平面向量与三角形的四心

<正>在初中学习三角形时,我们学习过三角形的"四心"及一些简单应用.所谓"四心"即重心、外心、垂心、内心.仔细研究会发现三角形的四心与平面向量有密切的联系.如果合理地运用平面向量与四心的关系,那么能够很好地解决一些相关问题.一、三角形的重心若G是△ABC的重心.则常见的向量等价     

三角形“四心”性质的讨论

三角形的“四心”即重心、垂心、内心和外心.通过查阅文献发现,已有的关于 三角形“四心”的研究主要包括“四心”的判定方法、“四心”的向量形式等方面.本文在已有研究的基础上,探讨三角形“四心”的其他性质限于篇幅,只就重心和内心作讨论,其余“两心”的性质可依此探讨. 一、“两心”的坐标表示 (1)设G为△ABC的重心,其中A(x1,y1),B(x2y2),C(x3,y3),则重心G的坐标G(x1+x2+x3/3,y1+y2+y3/3). 该结论显然成立,无须证明.     

从动和静两个角度看三角形中四"心"的向量表示

平面几何中三角形四"心",即三角形的内心、重心、垂心、外心.在引入向量这个工具后,我们可以从动和静两个角度看三角形的四"心"的向量表示,其一可以使我们对三角形中的四"心"有全新的认识;其二使我们对向量形式的多样性和向量运算的灵活性有更清楚的认识.     

三角四心共搭台 向量运算来唱戏

<正>三角形的"四心"是三角形的重要特征,在三角形的研究中有着重要的作用,在高中学习向量及解三角形、三角函数、解析几何、立体几何等章节都与三角形的"四心"知识相关,尤其与平面向量综合知识的联系更为普遍,而同学们常常对这"四心"概念不太清楚,甚至张冠李戴.但在学习此部分内容的过程中不仅要求我们熟练掌握向量的坐标运算、平面向量垂直及     

折纸,折出三角形的“四心”

<正>每逢学习三角形的主要线段时,我都会设计一次"手工课",通过折纸找三角形的"四心",同学们多元智能参与,跃跃欲试,兴趣盎然.三角形的"四心":1.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.2.三角形三个内角的平分线的交点叫做三角形的内心.3.三角形三条高所在直线的交点叫做三角形的垂心.4.三角形三边中垂线的交点叫做三角形的外心.     

向量为载体 “四心”更璀璨

<正>三角形有重心、内心、外心、垂心,称之为三角形的"四心",它们是三角形所特有的几何特征,有着许多重要的性质,这些性质吸引着许多数学爱好者去研究,它们同时也是高考中常考的知识点.与三角形"四心"有关的问题,不少同学们还是感到有些棘手.本文通过一些典型实例,一方面,帮助同学们初步掌握以平面向量为载体的三角形"四心"问题的求解的基本技巧和方法,积累解决这类问题的基本经验;另一方面,引导同学们从数学欣赏的角度     

三角形“四心”的向量性质

三角形的外心、重心、垂心、内心是与三角形性质有密切关系的四个点.为了考查三角形的有关性质,向量与三角形四心的结合在各地考题中屡见不鲜.以下给出三角形四心的常用向量结论,并加以证明.     

四“心”归一 百变寻踪

三角形的"四心"(重心、内心、外心、垂心)具有很多优美的性质,是命制试题的重要载体,与之有关的试题往往难度较大.笔者对三角形的"四心"的向量性质进行了统一共性研究、描述和论证,发现它们有着很和谐的统一关联,应用起来非常方便.本文先推导一个定理(俗称奔驰定理,由于图形很像奔驰图标而得名),作为本文的灵魂,其余"四心"有关性质是该定理的推论,然后再通过几个例题给出它们的应用.     

三角形的"四心"的三种向量表示

众所周知,三角形的"四心"——重心(三条中线的交点)、内心(三个内角的角平分线的交点)、外心(三条线段中垂线的交点)、垂心(三条高线的交点),在三角形中有着极其重要的地位.因此,高考对三角形"四心"的考查从没间断,且常考常新.特别是与三角形"四心"有关的向量问题,由于它能凸现出较好的区分和选拔功能,因而备受各级各类考试命题者的青睐.作者近几年在这方面作了一些收集、探究工作,通过实例总结提炼了一些解题方法和规律,现整理成文,奉献给大家,希望能对读者在学习中有所启迪.……     

三角形"四心"的向量视角及其应用

在《平面向量》这一章里面,用向量知识研究平面图形性质是本章的一个重要方面,充分体现了向量知识与平面几何知识的联系.例如,以向量为视角研究三角形的“四心”(即外心、内心、重心、垂心),可以得到三角形“四心”性质的向量表示.而且,从向量角度考查三角形“四心”的问题在最     

向量为载体 “四心”更璀璨

三角形有重心、内心、外心、垂心,称之为三角形的“四心”,它们是三角形所特有的几何特征,有着许多重要的性质,这些性质吸引着许多数学爱好者去研究,它们同时也是高考中常考的知识点.与三角形“四心”有关的问题,不少同学们还是感到有些棘手.本文通过一些典型实例,一方面,帮助同学们初步掌握以平面向量为载体的三角形“四心”问题的求解的基本技巧和方法,积累解决这类问题的基本经验;     

应用数形结合理解三角形四心的向量形式

数与形是数学中的两个最古老,也是最基本的研究对象,它们在一定条件下可以相互转化.中学数学研究的对象可分为数和形两大部分,数与形是有联系的,这个联系称之为数形结合,或形数结合.作为一种数学思想方法,数形结合包括两个方面:第一种情形是"以数解形",而第二种情形是"以形助数".下面以三角形的四心为出发点,结合向量相关知识,应用数形结合的思想,解决三角形四心所具备的一些特定的性质.既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感.     

三角形“五心”的向量表示

<正>三角形的"五心"即:重心、内心、旁心、外心、垂心,"五心"的向量表示已经有很多研究成果.笔者通过最近几年的收集整理探究,尝试用一种结构的表达式表示这"五心",把三角形的"心"做到完美的统一.现整理成文,献给读者,希望对读者在用向量的手段研究三角形"心"的时候有所帮助.1.重心设O为平面内一点,A、B、C是平面上不     

三角形"四心"的向量特征及应用

翻阅近几年各省的竞赛、模拟和高考试题,笔者发现有关三角形的"四心"(即重心,垂心,内心和外心)的向量特征的试题频频出现.考虑到比较熟悉的三角形的重心的向量形式→GA+→GB+→GC=0具有很好的完美性,出于兴趣,笔者对三角形的其余"三心"的向量特征进行了探究,得到了类似于重心的优美的向量表达式,并撰此拙文供读者参考.     

三角形“四心”的统一定理及其推广

近年来,对三角形“四心”位置的考查呈上升趋势．已有很多有心人就三角形的“四心”问题做了大量归纳总结,给出了很多对我们解题有帮助的定理与结论．但是读罢总觉得意犹未尽,这些纷繁的定理与结论中究竟蕴含了怎样的本质？有没有一个和谐而优美的统一结论？笔者通过探究,写成此文,以求教于大家．     

四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中.三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的"界心";——这是由三角形的三条"周界中线"交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为三角形的界心).     

四面体的界心

文[1]中,笔者把三角形的奈格尔(Nagel)点[2]概念及性质引申推广至有棱切球的特殊四面体中.本文拟将奈格尔点概念进一步引申推广至一般四面体中.三角形的奈格尔(Nagel)点被国内作者称为三角形的"界心";——这是由三角形的三条"周界中线"交于一点而得名(同一个三角形的界心与奈格尔点是同一点,以下统称为三角形的界心).     

三角形的四心在解析几何中的应用

三角形的内心、外心、重心、垂心,在平面几何中有着广泛的应用.如果把三角形的四心与解析几何有关图形的性质有机地结合,可拓宽应用的范围,使很多解析几何问题,获得明快的解决.一、内心三角形内切圆的圆心,称为内心,三角形     

三角形的五心初谈(一)

<正>在欧几里得的《几何原本》中,没有三角形五心的概念.对三角形"心"的认识应该说是平面几何认识的深化,是近代人们较为系统的开拓.1对三角形五心的初识人们在几何作图和证明中逐渐发现,三角形的三条中线、三条角平分线、三条高线、三边的垂直平分线和一个内角的平分线以及另两个外角的平分线都是共点的.我们用极其初等的办法就可以证明.     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量解决这类“心