对一道初赛题的解法探究

<正>本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明:2(b-a)≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2(b-a)≤cosπa-cosπb,只要证2b+cosπb≤2a+cosπa.即设f(x)=2x+cosπx,下证f(b)≤f(a);     

对一道初赛题的解法探究

本文将对2013年全国高中数学联赛江苏赛区初赛第13题的解法及本质探究,与读者交流.试题设实数a,b满足0≤a≤1/2≤b≤1,证明：2（b-a）≤cosπa-cosπb.1.解答方法证法1要证2（b-a）≤cosπa-cosπb,只要证2b＋cosπb≤2a＋cosπa.即设f（x）=2x＋cosπx,下证f（b）≤f（a）;     

三角形与0,π/3的缘份

请看下面一些重要事实:△ABC中,有关等差、等比数列与范围0,π/3结下不解之缘.亲爱的读者将会疑云顿消,晴空万里.     

Hopf π-余代数的π-子余代数

主要讨论了局部有限维的Hopfπ-余代数的Hopfπ-子余代数,得到了Hopfπ-余代数的π-子余代数,和Hopfπ-子余代数的一些充分必要条件.     

π-可分群中关于正规π-子群的π-Brauer特征标

本文研究了有限π可分群中关于正规π子群的πBrauer特征标,利用Isaacs的经典Bπ特征标理论和特征三元组理论,得到了有限π可分群上的一个类函数空间的一个经典基.     

例谈阴影部分面积的求值技巧

求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解.本文介绍在转化过程中的几种常用方法.1直接法当已知图形是读者所熟悉的基本图形时,先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、角的大小,然后直接代入公式进行计算.图1例1如图1,在矩形ABCD中,AB=1,AD=3,以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P,则图中阴影部分的面积为A.32πB.43πC.43πD.π3解析依题设,有EN=PE=AB=1,EC=21BC=23.在Rt△ECN中,NC=EN2-EC2=1-43=21.从而有∠NEC=30°,同理:∠MEB=30°,所以∠MEN=180°-2×30°=120°,因此S扇形MEN=1203π6.012=π3.故选D.2和差法当图形比较复杂时,可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉图形的面积的和或差来计算.例2如图2,AB和AC是⊙O的切线,B、C为切点,∠BAC=60°,⊙O的半径为1,则阴影部分的面积是图2A.3-32πB.3-3πC.23-3πD.23-π解析连结OB、OC,则S阴影=S四边形ABOC-S扇形OBC,由于∠BOC=180°-60°=120°,所以S扇形OBC=1326...     

实现同一度序列的图的最大团数

图G中最大完全子图的阶数称为G的团效．ω(π)和γ(π)分别表示实现度序列π=(d_1,d_2,…,d_n)的图的最大团数和最小团数．Erds,Jacobson和Lehel开始考虑确定具有相同度序列π的图的可能的团数问题．他们证明了对于充分大的n,有ω(π)-γ(π)-n一2n~(2/3)．在本文中,我们首先估计了一类特殊可图序列的ω(π)之值,其次我们建立了一个估计任意可图序列π的ω(π)之值的算法．     

度量空间的序列覆盖cs-π映象

给出了度量空间的1-序列覆盖、cs-π映象,2-序列覆盖、cs-π映象和子序列覆盖、cs-π映象的内在刻画.同时得到了度量空间的商cs-π映象的内在特征.     

脉冲时滞差分方程的振动性

讨论脉冲时滞差分方程｛ｘπ＋１－ｘπ＋ｐπｘπ－１＝０,ｎ≥０,ｎ≠ｎｋ;ｘπｋ＋１－ｘπｋ＝ｂｋｘπｋ,ｋ＝１,２,３…给出了方程所有解振动的充分条件。     

Schur补为零的2×2分块矩阵的Drazin逆

给出Schur补S=D-CA~D B=0的分块矩阵M=(ABCD)(其中A和D是方阵)分别在条件A~πBCA=0,A~πBCA~πB=0和ABCA~π=0,CA~πBCA~π=0下的Drazin逆表达式.这些结果扩展了Martinez-Serrano M F,Castro-Gonza1ez N(Appl.Math.Comput,2009,215:2733-2740)给出的M的Drazin逆表达式.     

π-模余代数与π-模余理想

主要讨论局部有限维的Hopfπ-代数H上π-模余代数与π-模余理想.给出了π-H-模余代数与π-H~*-余模代数之间的对偶关系,得到了π-H-模余理想的一个充分必要条件.     

特征标的π—理论和正规π—补

本文使用π-special特征标和Bπ-特征标的一些性质,给出了有限群有正规π-补的一些条件,我们的结果推广了一些著名的定理。     

关于有限π-可分群的π-正则类函数（英文）

本文研究了有限π-可分群的主不可分解Bπ'-特征标.利用特征标π-理论中的分解矩阵,得到了关于有限π-可分群的π-正则类函数的一些重要结果,推广了一些著名定理.     

Hopf π-子模

设H为有限型Hopfπ-代数,研究Hopfπ-代数H上的Hopfπ-模与Hopf π-余代数H *上的Hopfπ-余模之间的对偶关系,得出了Hopfπ-子模与Hopfπ-子 余模之间的充分必要条件,推广了Hopf代数中的相关结论.     

2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是(　　).　(A){2}　(B){-1}　(C){x|x≤2}　(D)解　由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα&;gt;0,cosα&;lt;0,且sinα3&;gt;cosα3,则α3的取值范围是(　　).　(A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z　(B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z　(C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z　(D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z解　由2kπ+π2&;lt;α&;lt;2kπ+π得2kπ3+π6&;lt;α3&;lt;2kπ3+π3,k∈Z.又　sinα3&;gt;cosα3,所以又有2kπ+π4&;lt;α3&;lt;2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(　　).(A...     

对课本一道习题的探究

新教材中的课后习题,大多具有较强的代表性、可塑性和迁移性,是知识和方法发展的源泉,也是有关考试命题的重要依据.在数学教学与复习中,如果能重视对课本中的习题进行适当地变形转化、引申拓广,那么常可获得形式新颖、综合性强并具有探索性的问题,进而能有效的训练学生的思维的灵活性和深刻性,提高学生的探究能力和创新意识.人教版新课标教材《数学4》(必修)第151页有这样一道题目:观察以下各等式:sin2π6 cos2π3 sinπ6·cosπ3=34,sin2π9 cos25π18 sinπ9·cos5π18=34,sin2π12 cos2π4 sinπ12·cosπ4=34.分析上述各式的共同特点,写…     

在主π-块里提升广义特征标

在文献中[7]中,Isaacs定义了π-可分解下的Bπ′特征标，使Bp′特征标是对p-可分群G的p-模特征标的“典型提升”。结果，人们能把π-可分群的Bπ′-特征标作为π-正则类函数的一组基，使用Isaacs的工作和π-块理论，建立了一种映射，将广义特征标提升为广义特征标。     

π-逆子半群格是模格的π-逆半群

π－逆半群是广义正则半群，研究它的π－逆子半群格是非常自然的．本文首先讨论了一个π－逆半群的π逆子半群格的直积分解;然后通过引进πU－链的概念刻划了π－逆子半群格是模格的π－逆半群的性质及特征．     

关于序列覆盖π映射

本文利用点星网的概念,讨论了度量空间的π映象的性质,建立了度量空间的序列商π映象和度量空间的序列覆盖π映象的内在特征,分别推广了 Kofner J、A.和 Tanaka Y.的一些结果.     

内-(π,π′)-闭群与Isaacs定理

一群G叫做内-Σ群,若G不为Σ群但其每真子群为Σ群。群G叫做(π,π′)-闭,若G为π-闭或π′-闭,其中π′是π对素数全集的余集。G叫做π-闭,若其有正规π-Hall子群。本文给出了内-(π,π′)-闭群的结构并得到了下述结果。 设群G的p-Sylow子群循环。如果1)每p′-子群幂零;2)对每q|p-1,G的q-Sylow子群为准正则;3)当p=3时,G与S_4无关,则G为(p,p′)-闭群。