Partial solutions of finite elasticity — Plane deformations

For plane deformations of isotropic incompressible elastic materials new reduced forms of the equilibrium equations are given. From these equations new exact solutions are deduced for the Mooney material. These solutions are shown to be possible approximate solutions to a number of mixed boundary value problems of finite elasticity.

---

Zusammenfassung Neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für ebene Deformationen von isotropischen, unzusammendrück baren, elastischen Materialien werden gezeigt. Von diesen Gleichungen werden neue, exakte Lösungen für das Mooney-Material abgeleitet. Diese Lösungen erweisen sich als mögliche ungefähre Lösungen für eine Anzahl von gemischten Grenzwertproblemen von begrenzter Elastizität.

     

Partial solutions of finite elasticity-three dimensional deformations

The equilibrium equations for the general three dimensional deformation of an isotropic incompressible hyperelastic material are given in a reciprocal form. These reciprocal equations firstly provide an alternative derivation of the inverse deformation results due to Shield [1] and secondly enable new reduced forms of the equilibrium equations to be given for those materials for which the strain-energy function depends upon only one of the principal strain invariants. For the neo-Hookean and extreme-Mooney materials these reduced equilibrium equations are shown to admit new exact solutions expressible in terms of Bessel functions. These deformation fields can be rendered as approximate solutions of various mixed boundary value problems of finite elasticity. Details are given for the problem of the flattening of a portion of a spherical shell which is not necessarily thin.

---

Zusammenfassung Gleichgewichtsgleichungen für die generelle drei-dimensionale Deformation von isotropisch unzusammendrückbarem, hyperelastischem Material werden in einer reziproken Form dargestellt. Diese reziproken Gleichungen ergeben erstens eine Alternativableitung der inversen Deformations-Ergebnisse nach Shield [1] und ermöglichen zweitens neue reduzierte Formen von Gleichgewichtsgleichungen für solche Materialien, für die die Belastungsenergie-Funktion von nur einer der hauptsächlichen Belastungs-Unveränderlichen abhängt. Es wird gezeigt, dass für die Neo-Hookean- und extremen Mooney Materialien diese reduzierten Gleichgewichtsgleichungen neue exakte Lösungen erlauben, die in Form von Bessel-Funktionen ausgedrückt werden können. Diese Deformationsfelder können ungefähre Lösungen zu verschiedenen gemischten Grenzwertproblemen von endlicher Elastizität liefern. Es werden Einzelheiten für das Problem der Abflachung eines Teiles einer kugelartigen Schale, die nicht unbedingt dünn sein muss, angegeben.

     

On pseudo-plane deformations for the neo-Hookean material

For finite elastic deformations of the incompressible neo-Hookean material the problem of determining exact pseudo-plane deformations is considered. In particular three dimensional deformations are examined which are generated by replacing constants of an assumed known plane deformation with functions of a single space variable. Results are given for replacement of constants arising from translational and rotational invariance and stretchings. Finally two specific deformations are considered which provide new exact solutions for the neo-Hookean material.

---

Zusammenfassung Exakte Lösungen für das Problem von pseudo-ebenen finiten Deformationen eines elastischen, inkompressiblen, neo-Hookeschen Materials werden ermittelt und diskutiert. Insbesondere werden dreidimensionale Deformationen studiert, welche durch Ersetzen der Konstanten einer als bekannt vorausgesetzten ebenen Deformation mit Funktionen einer einzigen Raumvariablen erzeugt werden. Resultate für den Ersatz der Konstanten aus Translations- und Rotationsinvarianz sowie aus Dehnungen sind aufgeführt. Schließlich werden zwei spezifische Deformationen betrachtet, welche zu neuen exakten Lösungen für das neo-Hookesche Material führen.

     

On a class of solutions in plane finite elasticity

Zusammenfassung Es werden endliche elastische Deformationen bei ebenen Verzerrungszuständen betrachtet, in welchen die Spannungen nur vom Azimut abhängen. Der allgemeine Charakter der Deformationen wird für inkompressible isotrope Materialien diskutiert; insbesondere werden zwei partikuläre Lösungen aufgestellt, die für alle Formen der Verzerrungsenergie gültig sind. Die Lösungen der ersten Klasse sind die erwarteten homogenen Deformationen, während diejenigen der zweiten Klasse in rotatorischen, von einem einzigen Parameter abhängigen Verformungen bestehen. Es wird die Lösung von Randwertproblemen für die Spannungen bei keilförmigen Gebieten im einzelnen für ein Mooney-Material untersucht und dabei gezeigt, dass gewisse besondere Eigenschaften der infinitesimalen Theorie auch in der nichtlinearen auftreten.

---

---

The results presented in this paper were obtained in the course of research sponsored by the National Science Foundation.     

Propagation of simple non-linear waves in gas filled tubes with friction

Summary The propagation of simple nonlinear waves in tubes is investigated. It is seen that both continuous and discontinuous asymptotic waves exist for which the nonlinear distortion and the viscous effect owing to the boundary layer just balance. Both types of solutions can be collapsed into one normalized asymptotic solution. A numerical method is given to compute time-dependent solutions. The evolution of continuous and discontinuous waves is illustrated with two examples.

---

Zusammenfassung Untersucht wird die Fortpflanzung einfacher nichtlinearer Wellen in Rohren. Es wird gezeigt, daß asymptotische Wellen mit und ohne Diskontinuität existieren, für welche sich Grenzschichteffekte und nichtlineare Aufsteilung gerade die Waage halten. Die Lösungen beider Arten können auf eine einzige normalisierte asymptotische Lösung zurückgeführt werden. Es wird ein numerisches Verfahren angegeben, mit welchem zeitabhängige Lösungen berechnet werden können. Die Evolution von Wellen mit und ohne Diskontinuität wird mit zwei Beispielen illustriert.

     

Quasi-linear analysis of the nonlinear motion of a nonspinning symmetric missile

Zussmmenfassung In der Arbeit wird mit Hilfe einer Erweiterung der quasillnearen Theorie vonKrylow undBogoljubow von einem System zweiter Ordnung auf ein solches vierter Ordnung die nichtlineare Schieb- und Giebewegung (Querbewegung) eines symmetrischen Flugkörpers untersucht. Dabei finden statt der linearisierten Frequenzen die exakten Verwendung. Das Verhalten der Lösungen wird in der als Pseudo-Phasenebene auftretenden Amplitudenebene studiert. Zu einem gegebenen aerodynamischen Moment können damit die Änderungen des Maximums und des Minimums des Anstellwinkelbetrages bestimmt werden. Die Methode ist im besonderen für den Fall eines nichtlinearen Dämpfungsmomentes ausführlich dargestellt.     

Dynamically possible finite deformations of isotropic,incompressible, elastic-inelastic solids with temperature independent response

Summary In isotropic, incompressible simple materials there are five known families of dynamically possible inhomogeneous finite deformations. It is shown that these deformations are also possible in isotropic, elastic-inelastic materials with temperature independent response. The method of solution is an inverse one. The deformation is specified precisely at the outset, and the problem of finding the surface tractions which are required in order to maintain the deformation is reduced to the problem of solving a system of ordinary differential equations.

---

Zusammenfassung In isotropen inkompressiblen einfachen Substanzen mit Gedächtnis gibt es fünf Gruppen von dynamisch möglichen nicht-homogenen Deformationen. In der Arbeit wird gezeigt, dass diese Gruppen von Deformationen auch in isotropen inkompressiblen elastisch-inelastischen Substanzen dynamisch möglich sind. Die vorgeschlagene Methode stellt einen inversen Lösungstyp dar. Die Deformationen werden als gegebene Funktionen der Zeit vorausgesetzt, und das Problem der Berechnung der Oberflächenspannungen, welche diese Deformationen erzeugen, wird auf die Lösung eines Systems von gewöhnlichen Differentialgleichungen reduziert. Es wird auch gezeigt, dass die Anzahl der Gleichungen in diesem System für keine der erwähnten Gruppen von Deformationen 3+n übersteigt, wobein die Zahl der Strukturparameter ist, die die elastisch-inelastische Substanz charakterisieren.

     

Radiation conditions in elasticity

Zusammenfassung Ausstrahlungsbedingungen für Lösungen der von der Zeit unabhängigen Gleichung der Bewegung der klassischen Elastizität, der wohlbekannten Sommerfeld-Bedingung ähnlich, werden untersucht. Die Bedingungen können physikalisch als ein nach aussen gerichteter Energiefluss dargestellt werden. Sie genügen auch, die Eindeutigkeit der Lösung aufzuzeigen.     

On the scattering of waves by a disk

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass das Problem, die Beugung einer ebenen Welle an einer kreisförmigen Öffnung oder Scheibe zu bestimmen, auf die Lösung von regulären Fredholmschen Integralgleichungen zweiter Art zurückgeführt werden kann. Die Lösungen dieser Integralgleichungen liefern uns für die Scheibe im Falle der Neumannschen Bedingung die radiale Variation der Unstetigkeiten der Wellenfunktion und im Dirichletschen Falle die Unstetigkeiten ihrer normalen Ableitung. Ist das Produkt von Öffnungsradius und Wellenzahl klein, so können die Integralgleichungen gelöst werden. Für die Ableitung der Integralgleichungen verwenden wir einerseits die Poissonsche Darstellung für die Wellenfunktion und andererseits die Fortsetzung der Helmholtzschen Darstellung in die komplexe Ebene.     

On the scattering of polarized light

The elementary solutions basic to the azimuthally symmetric component of the radiation density vector are developed for a general model concerning the scattering of polarized light.

---

Zusammenfassung Die Elementarlösungen, die die Basis der azimuthal symmetrischen Komponente des Vektors der Strahlungsdichte bilden, werden hergeleitet für ein allgemeines Modell für die Streuung von polarisiertem Licht.

     

Explicit difference approximations of the one-dimensional diffusion equation,using a smoothing technique

Summary Considering the one-dimensional diffusion equation, smoothing formulas are constructed which, when applied to solutions computed by use of unstable explicit difference approximations, result in stable approximation procedures. It is then shown that more general difference approximations can be written as combinations of simpler difference equations and smoothing formulas.

---

Zusammenfassung Für die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung werden Glättungsverfahren ausgearbeitet, die bei Anwendung auf Lösungen, welche mit Hilfe unstabiler expliziter Differenzengleichungen errechnet worden sind, stabile numerische Verfahren ergeben. Im Anschluß daran wird gezeigt, daß allgemeinere Differenzenverfahren als Kombinationen von einfachen Differenzengleichungen und Glättungsverfahren geschrieben werden können.

     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

The generalized plane strain of an elasto-plastic material

Zusammenfassung Unter der Voraussetzung, dass der hydrostatische Druck nicht gross ist, tritt die Hauptspannung normal zur Ebene des verallgemeinerten ebenen Verzerrungszustandes in der Fliessbedingung vonTresca nicht auf. Man kann zeigen, dass die Spannungs- und Geschwindigkeitsgleichungen für ein elastisch-ideal-plastisches Material hyperbolisch sind, wobei die beiden Charakteristikenscharen paarweise koinzident sind. Die auf die Charakteristiken bezogenen Gleichungen unterscheiden sich von denjenigen des starr-plastischen Materials nur durch die Gegenwart von vier Zusatztermen in jeder der Geiringer-Gleichungen.Für ein Material mit Verfestigung werden nur kleine Spannungen berücksichtigt, und es wird angenommen, dass die Gleichungen zwischen den Spannungen und den Gesamtdehnungen verwendet werden können. Unter diesen Voraussetzungen werden die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen elliptisch. Da alle Ableitungen stetig sind, existiert im plastischen Bereich eine Airysche Spannungsfunktion samt speziellen Ableitungen aller Ordnungen, und es kann gezeigt werden, dass sie einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung vierter Ordnung genügt. Für einige einfache Probleme, bei denen die abhängigen Veränderlichen nur Funktionen einer der beiden unabhängigen Variablen sind, werden die Lösungen angegeben.Der Einfluss von Temperaturschwankungen kann sowohl bei idealplastischen Materialien wie auch bei solchen mit Verfestigung mitberücksichtigt werden.     

Conservative similarity solutions of the one-dimensional autonomous parabolic equation

Summary conditions are established on the coefficient functions of the one-dimensional autonomous parabolic equation for the existence of conservative solutions in the first quadrant of the plane of the independent variables length and time. Such a solution is characterized by the condition that its integral over the length variable from zero to infinity exist and be independent of time. Those conservative solutions are considered which can be expressed by means of a dimensionless variable and a function of the time variable (similarity). For the case that the similarity relation is linear in the length variable, coefficient functions are specified that lead to conservative solutions.

---

Zusammenfassung Es werden Bedingungen aufgestellt über die Koeffizientenfunktionen der eindimensionalen, autonomen, parabolischen Gleichung für die Existenz konservativer Lösungen imersten Quadranten der Ebene der unabhängigen Variablen Länge und Zeit. Eine derartige Lösung ist dadurch charakterisiert, dass ihr Integral über die Längenvariable von Null bis Unendlich existiert und unabhängig von der Zeit ist. Es werden konservative Lösungen betrachtet, die mit Hilfe einer dimensionslosen Variablen ausgedrückt werden könen, die als Quotient einer Funktion der Längenvariablen und einer Funktion der Zeitvariablen definiert ist (Ähnlichkeit). Koeffizientenfunktionen, die zu konservativen Lösungen führen, werden für den Fall angegeben, dass diese Ähnlichkeitsbeziehung linear in der Längenvariablen ist.

     

A note on disturbances in a semi-infinite piezoelectric medium excited by an impulsive,polarized, tangential electric field

Zusammenfassung Die Gleichungen für die quasi-eindimensionale Strömung einer idealen, reibungslosen, kompressiblen und elektrisch vollkommen leitenden Flüssigkeit unter Wärmezufuhr und unter dem Einfluss eines willkürlichen Magnetfeldes werden in charakteristischer Form dargestellt.Wird die Untersuchung beschränkt auf kleine Störungen in einer ursprünglich parallelen, isentropen Strömung konstanten Querschnittes, so können die Grundgleichungen linearisiert werden. Hierzu wurden allgemeine Lösungen entwickelt.Die Lösungen für die entsprechenden Probleme aus der konventionellen Gasdynamik und für die Strömung unter dem Einfluss eines quergerichteten Magnetfeldes sind als Spezialfälle mitenthalten.     

Sur la résolution numérique dans les cas limites des équations différentielles linéaires à coefficients sinusoïdaux

Zusammenfassung Die linearen Differentialgleichungen mit sinusförmigen Koeffizienten weisen im allgemeinen drei Konvergenzgebiete auf, in welchen die Lösungen als quasi-periodische Fourier-Reihen dargestellt werden können. Die Theorie dieser Gleichungen wird auf die Fäulle erweitert, in welchen die Lösungen auf die Konvergenzgrenzen gesucht werden. Es zeigt sich, dass die Lösungen auf den Grenzlinien dann konvergieren, wenn besondere Bedingungen erfüllt sind, und dass die numerische Methode für das mittlere Gebiet immer anwendbar ist, wenn die gesuchte Lösung konvergiert, auch in dem Fall, wo die beiden Grenzlinien zusammenfallen und wo deshalb das mittlere Gebiet keine Fläche mehr aufweist. Diese analytischen Ergebnisse erläutern die numerische Auswertung eines Beispieles.     

Oscillatory shearing of a class of elastic-plastic materials

Summary For a special class of elastic-plastic materials, it is shown that infinitesimal oscillatory shearing motions can be sustained without the application of body forces. Hardening, softening and perfectly plastic responses are considered.

---

Zusammenfassung Für eine spezielle Klasse von elastisch-plastischen Materialien wird gezeigt, daß infinitesimale oszillatorische Scherbewegungen ohne die Anwendung von Körperkräften aufrecht erhalten werden können. Härtung, Enthärtung und ideale plastische Reaktionen werden betrachtet.

     

Statically possible radially symmetric deformations in isotropic,incompressible elastic solids

Zusammenfassung Das Problem der Bestimmung der Gesamtheit von Gleichgewichtsdeformationen, die in einem isotropen, homogenen, inkompressiblen elastischen Festkörper lediglich unter der Wirkung von Obertlächenspannung und konservativen Körperkraftfeldern aufrechterhalten werden können, ist als Ericksen's Problem bekannt. In seinen ursprünglichen Arbeiten [1, 10] kam Ericksen zu partieller Vollständigkeit mit Ausnahme zweier Fälle, von denen einer jedoch—was erst später bewiesen wurde [11–14]—Lösungen besitzt. Während in [14] die Frage der Vollständigkeit für den Fall ebener Deformationen mit einheitlicher Transversalspannung abgeschlossen wurde, erhalten wir in diesem Artikel Vollständigkeit für die Klasse von radialsymmetrischen Deformationen. wie sie in Gleichung (3.1) definiert sind. Man findet, dass ausser der Gruppe von homogenen Deformationen nur zwei zusätzliche Gattungen des radialsymmetrischen Typs möglich sind, die jedoch beide bekannt sind: 1. Aufblasen und Ausdehnen eines Kreiszylinders; 2. Aufblasen oder Umstülpen eines Sektors einer Kugelschale.     

On an analogy between plane finite elastic deformations and certain magnetohydrodynamic flows

Summary The governing non-linear coupled partial differential equations for certain steady magnetohydrodynamic flows are shown to be similar in form to those arising for plane strain finite elastic deformations of a neo-Hookean or Mooney material. Based on this analogy new results are obtained for the magnetohydrodynamic system. Firstly a restricted form of Adkins' reciprocal theorem is given and secondly two new classes of exact solutions are obtained. One of these includes as a special case a known class of spiral flows for geometries wherein the magnetic field and fluid velocity are everywhere inclined at a constant angle.

---

Zusammenfassung Es wird gezeigt, daß die Bewegungsgleichungen für gewisse magnetohydrodynamische Flüsse ähnliche Form haben wie die Gleichungen, die im Zusammenhang mit endlicher elastischer ebener Deformation von Mooney Material auftreten. Aufgrund dieser Analogie erhält man neue Ergebnisse für das magnetohydrodynamische System. Zunächst wird eine beschränkte Form von Adkins' Reziprozitätssatz gegeben. Dann werden zwei neue Familien von exakten Lösungen abgeleitet. Eine von diesen enthält als Sonderfall eine bekannte Klasse von spiralförmigen Lösungen für Situationen, in denen das Magnetfeld und die Geschwindigkeit isoklin sind.

     

Some further results on the Ericksen-problem for deformations with constant strain invariants

Zusammenfassung Es werden die verallgemeinerten ebenen, zylindrischen, verallgemeinerten zylindrischen, sphärischen und verallgemeinerten sphärischen Deformationen bestimmt, die Lösungen des Ericksen-Problems für Deformationen mit konstanten Dehnungsinvarianten sind. In diesen Fällen ergeben sich nur die bekannten Lösungsfamilien mit konstanten Dehnungsivarianten.