幂平均函数及其平均不等式

为幂平均函数。这里a_i(i=1,2,…,n)为不全相等的正数。 现在我们应用导数来研究这个函数的某些性质。 1.有界性 显然,f(x)在整个实数轴上都有定义,且恒有f(x)     

Hardy平均及其不等式

本文研究了涉及Hardy平均的不等式问题.借助于优超理论,获得了2维Hardy平均不等式成立的充要条件及n维Hardy平均不等式的充分条件.并为建立解析不等式和高维结果提供了一些方法.     

平均不等式及其应用

不等式是中学数学的重要内容之一 ,而平均不等式是不等式中的重要不等式 ,这“重中之重”决定了它是永不衰退的高考热点 .事实也正是如此 ,近三年高考题中 ,1997年全国文、理第 2 2题 ,1998年全国文、理第 2 2题 ,1999年全国文、理第 2 0题都涉及到平均不等式 .因此正确理解、灵活运用平均不等式 ,掌握平均不等式求最值的技巧 ,将会使复杂的问题变得简单 ,收到事半功倍的效果 .1　正确理解平均不等式高中《代数》(必修 )下册Ｐ15第 11,12题所示两不等式稍作变形并结合起来是ａ2 ｂ22 ≥ ａ ｂ2 ≥ ａｂ≥ 21ａ 1ｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ ) .其推广…     

用平均不等式证明不等式的思路

平均不等式ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ( 1)(ａ ,ｂ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ时取等号 )及　　　　ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ 3ａｂｃ ( 2 )(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 )是证明不等式的重要工具 ,怎样熟练灵活运用它们证明不等式是学习中的难点 .实际上 ,灵活运用上述公式可从平均不等式与待证不等式的特征入手 .1　升降次数例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1,求证ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ａ ｂ ｃ .分析 :两个平均不等式对单个字母而言从左到右是起降次作用 ,注意到要证的不等式正具有此特点且ａ =ｂ =ｃ =1时两边相等 ,因而有下面的证法 .证　…     

双曲函数与平均不等式

本文首先用初等方法证明一组关于双曲函数的不等式。作为该不等式的一个特例,得出[1]中的指数平均与对数平均不等式。同时揭示调和平均、几何平均、对数平均、1/2次幂平均、指数平均、算术平均和均方平均之间的一种内在联系。     

利用对数平均不等式解题

<正>指数不等式和对数不等式常常出现在高考数学压轴题中,这类题灵活多变,对不等式放缩的要求比较高.下面介绍利用对数平均不等式,化繁为简,解决这类问题.对数平均不等式:对0(1/2)<(x_2-x_1)/(lnx_2-lnx_1)<(x_1+x_2)/2.     

凸函数的幂平均不等式

本文讨论凸函数的α次幂平均M_α(f)。推广和加强了文[1]的定理。给出了若干特例。最后指出α=2时的几何意义。     

对数平均不等式的应用

<正>纵观近些年各类考试中的导数解答题,经常出现与e^x,lnx有关的函数双零点问题,这类问题的主要解法是构造函数将双变量问题转化为单变量进行处理,但往往过程繁琐.而对数平均不等式是破解这类问题的有利工具,下面举例说明.1.对数平均不等式设a,b是两个不相等的正数,我们把     

正算子平均的不等式

本文利用直接初等的方法定义了正算子间的平均ｍα，并给出了该平均的若干应用。     

值得重视的一个不等式

全日制普通高级中学课本 (试验本 )数学第二册(上 ) (必修 )Ｐ37有这样一道题 .求证 :3(1+ａ2 +ａ4)≥ (1+ａ +ａ2 ) 2 .该题看似简单 ,但却回味无穷 ,因为它具有一叶知秋之功能 ,具有云开雾消之乐趣 .1　多思多证 ,诱发创造能力证法 1　 (比较法 )　 3(1+ａ2 +ａ4) - (1+ａ +ａ2 ) 2=2ａ4- 2ａ3 - 2ａ +2=2ａ3 (ａ - 1) - 2 (ａ - 1)=2 (ａ - 1) (ａ3 - 1)=2 (ａ - 1) 2 (ａ2 +ａ +1)=2 (ａ - 1) 2 [(ａ +12 ) 2 +34]≥ 0 ,故 3(1+ａ2 +ａ4)≥ (1+ａ +ａ2 ) 2 .证法 2　 (综合法 )因为 (ａ2 +ａ+1) =(ａ +12 ) 2 +34>0 ,(ａ - 1) 2 ≥0 ,故…     

平均不等式的几何意义

如图1，以AB为斜边构造Rt△ABC，CD为高，E为AB中点，设AD=a，BD=6，则高CD即为a，b的几何平均值，中线CE即为a，b的算术平均值．由此可知，几何平均值不大于算术平均值。     

关于指数平均与对数平均的一个不等式

设 a,b 为两个相异的正数,而 α,β,γ为三个相异的正数,且α>β>γ.本文证明有关 a,b 的幂的指数平均与对数平均的一个不等式.     

平均不等式在数列和式不等式问题中的应用

数列和式不等式问题是高考中的热点难点问题,往往以压轴题的形式出现,学生普遍感觉束手无策,无章可循.笔者经过研究发现,不少数列和式不等式问题若能合理地利用平均不等式,往往能化难为易,突破难点.例1已知数列{an}满足a1=1,a2n-an＋1＋3=0.求证：1/a1＋2＋1/a2＋2＋…＋1/an＋2〈23.证由平均不等式得an＋1=（a2n＋1）＋2≥2an＋2,∴an＋1＋2≥2（an＋2）,     

“平均不等式不可靠”

题:已知x,y>1,且lg~2x lg~2y-lgx~2-lgy~2=0;求lgxy的取值范围。解由题设,得 (lgx lgy)~2-2(lgx lgy)=2lgxlgy, 即 lg~2xy-2lgxy=2lgx·lgy (*) ∵x,y>1,∴lgx,lgy     

关于矩阵迹的平均不等式

关于矩阵迹的平均不等式黄礼平（湘潭矿业学院基础课部４１１２０１）近年来，对矩阵迹的不等式研究活跃，本文给出两个矩阵迹的平均不等式．定理１设Ａ，Ｂ，Ｃ均为ｎ阶半正定Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵，则特别，我们有推论１设Ａ，Ｂ，Ｃ均为ｎ阶正定实对称矩阵，则诸等号当且...     

幂平均不等式的最优值

设Mn[r](a)为a的r阶幂平均,0<α<θ<β,那么满足不等式[Mn[α](a)]1-λ.[Mn[β](a)]λ≤Mn[θ](a)的最大实数λ是λ≥{1+(β-θ)/[m(θ-α)]}-1.这里m=min{[2+(n-2)tβ]/[2+(n-2)tα],t∈R++};满足反向不等式的最小实数λ是λ=[β(θ-α)]/[θ(β-α)].本文的方法基于优势理论与解析技巧,对于建立不等式的最优化思想作了尽可能多的展示.作为应用,得到了一些涉及和、积分与矩阵的新不等式(含Hardy不等式的推广与加强).     

关于对数平均的一个不等式

给出了与两正数a,b的几何平均、算术平均、对数平均有关的一个不等式     

一类幂平均不等式的完善

设n≥2,n∈N,β>θ>0,a∈R_+~n,r∈R,M_r(a)为a的r次幂平均,将确定参数λ,使(G(a))~(1-λ)(Mβ(a))~λ≤M_θ(a)成立.此结果推广了一些已知结论.     

加权幂平均不等式的加强

对加权幂平均不等式的加强作了全面的研究，推广了一个加强的加权算术-几何不等式．