西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

陕西省第六次大学生高等数学竞赛本科组初赛试题

一、填空题:(6×4′=24′)1·设[x]表示不超过x的最大整数,则limx→0sinx|x|-2[x]=1.2·d4dx42 x1-x2x=0=48.3·设函数f(x,y)可微,f(0,0)=0,fx(0,0)=m,fy(0,0)=n,φ(t)=f[t,f(t,t)],则φ′(0)=m mn n2.4·设ddx∫2xf(2t)dt=x(x>0),则∫f(x)dx=-61x3 c.5·设f(x)在区间[-π,π]上连续,且满足f(x-π)=-f(x),则f(x)的傅立叶系数a2n=0.6·设质点在变力F=(3x 4y)i (7x-y)j的作用下,沿椭圆ax2 y2=4的逆时针方向运动一周所作的功等于6π,则a=4.二、选择题(8×4′=32′)7·当x→0时,下列无穷小量中最高阶的无穷小量是(D)A·∫0x1n(1 t3/2)dt;B·ta…     

西北工业大学高等数学试题(2005-2006学年第二学期)

一、填空题(共12小题,每小题3分,满分36分)1·limy→∞y→∞(1 x1y)x=.(1)2·函数z=z(x,y)由方程exz sinxy=0确定,则zy=(-coxs2exxyz)3·设函数u=lnx2 y2 z2,则它在点M0(1,-1,1)处的方向导数的最大值为.(33)4·设函数f(x,y)=2x2 ax xy2 2y在点(1,-1)处取得极值,则常数a=.(-5)5·空间曲线y2=2x,z2=1-x在点(12,1,22)处的切线方程为.(x-121=y 1-1=z--1222)6·改变二次积分的次序:I=∫02dx∫02x-x2f(x,y)dy=.(∫01dy∫11 -11--yy22f(x,y)dx)7·设平面曲线L为下半圆周y=-1-x2,则∫L(x2 y2)ds=.(π)8·设∑为曲面z=x2 y2在0≤z≤1的部分,则…     

Marcinkiewicz积分交换子的弱型(H1,L1)估计

§1Introductionandstatementofresult DenotebySn-1theunitsphereinRn(n≥2)equippedwiththenormalizedLebesgue measuredx′=dσ(x′).LetΩ∈L1(Sn-1)behomogeneousofdegreezeroandsatisfy∫Sn-1Ω(x′)dx′=0.(1.1)Then-dimensionalMarcinkiewiczintegralcorrespondingtotheLittlewood-Paleyg-functionintroducedbyStein[1]isdefinedbyμΩ(f)(x)=∫∞0|FΩ,t(f)(x)|2dtt31/2,where FΩ,t(f)(x)=∫|x-y|≤tΩ(x-y)|x-y|n-1f(y)dy.In1958,Stein[1]provedthatifΩ∈Lipγ(Sn-1)(0<γ≤1),thenμΩisoftype(p,p)for1相似文献   

利用二重积分证明积分不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题 ,会给解题带来方便 .本文通过几个范例说明利用二重积分证明积分不等式的方法 .例 1　设函数 f (x)与 g(x)在 [a,b]上连续 ,证明 Cauchy-Schwarz积分不等式(∫baf (x) g(x) dx) 2≤∫baf 2 (x) dx∫bag2 (x) dx　　证明　记积分区域 D =[a,b]× [a,b],利用定积分与积分变量符号无关的性质等 ,有(∫baf (x) g(x) dx) 2 =∫baf (x) g(x) dx∫baf (y) g(y) dy = Df (x) g(x) f (y) g(y) dxdy≤ D12 [f2 (x) g2 (y) f2 (y) g2 (x) ]dxdy=12 ∫baf 2 (x) dx∫bag2 (y) dy 12 ∫baf …     

一个加细的反向Jensen不等式

文 [1 ]在函数的凸性理论中 ,给出了一个重要的结论 :设 f ( x)、p( x)为 I上的可积函数 ,而 m≤ f ( x)≤ M,p( x)≥ 0 ,∫Ip( x) dx >0 ,则随连续函数Φ( t) ( m≤ t≤ M)之为下凸或上凸而相应地有Φ∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx≤或≥∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx(即 Jensen不等式 )　　为证明其反向不等式 ,引入以下记号 ,并引入严格凸函数的一个几何性质。记 I =[a,b];∫I=∫ba;A( f ( x) ) =∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx为 f ( x)的加权平均 ,p( x)≥ 0 ,∫Ip( x) dx >0 ,x∈ I。设Φ( x) >0 ,Φ″( x) >0 ,x∈ I,则Φ( …     

SOLUTIONS AND STABILITY OF A GENERALIZATION OF WILSON'S EQUATION

In this paper we study the solutions and stability of the generalized Wilson's functional equation ∫_Gf(xty)dμ(t) + ∫_Gf(xtσ(y))dμ(t) = 2f(x)g(y),x,y ∈ G,where G is a locally compact group,σ is a continuous involution of G and μ is an idempotent complex measure with compact support and which is σ-invariant.We show that ∫_Gg(xty)dμ(t) + ∫_Gg(xtσ(y))dμ(t) = 2g(x)g(y) if f ≠0 and ∫_Gf(t.)dμ(t)≠0,where [ ∫_Gf(t.)dμ(t)](x) = ∫_Gf(tx)dμ(t).We also study some stability theorems of that equation and we establish the stability on noncommutative groups of the classical Wilson's functional equation f(xy) +χ(y)f(xσ(y)) = 2f(x)g(y) x,y ∈ G,where χ is a unitary character of G.     

谈谈美国研究生资格考试的一个试题

外国人的东西未必是最好的,起码对某些题目的解答未必最优.在美国一著名大学数学系研究生的资格考试中,有一道题目,分成两问,为行文方便,姑且叫做问题1　设b1≤b2 ≤…≤bn,a1≤a2 ≤…≤an,且a1+ a2 +…+ an=0 .求证:∑ni=1aibi≥0 .问题2　设f ,g在[0 ,1 ]上连续,且f ,g都递增.求证∫10 f ( x) dx∫10 g( x) dx≤∫10 f ( x) g( x) dx.(提示:先考虑条件∫10f ( x) dx =0 ) .通常人们认为,大凡有一问题被分为两个小问题,实际上包含了重要的信息.问题2的提示是命题人给出的,不难想象,应当先做问题1的离散情形,再做问题2的连续情形.有了这两…     

西北农林科技大学"高等数学"试题(A)(2005-2006学年第一学期(工科))

一、选择题:(每小题3分,共计15分)1·当x→∞,函数f(x)与1x2是等价无穷小,则limx→∞3x2f(x)=【C】A·0 B·1 C·3 D·∞2·设函数f(3x)=x3,则f′(99)=【A】A·11 B·33 C·99 D·2973·设函数f(x)满足∫0xf(t)dt=1n(1 x2),则f(x)=【C】A·1 1x2B·1 xx2C·12 xx2D·2x4·积分∫02|x-1|dx等于【B】A·0 B·1 C·2 D·215·已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则|a×b|的值【C】A·6 B·22C·3 D·2二、填空题:(每小题3分,共计15分)6·设极限limx→∞(1 xk)2x=e,则k=21.7·若曲线y=xa x-2在点x=1处切线与直线4x-y-1=0平行,则a=3.8·已知函数f…     

一个三角函数的最小上界

文[1]提出如下问题,设x,y,z∈R,m∈N,m≥3,求u=sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx的最小上界.这里最小上界显然为函数的最大值.本文用微分法给出m=3,4时u的最大值,当m=5,6时给出一个初步结果.因sinmxcosy sinmycosz sinmzcosx≤|sinx|m|cosy| |siny|m|cosz| |sinz|m|cosx|,所以只须在0≤x,y,z≤π2上讨论(1)的最大值,这完全等同于讨论函数f(x,y,z)=(1-x2)2my (1-y2)2mz (1-z2)2mx(0≤x,y,z≤1)(1)的最大值.设(1)的最大值为Am,一元函数g(x)=f(x,1,0)=(1-x2)2m x(0≤x≤1)的最大值为Bm,显然有Am≥Bm.引理1函数f(x)=(1-x2)2m x(0≤x≤1,m≥3,m…     

关于函数的算术平均的两个性质

设函数 f ( t)在 [a,b]上连续 ,对任意 x,y∈ [a,b],x≠ y,定义Φ( x,y) =1x -y∫xyf ( t) dt则下面结果成立 :( 1 )若 f( t)是关于 t的单调不减函数 ,则 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数 ;( 2 )若 f″( t)≥ 0 ,则 2 Φ x2 ≥ 0 , 2 Φ x y= 2 Φ y x≥ 0 , 2 Φ y2 ≥ 0　　证明　 ( 1 ) Φ x=( x -y) f ( x) -∫xyf ( t) dt( x -y) 2 =f ( x) -f (ξ)x -y ≥ 0 ,ξ∈ [x,y]或ξ∈ [y,x]由 x,y的对称性知 Φ y≥ 0 ,因此 Φ( x,y)是关于 x和 y的单调不减函数。( 2 )　 2Φ x2 =( x -y) 2 f′( x) -2 ( x -y) f ( x) +2 ∫xyf ( t) d…     

一道数学分析试题的注记

东北师范大学 1 981年研究生入学考试数学分析科目有这样一道试题[1] ,为方便起见 ,我们以命题形式给出 .命题 1　若 f′( x)在 [a,b]上连续 .对任意自然数 n且 0≤ k≤ n,令xk=a+kb-an ,r( n) =b-an ∑nk=1f( xk) -∫baf( x) dx,则limn→∞nr( n) =b-a2 [f ( b) -f ( a) ]. ( 1 )证　因为r( n) =b-an ∑nk=1f ( xk) -∑nk=1∫xkxk-1f ( x) dx=∑nk=1∫xkxk-1[f( xk) -f( x) ]dx=∑nk=1∫xkxk-1∫xkxf′( t) dt dx,交换二次积分的积分次序 ,于是r( n) =∑nk=1∫xkxk-1f′( t) dt∫txk-1dx=∑nk=1∫xkxk-1( t-xk- 1) f′( t) dt.由于 t-xk- 1…     

二、幂函数、指数函数和对数函数

1.已知全集I={实数对(x,y)},集合A={(x,y)|(y-4)/(x-2)=3},B={(x,y)|y==3x-2},求A∩B。 2.设全集I={2,4,a~2-a+1}及集合A={a+1,2},A={7},求实数a。 3.设集合A={(x,y)|x∈Z,y∈N,x+y,<3},集合B={0,1,2},从A到B的对应法则f:(x,y)→x+y,试画出对应图,判断这个对应是不是映射? 4.已知集合A={x|x∈R},B={y|y∈R},从A到B的对应法则f:x→y=tg2x,(1)求A的元素arctg2的象;(2)求B里元素5的原象;(3)上述对应f是否一一映射?为什么? 5.已知函数y=2/3(9-x~2)~(1/2)(-3≤x≤0),求它     

清华大学·微积分试题(A卷)1999.7.12

一、填空题(每小题4分,共40分)1.幂级数∑∞n=0(-1)n 1xn3n 2(n 4)的收敛半径是;收敛域是.2.函数f(x)在区间[0,1]上的表达式为2-x,f(x)在区间[0,1]上的正弦展开和余弦展开分别是S1(x)=∑∞n=1bnsinnπx和S2(x)=a02 ∑∞n=1ancosnπx,则S1(0)=,S2(0)=.3.设L是抛物线y=x2(-1≤x≤1),x增加方向为正向,则∫Lxdl=;∫Lxdy-ydx=.4.设S为半球面z=1-x2-y2,则S(x y z)dS=.5.设L是平面上一条逐段光滑的简单闭曲线,它包围的区域D的面积等于A,a1,a2,a3,b1,b2,b3是常数.则∮L(a1x a2y a3)dx (b1x b2y b3)dy=.6.设S为平面x y z=1在第一挂限的部分上侧…     

吉林大学高等数学(二)期末试题(附答案)

(工科　 2 0 0 1级学生用 ,2 0 0 2年 7月 5日 )一、填空题 (共 2 4分 ,将答案填在横线上 )1 .设 u=xy,则 u x=　 [yxy- 1　 , u y=　 [xylnx　。2 .曲面 z-ez+2 xy=3在点 ( 1 ,2 ,0 )处的切平面方程为　 [2 x+y-4 =0　。3 .函数 u=ln( x2 +y2 +z2 )在点 M( 1 ,2 ,-1 )处的梯度 gradu|M=　 [26 i+46 j-26 k　。4.设平面曲线 L为下半圆 y =-1 -x2 ,则曲线积分∫L( x2 +y2 ) ds=　 [π　。5.设 f( x)是周期为 2的周期函数 ,它在区间 ( -1 ,1 ]上的定义为f ( x) =2 ,-1 相似文献   

二重 Fourier 级数及其共轭级数的 M 型(H,q)求和

<正> §1.引言设 Q={(x,y)|-π相似文献   

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

与分担全纯函数相关的正规族

设F是在区域D内的一族亚纯函数,其零点重级至少为k,k是一个正整数,a(z)(≠0)在区域D内全纯.若对于任意的f∈F,有(1)f(z)与a(z)没有公共的零点;(2)f(z)=0f(k)(z)=a(z)■0|f~((k+1))(z)-a'(x)||a(z)|,则F在D内正规.     

星象函数族的一个子族

Lee,sang Hua 等在文[1]中引入了带有非正系数的解析函数族 T 的一个子族,即满足下列条件的函数所构成的函数族 S(α,β,σ):f(z)=z-sum from n=2 to ∞α_nz~n(α_n≥0)且对所有z∈D={z:|z|<1}有|(zf′(z))/(f(z))-1|/|α(zf′(z))/(f(z))+(1-σ)|<β (1)(其中0≤α≤1,0<β≤1,0≤σ<1)。文[1]讨论了此类函数的系数界、偏差等极值性质。本文讨论一般情形:设 f(z)=z+sum from n=2 to ∞α_nz~n(α_n 为任意复数)在 D 内解析且满足不     

Zygmund函数在闭区间上最大值的估计

对任意实数集 R上的 Zygmund函数 f(x) ,满足条件 :|f(x+t) - 2 f(x) +f(x- t) | ‖ f‖z|t|,x,t∈ R ,且 f(0 ) =f (1 ) =0 ,本文证明maxx∈ [0 ,1 ] |f(x) | 13‖ f‖z.