平面解析几何中“降维”思想的应用

在高中平面解析几何中,“降维”转化的思想非常重要.象我们所熟知的将三维立体几何问题转化为二维平面几何问题一样,平面解析几何往往将二维问题转化到一维坐标轴上解决问题,这就是降维转化思想.应用“降维”转化的思想,可简化解题思路,使计算方便快捷.     

三垂线定理(1)

1　教材分析“三垂线定理”是高中立体几何中的重要内容之一 ,它是判断空间两直线垂直的一种重要方法 ,同时也是求作二面角平面角的主要方法 .翻开历年高考试卷可以看出 ,几乎每年的立体几何试题都考查了三垂线定理 (或其逆定理 )的应用 ,“叙述并且证明三垂线定理”就曾是一道高考题 (八二年 ) .我们知道 ,立体几何研究空间元素间位置关系与数量关系的基本思想是转化 (降维思想 ) ,即空间直线与平面、平面与平面的问题都转化为对两条直线的研究 ,空间关系转化到某个平面上 ,利用平面几何的知识来解决 .而垂直这种特殊的位置关系又是研究的…     

O型模糊数及其结构元表示方法

为研究平面或空间模糊几何问题的需要,在平面或空间模糊点的背景下,给出了O型模糊数的概念,它是一类二维实数域上的模糊集,同时给出了O型模糊数的二维模糊结构元表示方法.二维模糊数的结构元方法,可以使O型模糊数的运算变成普通实数与模糊结构元之间的运算,使得过去必须依赖扩张原理和表现定理来刻画的模糊数运算变得更加简单与直观,不仅仅为模糊分析计算的简化提供了工具,也为二维实数域上模糊分析理论与应用的研究开创了一条新的途径.     

拟平稳Euler方程古典音速-超音速解的存在性

给定音速曲线的位置以及其上相应的流角和速度,本文构造了自相似平面上二维等熵Euler方程的音速-超音速解.这个系统是退化的,在音速曲线上失去双曲性,并有奇点产生.基于这些性质,本文采用非平凡的坐标变换,构建了一个具有加权度量的适当的函数空间,在这个空间下,可以构造出严格压缩的逼近解序列,从而证明了解的存在性.     

组合流形上的椭圆方程与组合弹性结构

在偏微分方程的通常理论中,人们讨论空间 R~n 中的均匀维数的区域Ω,在其上规定了微分方程,在 n—1维的边界■Ω上则规定边界条件,这种边界条件通常在性质上要比微分方程本身简单些.很自然地期望把这样的问题框架推广到不均匀维数的区域,它是由不同维数的片块适当地连结而成,在每一片块上规定了微分方程,它们是通过交接关系相互耦合着的,最终还可以在剩下的边界上规定边界条件.许多工程问题中的数学性状     

基于应力形式的二维弹性问题的本征展开法

给出求解基于应力形式的二维弹性问题的本征函数展开方法．通过引入适当的状态函数,将该问题的基本偏微分方程等价地转化为上三角微分系统,导出相应的上三角算子矩阵．证明了该矩阵的两个对角块算子均具有规范的正交本征函数系,并得到它们在相应空间中的完备性．此外,基于本征函数系的完备性,应用本征函数展开法给出了二维弹性问题的一般解．     

例析"降维"思想在一类圆锥曲线题中的妙用

在解立体几何题中常常要用到“降维”思想,把空间三维问题降为平面几何中的二维问题来解,可以降低难度.其实在高中解析几何中,特别是对一类圆锥曲线与向量的综合题,如果善于用“降维”思想,根据向量的坐标运算,把二维(平面直角坐标系)问题降为一维(x轴或y轴)问题,这样可以大大简化解题思路,使计算方便快捷.例1已知椭圆方程为x22 y2=1,过定点P(0,2)的直线交椭圆于不同两点A,B(B在A,P之间),且满足PB=λPA,求λ的取值范围.分析根据条件显然先要设出直线AB的方程,引进新参数k(直线的斜率),然后找到k与λ的关系,再寻求关于λ的不等式来求解,…     

相对论Euler方程组二维活塞问题激波解的局部存在性

考虑二维轴对称相对论Euler方程组的活塞问题.利用轴对称的特点,使用适当的变量先将原问题转化为一维问题,然后通过Taylor展开的方法构造原问题的一个N阶近似解,再利用对相应线性问题所作的能量估计,用Newton迭代法,最终证明其活塞问题激波解的局部存在性.     

立体几何中的化归方法

我们在解决有些数学问题时,常常把待解决或未解决的问题甲,通过某种转化过程,归结到一个已经能解决或比较容易解决的问题乙,然后通过乙问题的解答返回求得原问题甲的解答,这就是化归(也称为转化)方法的基本思想.在数学学习中,化归是非常重要的也是最基本最典型的方法之一.下面我们主要探讨化归在立体几何中的应用.1立体几何研究对象中位置关系间的相互转化立体几何研究对象主要是空间的直线、平面和简单几何体.其中空间两条直线的位置关系、直线和平面的位置关系以及两个平面的位置关系是非常重要的内容,这三种位置关系联系紧密,因而这些问…     

距离与夹角的计算

二元一次方程可以在二维平面上表示一条直线,三元一次方程可在三维空间中表示一个平面即方程Ax＋By＋Cz＋D=0表示一个平面,可将其化为斜截式：z=ax＋by＋c,下面便以斜截式展开讨论（不考虑平面与坐标平面平行）     

无限维无限时区LQ问题的近似解

研讨一种求无限时区上无限维LQ问题的近似解的计算方法, 此方法基于适当的有限时区上有限维LQ问题族之解, 证明了当其时区长度与状态空间维数都趋于无穷时, 它们的二重强极限存在且就是原无限时区无限维问题的解.     

二维平面格点上食饵-捕食者模型的蒙特卡洛模拟

在二维平面格点上定义了改进的两种群Lotka-Volterra模型,在只考虑近邻相互作用的情况下,分析了种群中每个生命个体的空间分布,对食饵-捕食者生命系统随时间进化的影响,利用蒙特卡洛方法,模拟计算了其动力学演化过程,并与经典的两种群Lotka-Volterra模型的模拟结果作了比较,讨论了空间分布随时间变化和空间维数对生命种群演化的影响.     

关于空间角和空间距离的复习

对于立体几何第一章《直线和平面》.若能恰当地将空间角和空间距离作为一条线索进行总复习,对于帮助学生深入理解概念,提高解题能力无疑能起一定的作用.本文力图从一个侧面叙述这个问题. 一、空间角的计算一般地,空间角包括“直线与平面所成的角”、“两平面所成的角”、“两异面直线所成的角”等.它们是由研究空间直线与平面、两个平面、两条直线的位置关系引入的,它们可以从一个侧面反映空间图形的位置关系.由于它们都能通过平面几何中的角来定义,因此空间用可以看作是平面几何中角的概念在空间的拓广.其计算方法一般也是将空间角转化为同一平面内两相交直线所成的角来计算.     

空间轴对称问题边界元法的程序处理

弹性力学的空间轴对称问题可以化为两个变量(r,z)的二维问题求解,但又比平面问题略复杂些.在轴对称问题边界元的程序处理上也会相应带来些麻烦.文章具体介绍了作者在调试轴对称问题边界元程序中遇到的一些问题及处理方法,并给出数值结果加以验证.     

有限维逼近无限维总极值的水平值估计方法

变分计算、最优控制、微分对策等常常要求考虑无限维空间中的总极值问题,但实际计算中只能得出有限维空间中的解.本文用有限维逼近无限维的方法来讨论函数空间中的总体最优化问题.用水平值估计和变侧度方法来求得有限维逼近总体最优化问题.对于有约束问题,用不连续精确罚函数法将其转化为无约束问题求解.     

在立几教学中引导学生构造正方体

<正>立体几何是中学数学教学中的难点之一,这其中很重要的一个因素是立体几何学习需要更多的直观想象.虽然平面几何与立体几何同为几何,但平面几何图形中所见几何元素的关系,一般都是它们之间的真实关系.而立体几何图形则是在二维平面中描述三维空间的几何对象,所见几何元素间的关系一般是空间对象在一定的直观画法下得到的二维平面关系,真实的空间关系需根据相应的直观画法原理逆向直观想象获得.学习立体几何时,直观想象力的暂时不足自然地会影响学生对问题的理解与思考,处理不当,有可能使学生产生畏惧心理,不利于后续学习.     

Banach平面上的圆周率

为了更好掌握凸性理论与有关技巧,我们在老师的指导下,考虑了 Banach 平面上圆周率的上下界问题,并证明了如下有趣的事实:Banach 平面上的圆周率介于3与4之间,且3和4是可达的.一、Banach 平面及圆周率Banach 平面即为二维的线性赋范空间.鉴于二维线性空间必线性同构于 R~2,故不妨设 Banach 平面即为赋有范数‖·‖_*的 R~2空间,记为 (R~2,‖·‖_*).定义1.设 (R~2,‖·‖_*)上以 x_0为圆心,r 为半径的圆为 O={x|‖x-x_0‖_*=r,x∈R~2}.圆周长定义为圆内接多边形当边长一致趋于零时边长之和的极限.注.这里的边长是指关于范数‖·‖_* 的长度,以后若无特殊说明,均按此理解.     

具有延伸表面的驻点流动和传热问题的级数解

研究了在延伸表面上不可压缩二维驻点流动的动量和热量传输问题.通过一系列相似变换把轴对称和平面二维驻点流的控制方程组转化为常微分方程组,利用同伦分析方法求得了速度分布和温度分布的级数解.结果表明,当主流流速大于平面延伸的速度时,就形成了一个边界层,而当主流流速小于平面延伸的速度时,却形成一个反边界层.通过图形和表分析各个物性参数对速度边界层和温度边界层的影响.     

基于灰色投影面积关联度的面板数据聚类方法及应用

为拓展灰色关联分析在面板数据中的应用,针对面板数据的三维特征,将面板数据转化为空间网格.然后基于二维灰色投影关联度,利用空间网格在时间和对象平面上的投影面积,定义了三维灰色投影面积关联度模型.为了解决因为维度不同而导致的关联度差异过大问题,引入灰色聚类检验模型,给出了三维灰色投影面积关联度的面板聚类步骤.最后通过对珠三角四市的空气质量问题的聚类分析,结果表明各类别的差异明显,层次划分清楚,证实了该方法的有效性和实用性.     

点群6一维六方准晶椭圆孔口与半无限裂纹反平面弹性问题的解析解

导出了点群6-维六方准晶反平面弹性问题的控制方程.利用复变方法,给出了点群6-维六方准晶在周期平面内的反平面弹性问题的应力分量以及边界条件的复变表示,通过引入适当的保角变换,研究了点群6-维六方准晶中带有椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题,得到了椭圆孔口问题应力场的解析解,给出了半无限裂纹问题在裂纹尖端处的应力强度因子的解析解.在极限情形下,椭圆孔口转化为Griffith裂纹,并得到该裂纹在裂尖处的应力强度因子的解析解.当点群6-维六方准晶体的对称性增加时,其椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题的解退化为点群6mm-维六方准晶带有椭圆孔口与半无限裂纹的反平面弹性问题的解。