一道获奖命题的巧证

《首届全国数学奥林匹克命题比赛精选》一书中,有这样一个获奖题目:凸四边形ABCD的两组对边互不平行,线段P1P2位于四边形内部.如果P1、P2两点分别到四边距离之和都等于m,那么,P1P2上任意一点到四边距离之和也等于m.给出的解答较繁,笔者以引人参数巧证,简明得多. 证明设P1、P2到四边距离依次为a1、b1、c1、d1,a2、b2、c2、d2,P为P2上任一点, 设P1P/P1P2=λ,P到四边距离分别a、b、c、d.     

数学问题解答

546、试证:一个三角形三边相等的充分与必要条件为:三角形内任一点到三边的距离之和为定值。     

关于正多面体一条性质的推广

定理1 若P为正多面体内任意一点,则P到正多面体各面的距离之和为一常数.这是关于正多面体的一个众所周知的性质,其结论是显而易见的.事实上,设V,S分别表示正n面体的体积和每一面的面积,P为其内任意一点,P到各面的距离为h(i=1,2,…,n).     

一道定值问题的拓广

定理:正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。这是同学们早就熟知的,本文先将它在平几中作一系列的推广,再引伸到立几中去。 1.若任意点P在三角形外。如图1,连结PA、PB、PC,则正三角形的面积为;S=S_(△PAC) S_(△ABP-)S_(△PBC) =1/2a(PE PF-PD)。而S=1/2a·h, 故有 PE PF-PD=h_h为定值。     

关于棱柱的一个猜想的证明

文[1]给出了一个关于棱柱的猜想:任意棱柱A1A2…An-2-A1′A2′…An-2′(n≥5)内一点P,P分该棱柱体积棱锥化定比为F(P)=(m1,m2,m3,…,mn),分过P且平行于底面的截面的面积三角形化定比为f(P)=(λ1,λ2,λ3,…,λn-2)则m1 m2=31,mi=23λi-2(i≥3,i∈N ).笔者在此给出该猜想的证明.图1棱柱证如图1,记该棱柱体积为V,高为h,截面B1B2…Bn-2(n≥5),面积为S.过点P作P1P2∥AiAi′交上、下底面分别于点P1,P2.记点P到上底面A1A2…An-2的距离为h1,到下底面A1′A2′…An-2′的距离为h2,则h1 h2=h.1)由文[2]定义1知m1=VP-A1A2…An-2V,m2=VP…     

正三角形综合练习(上)

<正>三条边长相等的三角形叫做等边三角形,也叫做正三角形.正三角形每个内角都等于60°.正三角形是特殊的等腰三角形,它有三条对称轴.它的内心、外心、重心、垂心是同一点,叫做正三角形的中心.正三角形的性质极为丰富,因此在几何练习题中经常出现.注意:等腰三角形中有一个内角为60°,这个三角形是正三角形.例1 P为正三角形ABC内任一点,则P点到正三角形三边距离的和等于定值     

再谈一个定值命题的推广

本刊文[1]证明了命题: 命题1 设P1、P2、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点,且AP1=BP2=CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线,则P1、P2、P3三点到直线l的距离之和为定值.     

关于三角形旁切圆半径一个公式的简证

文 [1]的定理 1为 :已知△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABN与△ AN C的内切圆半径分别为 r1 、r2 ,则△ ABC的内切圆半径 r满足　　 r =r1 +r2 - 2 r1 r2h . (1)文 [2 ]给出它的一个对偶形式 :定理　△ ABC中 BC边上的高为 h,N为BC边内一点 ,△ ABC与△ ACN的旁切圆 (指在∠ BAC内的 )半径 r′1 、r′2 ,则△ ABC旁切圆半径 r′满足　　 r′=r′1 +r′2 +2 r′1 r′2h . (2 )现给出 (2 )的一个简证 .证明　设△ ABC的面积、半周长分别为△、s,则　　　　　 r′=△s- a,∴　 1r′=s△ - a△ =ssr- 2 aah=1r- 2h…     

Erd(o)s-Mordell定理的两个简捷证明

1935年,P·Erd(o)s提出如下猜想: 定理设P为△ABC内任一点,P到三边BC=a,CA=b,AB=c的距离分别记为PL=r1,PM=r2,PN=r3,则     

一类内接三角形的面积的统一公式

设P是△ABC所在平面内任意一点，AP，BP，CP交直线BC，CA，AB分别于D，E，F，则称△DEF为点P关联△ABC的内接三角形．本文得到了此类内接△DEF与△ABC面积关系的统一公式．即定理设P是△ABC所在平面内的一点，△DEF是P关联△ABC的内接三角形，若有向线段的比，则有Ceva定理知2lA人一1．先证P在凸ABC内的情形．如图1，由于次证P在凸ABC外的情形．如图2，因凸ABC三边所在直线以及过凸ABC三顶点与三边的平行线，六条直线将凸ABC外面的部分划分为15个不同的区域U中一1．2，…，15）．这些区域可归结为四类：UI－U3为…     

椭圆内接四边形的一个性质及其推广

本文给出椭圆内接四边形的一个定值性质 ,并将性质推广到椭圆内接n边形 .一、定理及其推论定理 1 :自椭圆上任意一点到其内接四边形两双对边距离之积的比为定值 .图 1证明 :如图 1设Ai(acosai,bsinai) (i=1 ,2 ,3 ,4)为椭圆内接四边形的四个顶点 ,P(acosθ,bsinθ)为椭圆上任意一点 ,不妨设上述五点中任意两点的连线均与x轴不垂直 ,则 :KA1 A2 =bsina1 -bsina2acosa1 -acosa2=-bcosa1 +a22asina1 +a22所以 ,直线A1 A2 方程为 :y -bsina1 =-bcosa1 +a22asina1 +a22(x-acosa1 )因此 :xbcos a1 +a22 +yasin a1 +a22-abcosa1 -a22 =0又设P到…     

与等边三角形有关的定值问题

等边三角形是最特殊的三角形,其内部任一点到三边的距离和为定值,这个定值被人们熟悉和重视.其实,与等边三角形有关的定值问题还有很多.现举几例予以说明,仅供大家参考.例1 如图1,点P是等边三角形ABC内任意一点,AB =a,过点P作三边的平行线,分别交直线AB,BC,AC于点D,E,F.求证:PD+ PE+ PF=a.     

一个有趣性质的再推广与证明

《数学通报》2 0 0 0年第 6期《一个有趣性质的拓广》中的命题 1　矩形外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .命题 2　矩形外接圆周上的任一点到各边中点的距离的平方和为定值 .可作进一步的推广 .命题 1′　关于原点成中心对称的多边形的外接圆周上的任一点到各顶点的距离的平方和为定值 .证明　如图所示 ,设ｎ边形Ａ1 Ａ2 …Ａｎ 为关于原点成中心对称的图形 ,点Ｐ(ｘ ,ｙ)为其外接圆上的任一点 ,角θｉ- 1 为有向角 ,记θｉ- 1 =∠Ａ1 ＯＡｉ,｜ＰＡｉ｜为点Ｐ到点Ａ的距离 .则∑ｎｉ=1｜ＰＡｉ｜2= ｘ-Ｒｃｏｓθｉ- 1 2 …     

忽视点的多种位置关系致误一例

黑龙江省2002年初中升学考试中有这样一道试题:已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1、h2、h3,△ABC的高为h.“若点P在一边BC上(如图1),此时h3=0,可得结论h1+h2+h3=h图1请直接应用上述信息解决下列问题:当点P在△ABC内(如图2),点P在△ABC外(如图3)这两种情况时,上述结论是否还成立?若成立,请给予证明;若不成立,h1、h2、h3与h又有怎样的关系,请写出你的猜想,不需证明.图2提供的参考答案如下:如图2,当点P在△ABC内时,结论h1+h2+h3=h成立.过点P作NQ∥BC分别交AB、AC、AM于N、Q、K.由题意得h1+h…     

关于空间Erds——Mordell不等式

在△ABC所在的平面上,有如下著名的Erds—Mordell不等式: 设△ABC内一点P到各顶点与到各边的距离分别为R_1,R_2,R_3与r_1,r_2,r_3,则R_1 R_2 R_3≥2(r_1 r_2 r_3) 去年,王扬在文[1]中提出了以下命题     

一个几何结论的应用

<正>一个结论在△ABC中,D在AB上,E是CD上任一点,如图1.求证:DE EC=S△ABE/(S△AEC+S△BEC).证明在△ADC中,设CD边上的高为h1,它等于A点到CD的距离,而这个h1同样分别是△ADE的边DE和△AEC的边EC上的高,同理△BDC的边CD上的高h2同样分别是△BDE的边DE和     

一个有趣性质的拓广

读贵刊1994年第2期《矩形外接圆周上点的有趣性质》(以下简称《有趣性质》)一文,笔者发现文中结论仍是一种特殊情形,很容易拓广为更一般的结论.《有趣性质》一文主要证得了一个引理及一个定理,即命题1　矩形外接圆周上任一点,到各顶点距离的平方和为定值.命题2　矩形外接圆周上任一点,到各边中点距离的平方和为定值.这两个结论告诉我们:矩形外接圆周上任一点到矩形四条边的端点及中点的距离的平方和均为定值.很容易提出:矩形的四条边上的其它点是不是也具有这样的性质?还可提出:是不是仅仅是矩形外接圆周上的点才具有这样的性质?定理1　P为…     

也谈一个定值命题的推广

文 [1]证明了下面的命题 :命题 1　设P1、P2 、P3分别是正△ABC三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1=BP2 =CP3,直线l为过正△ABC外接圆上任一点P的切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 .文 [2 ]用解析法给出上面命题一个简洁证明 ,并将其“推广”为 :命题 2　设P1、P2 、P3分别是△ABC的三边AB、BC、CA上的点 ,且AP1∶P1B =BP2 ∶P2 C =CP3∶P3A =λ ,以△ABC的重心G为圆心 ,定长R为半径作⊙ (G ,R) ,直线l是⊙ (G ,R)的任意一条切线 ,则P1、P2 、P3三点到直线l的距离之和为定值 (3R) .笔者认为 ,命题 2是假…     

应用定点到圆上点的距离特性解题

<正>一个定点到圆上的距离有如下的特性:(1)当定点P在半径为r的⊙O外时,则P到⊙O上点的最近距离为OP-r,最远距离为OP+r;(2)当定点P在半径为r的⊙O内时,则P到⊙O上点的最近距离为r-OP,最远距离为OP+r.应用三角形三边关系不难证明这个结论.     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…