问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

时变离散系统零解的稳定性

本文利用构造二次型的Lyapunov函数和常数变易公式讨论具有分解 x‘(,+1)二A‘(r)x‘(r)+大(:,x(r)),(i=1,2,…,r)的时变离散系统 x(r+1)二F(介劣(r)),的琴解的稳定性,其中劣==(二:,二2,…,x,),〔尸.,二.任尸.‘,A‘(,)任左”“,‘,==、大(‘0)二0,F’ IxR.、R.,r任J会{t0+k,t。〔R+,k=0,1,…),的零解全局一致渐近稳定的代数判别准则,改进和推广了文〔2〕所给结论. 对(1)相应的孤立子系统 ,‘(矛+1)=A。(r)x,(r),、(i=1,2,一,r)(1) (2) ”z+…+n得到(名)我们说式(:)具有性质(A)是指:存在二个正数私>0,。<,‘相似文献   

二阶非线性中立型微分方程的振动和渐近性

考虑二阶非线性中立型时滞微分方程[r(t)[y(t)+py(t—τ)]′]′+q(t)f[y(t—σ)]=0,(1)其中r,q:[t_0,∞)→(0,∞),f∈C(R,R),p,τ,σ是非负常数,p<1,对于y≠0有yf(y)>0和f′(y)≥0.本文研究方程(1)的振动和渐近性,所得结果不仅适用于非中立型情形,而且也推广了文[1]和[2]中的某些结果. 定理1 设     

一类线性周期系统的平稳振荡

利用文〔1〕一〔3〕的沪忍想,本文研究系统d劣一了-=g欠不)直气不)戈十J又不)dt(1)的平稳振荡问题,这里二=(二,,二2,…,二二),任R.,A(t)=(a‘,(t))是。X,阶实连续矩阵,且A(t 。)二月(t),f(t)=(f,(t),fZ(t),…,f。(t))r是n义i阶实连续矩阵,且f(t 。)=f(t);夕(t)任C(I,I ),g(t 。)=夕(t);且设}a‘,(t)1毛从(‘,j=1,2,…,n),夕(t)>M>o,!If(,)l!=〔艺f,(‘)〕‘2成从. 引理1〔4’如果存在函数犷(t,劝及正数凡>凡>。,使得(i)凡{}川’蕊r/(t,劝公凡i{xt{2;(11)D犷(1)(t,、)镇O;对一切llxl})R,t>o成盆.其朴R可以是任意大沟常数.则系统(1)的解…     

关于二阶微分方程y″+A(t)y=0的解的有界性

l“.在方程对,,+A(亡)y=o(l)中,保数A(t)定鱿l赏t叶co待,嫩然可分三核情形。即(一)(二)(三)limA(t)=妒云峥.limA(t)=一砂心冲.limA(t)=+co.忿峥。 在本文中,主要是考窟第三核情形,我们所得到的判定,分sll改遥了如下指出的Bell man和KaMbl曲。的拮果.现在救述我俩以援艇常用到的:〔引理一]若(1,) (2,)祝)0,v)0,c>o矿、。+关‘uod‘】!,!、万+叠户dt(2) 公 U 一一叨一亡d一d〔橙]毅w(t)一关锐秒d艺由修件(2‘)uZ公2长秒2(c+叨)因此(寰丫铆、“+‘’筒之即 d叨,一下==井=气妙a‘习己+叨由。到亡猜分即得2(。+w),一2。,、关‘。d‘1数擎淮展…     

四阶线性微分方程解的振动性

设p和q是[a,∞)上的实连续函数,α>0,考虑四阶线性微分方程y~(4)+p(t)y″+q(t)y=0.(1)近年来,[1—3]在p≤0,q≤0时研究过方程(1)的解的振动性,但还没见到关于非负系数情况的工作,本文试图在这方面作些初步研究.我们所说的解都指非零解,其他概念也与[1—3]相同. 引理1 设p≥0,q>0,二阶线性微分方程u″+pu=0是非振动的,y(t)是方程(1)的非振动解,则存在c>a,在[c,∞)上或是y(t)y″(t)>0或是y(t)y″(t)<0. 证设y(t)是方程(1)确定在[a,∞)上的非振动解,不失一般性,设有b≥a,在[b,∞)上y(t)>0.     

具有泛函扰动项的非线性微分方程解的渐近性态

对于具有泛函扰动项的非线性微分方程[r(t)(?)(t)]′+a(t)y(t)=Φ((?),y_t)(1)和y~(n)(t)+a_(n-1)(t)y~(n-1)(t)+…+a_0(t)y(t)=Φ(t,y_t).(2)假设 r(t),a(t),a_i(t)(i=0,1,…,n-1)∈C(t_0,∞),r(t)>0,Φ为[t_0+∞)×C→R 的连续泛函,这里 C=C([-τ,0],R),τ>0常数,y_t(θ)=y(t+θ),θ∈[-τ,     

RAPID EXACT CONTROLLABILITY OF THE SEMILINEAR WAVE EQUATION

1.IntroductionConsiderthefollowingsemilinearwaveequationwithalocallydistributedcofltroller:whereI~g,11~$,nCR"isaboundeddomainwithaboundaryoffECI)andforeachtE[0,co),G(t)isasubdomainoffi.Intheabove,y(t,x)isthestateandXG(t)(x)u(t,x)isthecolltrol.Thus,u(t,x)istheintensityofthecontrolactionandG(t)isthelocationandtheshapeofthecontroller.Wewillallowthelocationandtheshapeofthecontrollertochange.LetU=Lfo.(0'co;L'(fl))andletQbeafamilyofset--valuedfunctionsG(t)definedon[0,co)takingsubdomainsoffias…     

参数方程与极坐标

(4)参数方程{=一l一COS口 z,(0为参数),习4一cos一O(1)(t为参数,t‘0)·表示的曲线是(表示的曲线是(〕(A)直线(B)线段(Q射线旧)非A.B.C的结论.斗斗一斗奋.lsinlo(C)(D)(A)(5)(2)y‘2一“。‘10直线{二(t为参数)的倾(B),2鱿c0斜角等(). (A)10。(B)80。(C)100。(C)170y,tge叫二(6为参数〕与曲线{x二l+3eoss(0为参数)的交点个数是(3)点(l,一,)与直线{x.l+‘y,一s+万I(t为参y,sin口(A)l(B)2(C)3可D)4数)及:一y一2万二。的交点间的距离是().。园{:二:::e0。参”,上点”是,(A)沂(8)而(C)’存m,沂一苦碱的点,则办是酬角是()一37一。,:r·…     

再从“一类三角式的数值求法”谈起

本刊刊登的文〔1〕、〔2〕、〔3〕阅来颇有收益,深受启发,联想到我们在求y=P(x)/Q(x)(P(x)、Q(x)的次数不超过2)的值域时,经常采用的判别式法,笔者依法炮制出一个与之类似的三角判别式法,现简介如下。定理:设方程asinx+bcosx+c=0(a、b不同时为零,x_0≤x0时,方程(*)有相异二实根 (2)当△=0时,方程(*)有相等二实根 (3)当△<0时,方程(*)没有实数根。     

可用圆的图形求解的选择题

1.如果实数二,纷满足等式(二一2)2+尹~3·那么令的最大值是(,·,、l(A)二二 Z(B)卒(e)卒(n)汀 O‘ 2.若实数:,梦满足方程护+犷一2,则:+,的最小值是(). (^)丫万(B)一了万~(e)2(D)一2 3.若实数:,夕满足方程:2+梦,一4x+6犷+12一O,则护十犷十2二+2梦+2的取值范围是(). (^)〔丫I厄一1,喇气厄+1] (B)〔了I万一2,了丽+2] (c)[14一2了丽,1‘+2石厄] (D)〔12,14〕 J.方程k(:一2)十1一7万二丁有不同二实根,则实数k的取值范围是()1一41一4 83一4 一一 ‘、.J夕夕、.产(B·(D(A)(一导,+co)(e)(一寻,专,5.不等式丫了二乎):+t的解集为必,实数t的取…     

强迫一阶非线性时滞微分方程解的振动性与渐近性及其应用

本文研究强迫一阶非线性时滞微分方程x~·(t)+∑~m_(i=1)pi(t)fi〔x(t-Ti(t))〕=r(t),t≥t_o的解的振动性与渐近性，得到方程的任意解x(t)或者是振动的或者lim_(t→∞)x(t)=0的充要条件和振动的充分条件，发展和改进了文献[3]的结果，去掉文献［3］中一个条件．应用结果到市场价格的动态过程得到商品价格在某个数值附接波动的充分性判据．     

具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程的有界振动性

研究时标T上具有振动系数的二阶非线性中立型时滞动力方程(r(t)(y(t)+p(t)y(r(t))]△)α)△+f(t,y(δ(t)))=0的有界振动性,其中p是一个定义于T上的振动函数,α＞0是两个正奇数之比.利用一种Riccati变换技术,获得了该方程所有有界解振动的几个充分条件,推广和补充了文献中要求p(t)≥ 0的一些结果,并举例说明了该文主要结果的应用.     

(r(t)y′)′+a(t)y=F(t,y)解的有界性与零解的稳定性

本文讨论二阶非线性微分方程(r(t)y′)′+a(t)y=F(t,y) (1)解的有界性与零解的稳定性问题,证明在一类简单条件下,(1)的解与线性齐次方程(r(t)y′)′+a(t)y=0 (2)的解具有相同类型的有界性质与稳定性.本文推广了[2,3]的相应工作.在[3]中令g(x(t))=y)(t),则[3]的方程包含于(1)中,且x(t)与y(t)具有相同的渐近性质. 现作如下的基本假设:     

二阶微分系统奇异正定超线性周期边值问题的多重正解

主要研究了二阶微分系统具有奇异正定超线性周期边值问题多重正解的存在性问题,利用Leray-Schauder抉择定理和锥不动点定理给出了奇异正定超线性周期边值问题-(p(t)x′)′+q1(t)x=f1(t,x,y),t∈I=[0,1]-(p(t)y′)′+q2(t)y=f2(t,x,y)x(0)=x(1),x[1](0)=x[1](1)y(0)=y(1),y[1](0)=y[1](1)(1.1)的多重正解的存在性,其中非线性项fi(t,x,y)(i=1,2)在x=∞,y=∞点处超线性,在(x,y)=(0,0)处具有奇性.这里定义x[1](t)=p(t)x′(t),y[1](t)=p(t)y′(t)为准导数,其中系数p(t),qi(t)(i=1,2)是定义在[0,1]上的可测函数,且p(t)>0,qi(t)>0(i=1,2),a.e[0,1],fi(t,x,y)∈C(I×R×R,R+),R+=(0,+∞).     

THE EXTINCTION IN NONAUTONOMOUS PREY-PREDATORLOTKA-VOLTERRA SYSTEMS

1.IntroductionConsiderthenonautonomousprey-predatorLotka-Volterrasystem:whereal30andxZ20;hi(t)andail(t)(i,j=1,2)arecontinuousandboundedfunctionsdefinedon[0,co).Weassumetbxoughoutthispapera'j(t)20forallt20andi,j~1,2andthatthereealstpositiveconstantsfisuchthatTheextinctionofperiodicpredator-preyLotka-Volterrasystemhasbeenstudiedin[l].Inthispaper,ourpurposeistostudytheextinctionofgeneralnonautonomouspredatorpreyLotka-Volterrasystems.Weshallestablishsomesufficientconditionsandnecessary.Thisres…     

二阶非线性中立型微分方程的振动性

利用Ho lder不等式研究一类非线性项具时滞的二阶中立型时滞微分方程{r(t)[y(t)+p(t)y(t-τ)]′2m+1}′+q(t)f[y(t-σ)]=0(t>t0)的振动性.给出了该方程的解振动的若干充分条件,所得结果推广了已有的相应结论.     

一阶中立型非线性泛函微分方程解的振动性

一、引言 本文主要考虑下面的一阶中立型非线性泛函微分方程:[x(t)-cx(t-r)]′ sum from t=1 to N p_i(t)f_i(x(τ_i(t)))=0(t≥t_0>0) (1)的解的振动性。 当r=0时,(1)退化成非中立型方程,对该方程已有大量文章进行了讨论,因而我们不再考虑这种情况,而直接假定(1)满足: (i)c≥0,r>0都是常数; (ii)p_i(t)∈C([t_0, ∞),R~ )且不在[t_0, ∞)任何右半区间上恒为零,τ_i(t)∈     

Копмогоров方程的概率论解法

1.引瓦设:(r,。)(t)o)是概率场(夕,夕产,尸)上的一个以I~{z,2,3,…}为最小状态空间的齐次马尔可夫过程,八,(t)~p{x(t)~i】x(0)~i}是它的转移概率且满足下列条件:(1)、月l!......j . I ‘、 .叮」 , .口肠户;,(t))01,j〔了,艺;‘,(,)一1‘。,,piJ(,+,)一艺 无〔IP,*(s)p*,(t)进一步假定 limp‘,(t)~占‘, t备0于是,下列极限(例如,可参看【1] 11.53;识,均可在【l]中找到,不再一一指明):羹:‘·’任‘’(2)以后凡引用有关齐次可数马尔可夫过程的基本知一lim之立二兰王二兰纽 t备ott,i〔I(3)存在,假定诸q‘相似文献   

高中数学综合练习题(四)

一、选择题1.下列命题正确的是().(A)一xm。.=co,1 im乙.=0,则一xm(a.b.)二0,(A)R一R,夕二一2公 3;(B)R 一R,夕”1095:,(e)〔o,2〕一〔0,4〕,,=劣,乡二电‘月】一,卜‘叼Iima-(D)尺~刀 ,夕二劣了(B)1 ima。=co,limb..~,,花洲。.心月,。二的,则拱一=1; 互11110..方程3105‘:一去