n次迭代还原函数的一个构造定理

定义1记函数f(x)=f[1](x),f(f(x))=f[2](x),…,f(f(…f(x)…))=f[n](x),f[n](x)为f(x)的n次迭代.定义2记f(x),f[2](x),f[3](x),…,f[n](x)的定义域的交集为A,若对于任意的x∈A,存在最小的正整数n,使得f[n](x)=x,则称f(x)为n次迭代还原函数.不难证明,若f(x)为n次迭代还原函数,则     

浅谈迭代函数的零点问题

<正>我们先给出迭代函数的概念:一般地,如果给定一个函数f(x),它的值域是其定义域的子集,那么我们可以记f⁽¹⁾(x)=f(x),f(1)(x)=f(x),f⁽²⁾(x)=f(f(x)),f(2)(x)=f(f(x)),f⁽³⁾(x)=f(f(f(x))),……,f(3)(x)=f(f(f(x))),……,f⁽ⁿ⁾(x)=f(f(n)(x)=f(f^(n-1)(x))=(f(f(…f(x)…)))n个f并把它们依次叫做函数f(x)的一次迭代,二次迭代,三次迭代,……,n次迭代.n称为f(x)的迭代指数,显然,n次迭代就是同一函数的n次复合函数,下面讨论与二次迭代函数的零点     

世界各地数学奥林匹克试题选登

1找到所有映射f:R→R,满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y,其中x,y∈R.解映射f(x)=0和f(x)=x2显然符合条件.下面证明不存在其它的映射符合要求.设映射f:R→R满足f(f(x) y)=f(x2-y) 4f(x)y(1)其中x,y∈R.令a=f(0).在(1)中取x=0则对任意y∈R,f(a y)=f(-y) 4ay(2)在(2)式中先取y=0,则有f(a)=a.取y=-a,则有a=a-4a2,即a=0.因此由(2)式知f是一个偶函数.在(1)式中令y=-f(x)及y=x2.比较其结果有4(f(x))2=4x2f(x).因而f(x)=0或f(x)=x2.现假设存在x0使得f(x0)≠0,则x0≠0及f(x0)=x02.因为f是偶函数.我们假设x0>0.令x为任意非零实数,在(1)式中令y=-x0,则…     

新题征展(22)

A.题组新编1 .( 1 )若函数 y =4 3x m .9x在区间 ( -∞ ,2 ]上有意义 ,则实数 m的取值范围是　　　 ;( 2 )若函数 y =4 3x m .9x 的定义域是 ( -∞ ,2 ],则实数 m的取值范围是　　　 .2 .已知函数 f ( x)的定义域是 R,且f ( 2 - x) =- f ( x 2 ) .( 1 )若 f( x)是奇函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 2 )若 f( x)是偶函数 ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 3)若 f( 1 x) =f ( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 4 )若 f( 1 x) =- f( 1 - x) ,则 f( x)的周期是　　　 ;( 5)若 f( 2 - x) =f ( x 2 ) ,则 f( x) =　　　 .3.( 1 ) 1…     

你发现它们的周期了吗?

有些数学问题,表面上看与周期毫无关系,但实际上隐含着周期性,一旦揭示了周期,问题就迎刃而解。下面以函数和数列为例说明如下。 1．函数中的周期例1 设对任意整数x,都满足f(x)=f(x 1) f(x-1),且f(0)=19,f(4)=93,求f(59)的值。解∵ f(x)=f(x-1) f(x 1), ∴ f(x 1)=f(x) f(x 2), 两式相加并整理得f(x-1)=-f(x 2), ∴ f(x)=-f(x 3), ∴ f(x 6)=-f(x 3)=f(x), 从而f(x)是以6为周期的函数。∴ f(59)=f(6×9 5)=f(5) =f(4) f(6)=f(4) f(0)=112。例2 函数f(x)在R上是有定义的,且满足(1)f(x)是偶函数,且f(0)=2008；(2)g(x)=f(x-1)是奇函数。试求f(2004)的值。     

新题征展(75)

A题组新编1.(1)若f(x)=18 x3,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) f(4) … f(1024) f(2048)=;(2)若f(x)=14-x2,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) … f(1024) f(2048)=;(3)若f(x)=11 2x2,则f(1512) f(1256) … f(12) f(1) … f(128) f(256)=;(4)f(x)=18 x6,则f(1512) f(1256) … f     

赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数 .由于这种表现形式的抽象性 ,使得直接求解思路难寻 .解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 ,即赋予恰当的数值或代数式 ,经过运算与推理 ,最后得出结论 .下面分类予以说明 .1　 判断函数的奇偶性例 1　若 f ( x + y) =f ( x) + f ( y)对于任意实数 x、y都成立 ,且 f( x)不恒等于零 ,判断函数 f ( x)的奇偶性 .解　在 f( x + y) =f ( x) + f ( y)中令x =y =0 ,得 f( 0 ) =0 .又在f ( x + y) =f( x) + f ( y)中令 y =- x,这样就有　 f ( x - x) =f ( x) + f( - x) ,即 f ( 0 ) =f ( x) + f ( - x)…     

函数的周期性与图像对称性的相互关系

全文约定:函数y=f(x)的定义域为R．结论1 若函数y=f(x)的图像关于x=a 和x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)为周期函数．证明∵函数y=f(x)的图像关于x= a和x=b对称, ∴ f(-x)-f(x 2a), 且 f(-x)-f(x 2b)．∴ f(x 2a)=f(x 2b)．∴ f(x)=f[x (2a-2b)]．∴函数y=f(x)是周期函数,2a-2b是     

秘密在哪儿？

在函数y =f(x)中隐含着秘密 ,发现并利用y =f(x) 的秘密 ,是顺利解题的关键 .那么 ,秘密到底藏在哪儿呢藏在函数的关系式之中例 1 :(0 1年全国高考题 )设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,对于任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且 f(1 ) =2 .求 f 12 ,f 14 .分析 :怎样由 f(1 ) =2去求f 12 呢 ?从题设给出的函数关系式 :f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )启发我们 ,只要把 1分成两个 12 之和 ,即可解决问题 .解析 :首先 ,由x1 ,x2 ∈ 0 ,12 都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )的条件 ,可推出x∈ [0 ,1 ]时都成立的一般式子 :f(x) =f …     

新题征展(58)

A 题组新编 1.(1)已知定义在R 上的函数f(x)为增函数,且f(x)·f[f(x) (1)/(x)]=1,求f(1); (2)已知定义在R到R上的连续函数f(x)满足f(x)·f(f(x))=1,若f(100)=99,求f(50).     

闭光滑流形上的奇异积分方程

<正> §1.前言 自Giraud G.以来,已有不少关于闭光滑流形上的奇异积分和奇异积分方程的研究(见[10]),但利用多复变函数的Cauchy型积分作为工具者,至今不多(如[3—8]),而在一维奇异积分方程论中,复变函数的Cauchy型积分起着基本的作用.本文试以定理在多复变函数论中的拓广为基础,讨论闭光滑流形上奇异积分的合成和奇异积分方程的求解,其方法和结论,都是与Giraud G.等人的工作全然不同的.     

Clifford 分析中一个带位移的非线性边值问题

■Gilbert,黄沙、李生训等人对 Clifford 分析中函数性质作了一系列研究.1987年徐振远讨论了实 Clifford 分析中一个基本的边值问题,1989年黄沙、李生训利用陆启铿关于多复变函数于典型域上的调和分析的结果,研究了复 Clifford 分析中的拟变态Dirichlet 边值问题.1990年黄沙研究实 Clifford 分析中一种边值问题.     

一类2n阶次线性奇异边值问题的正解

利用单调迭代方法给出了一类2n阶次线性奇异常微分方程正解的存在性,得到C~(2n-2)[0,1]和C~(2n-1)[0,1]正解存在的充分必要条件,也得到正解的唯一性.     

一类沿曲面的奇异积分算子

记Σ＿（ｎ－２）为ＩＲ￣（ｎ－１）中的单位球面。本文证明了当Ω为ＩＲ￣（ｎ－１）上的零次齐次函数，满足消失性条件，及时，沿任意曲面（ｔ，Г（｜ｔ｜））的主值奇异积分算子及其极大算子在Ｌ￣２（ＩＲ￣ｎ）上是有界的，此处ｂ为ＩＲ￣（ｎ－１）上的有界径向函数，ｘ∈ＩＲ￣（ｎ－１），ｘ＿ｎ∈ＩＲ，及     

一类(0,1)-矩阵的最大积和式的积分表达式

给出了线和n-2的n阶（0，1）－矩阵的最大积和式的积分表达式，并证明了该积分表达式与[1]得到的组合表达式等价。     

迹非零几乎可约分块布尔矩阵的幂敛指数

设H_n(d)是恰含d个正对角元的n阶几乎可约分块布尔矩阵的集合,1≤d≤n,对任何矩阵A∈H_n(d),本文证明了■其中s_n=|(2n-5-(4n-3)~(1/2))/2|,同时刻画了H_n(d)中幂敛指数达到最大值的极矩阵．     

(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似正态性及多总体标准差的齐性检验

计算了随机变量(2χ~2)~(1/2)的数学期望和方差,比较分析了随机变量(2χ~2)~(1/2)-2n~(1/2)与(2χ~2)~(1/2)-(2n-1)~(1/2)的近似分布的相同和不同之处,并且利用2χ2的近似分布的正态性,建立了多总体标准差的检验法.     

一类离散型奇异积分算子

设｛αｋ｝∞ｋ＝－∞为正数缺项序列，满足ｉｎｆｋαｋ＋１／ｄｋ＝α＞１，Ω（ｙ′）为Ｂｅｓｏｖ空间Ｂ０，１１（Ｓｎ－１）上的函数，其中Ｓｎ－１为Ｒｎ（ｎ２）上的单位球面．本文证明：若∫Ｓｎ－１Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）＝０，则离散型奇异积分ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝∑∞ｋ＝－∞∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）和相关的极大算子ＴΩ（ｆ）（ｘ）＝ｓｕｐＮ∑∞ｋ＝Ｎ∫Ｓｎ－１ｆ（ｘ－αｋｙ′）Ω（ｙ′）ｄσ（ｙ′）均在Ｌ２（Ｒｎ）上有界．上述结果推广了Ｄｕｏａｎｄｉｋｏｅｔｘｅａ和ＲｕｂｉｏｄｅＦｒａｎｃｉａ［１］在Ｌ２情形下的一个结果     

关于数论函数方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))

运用Euler函数的性质证明了:当n>1时,方程φ(x_1…x_(n-1)x_n)=m(φ(x_1)+…+φ(x_(n-1))+φ(x_n))仅有有限多组正整数解(x_1,…,x_(n-1),x_n),得到了这些解都满足max{x_1,…,x_(n-1),x_n}≤2m⁴(n-1)4(n-1)²n2n².     

積分∫F(x,y,y′,…,y~((n)))dx的等價問题

<正> 命g為x,y平面上由所有保切變換所構成的羣。在本文內我們將定義一類廣義空間使這空間與積分∫F(x,y,y′,…y~((n)))dx對於羣g而言有不變的聯繫。所謂一空間對於羣g而言與積分∫Fdx有不變的聯繫,意義是:如我們施用羣g