授与辅导这门课的过程中,积累了一点儿心得。今整理成文,以“抛砖引玉”。希望有更多的同志,更深入地研究初等微积分的教学方法与学习方法,经常交流经验,共同提高。     

从微积分的发展看微积分的教学(续一)

积分学的历史比较微分学早得多,古希腊时代的穷竭法(还有中国的割圆术和祖（日桓）原理)都是早期的积分学。关于积分的理解,同样也因什么是无穷小,什么是不可分量而遇到困扰。即令我们把这些问题暂时放在一边,古代的穷竭法也只能用于一些最简单的曲线所成图形的面积。例如卡瓦列里用数列求和方法实际上得到了不定积分     

从微积分的发展看微积分的教学(续二)

麦克斯韦指出,为了认识例如电场这样的向量 A =(Ax,Ay,Az) ,重要的是要知道两个积分,一是 A经过某一曲面S的通量F= sAnds= s A·d s= sAxdydz Aydzdx Azdxdy,(9)另一个是 A沿某曲线L之环流C=∫L A·d s=∫LAxdx Aydy Azdz。(1 0 )尽管它们是由 A生成的,却是两类不同的物理量。(9)和(1 0 )的被积表达式称为二阶与一阶的微分形式ω2 与ω1 。(9)和(1 0 )本来都是很常见的第二型曲线积分与曲面积分。但是正如我们刚才说到的,人们开始研究向量是从代数的、形式的角度来考察的,所以我们现在也从形式的角度来看待它们,所以说它们是“微分…     

函数中几个易混问题的辨析

在函数学习中,我们经常会遇到一些形似而质异的易混问题,如不认真审题,仔细辨析,就难免使解题出现方法上的错误,现例析如下:一、定义域与有意义例1.已知函数f(x)=lg(4xa 2x 1)在(-∞,1)上有意义,求实数a的取值范围.解:函数f(x)在(-∞,1)上有意义,则不等式4xa 2x 1>0的解集包含(-∞,1),从而转化为在(-∞,1)上a>-[(21)x (41)x]恒成立,又由于g(x)=-[(21)x (14)x]在(-∞,1)上是增函数(应注意在(-∞,1)上并不能取到最大值),所以a≥-[(21) (14)]=-43为所求.辨析:若将题中“在(-∞,1)上有意义”改为“定义域为(-∞,1)”,则解答中应有:4xa 2x 1>0的…     

两个概率问题的错解辨析

我们经常会碰到这样的情形,凭经验和常识,我们认定一种结果是正确的,其解答也无懈可击,但有人却强词夺理,硬是从另一个角度“合情合理”地得出了另一个从常理上感到怀疑的结果,明知有漏洞,却一时无法反驳.请看下面的例子:假定抛起三枚硬币,并注意观察各枚落下后是国徽向上或是麦穗向上,问三枚硬币向上的一面完全相同的概率是多少?解答1三枚都是麦穗向上的概率显然中大拇指指向标有数“⑥”的面的朝向时朝右,这时旋转环的阳面朝右),非常容易将图乙化成带“值”的旋转环见图7.4)由于立方体有且仅有6个面,且与标有数“⑥”相邻的4个面的标数的…     

两个概率问题的错解辨析

我们经常会碰到这样的情形，凭经验和常识，我们认定一种结果是正确的，其解答也无懈可击，但有人却强词夺理，硬是从另一个角度“合情合理”地得出了另一个从常理上感到怀疑的结果，明知有漏洞，却一时无法反驳．请看下面的例子：假定抛起三枚硬币，并注意观察各枚落下后是国徽向上或是麦穗向上，问三枚硬币向上的一面完全相同的概率是多少？     

从微积分的发展看微积分的教学（续三）

我们可能有一些不适宜的习惯。其一是：例如，在讲到积分学的应用时，总是用很大的精力讲面积体积等等。其实这些问题都属于前牛顿时期的微积分，是科学上老早解决了的问题。作为引入积分概念的例子还可以，此外很难说有什么作用。对于工科学生，也很难设想哪一门后续课     

与中学老师谈微积分（3）——从3个经典例子看微积分的基本问题

2 从3个经典例子看微积分的基本问题2．1 平均速度和瞬时速度例2．1用S=S（t）表示直线上运动物体在时刻t所走过的路程,V=V（t）表示它在时刻t的瞬时速度,则它在时间区间[u,v]上的平均速度的大小,应当在[u,v]上的某两个时刻的瞬时速度之间．