sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)≤1/8新证

在△ABC中,成立着不等式,这是同学们熟知的。本文应用三角形内角平分线的长与高的关系,给出这个不等式的一个新颖、简捷的证法,供参考。     

sum (tgA/2tgB/2 5)~(1/2)≤3~(1/4)新证

这是一个大家熟知的不等式。本文利用换元法,并借助于几何直观,给出这个不等式的一个新颖证法。其优点在于同时给出其下界的一个估计。     

也求(8-x)~1/2+((3x+6)~1/2)+2的最小值

压求9解令{十丫百万不十2的最小值但c“s了‘“‘”‘令,“’V ous一n。居 则杯,一了而cos。+痴s*。。+: 一三2丫下石sin(6+含)+2 当“一。,即二二一2时,,得最小值2+石石. 以上解法,不仅正确,而且很妙。妙在何处?自‘然妙在三角替换上。但问:这种替换怎么想到的?于是追到了这种替换的条件。 对变数“,v作替换1叮竺厂呢V一SlnU护+挤二+铲二又(常数),对应的替换是刀口也怎f件若 条的{“二户cos、V一八Sln用令代。,专代二(。,b为常数),可得u产=又acos厅:厂二诬阮in夕(11)v’=,丫,+夕·!有+ 是"u 于声羚;“05口十 b声阵下“,n 二“了丫+夕sin…     

用a b/2≥(ab)~(1/2)证a b c/3≥(abc)~(1/3)

本刊1987年第二期P39上给出了一种用二元均值不等式证明三元均值不等式的巧妙证法。它与教学参考书中给出的证法,就证明的基本思路来说完全类似(都是通过“添项”,使奇数项的和变为偶数项的和,从而使二元均值不等式的应用成为可能),只不过添凑的项不同而已(一个添加三个正数的几何平均数,另一个添加三个正数的算术平均数)。这种采用“添项”思想的证明方法,技巧性较强,学生难以想到。在下面笔者给出的新的证明中,除了注意到恒等     

不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法

为什么要证明不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)下面通过实例来说明,高中数学第三册P.147.3(4)题:求证1/1~(1/2)+1/2~(1/2)+…+1/n~(1/2)>n~(1/2)(n>1)。我们用数学归纳法来证明。 (1)当n=2时不等式左边=1/1~(1/2)+1/2~(1/2)=(2+2~(1/2))/2右边=2~(1/2)=(2~(1/2)+2~(1/2))/2,显然不等式成立。 (2)假设当n=k(k>1)时不等式成立,     

猜想与论证—从tgπ/3=3~(1/2)所想到的

同学们在学习数学时,不仅要牢固地掌握书本上的定义,熟练地应用学过的公式、定理,而且还要善于思索、联想、猜想,从最简单的众所周知的事实出发,猜想一般的规律,然后进一步从理论上论证你的猜想,这是培养能力的有效方     

这样证3~(1/2)是无理数更简捷

《中学生数学》2004年3月上(高中版第3期)给出了~3(1/2)是无理数的证明,但过程繁琐.现给出它的简捷证法. 证明用反证法:假设~3(1/2)是有理数,则可设~3(1/2)=m/n(m∈Z,n∈N )且m,n互质. ∴3=m2/n2(?)m2=3n2, ∴m必为3的倍数,可设m=3k(k∈Z),     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

《数学通报》1985年第3期的《正实阵n个不等式》一文中用数学归纳法证明: A、B为n阶正定阵,λ,μ>0,则λ|A|~(1/n) u|B|~(1/n)≤|λA μ|~(1/n)等号当且仅当A=kB(k>0)时成立。 本文给出一个用数学分析,高等代数知识     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

文[1]、[2]用两种方法证明了命题:设A,B是n阶正定矩阵,则有|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)等号成立当且仅当A=kB(k>0)。本文用矩阵迹的概念给出一个不同的证明。我们首先证明下面两个引理。     

从不等式~(1/2)(a/(a 3b)) ~(1/2)(b/b 3a)≥1谈数学推广

1　从一个“形式推广”的案例说起1 .1　“形式推广”的案例文 [1 ]给出不等式 :例 1　 a,b∈ R ,求证 :　　 aa 3b bb 3a≥ 1 (1 )这个不等式简明深刻 ,其原证法的关键步骤是先证　　　　 aa 3b≥ a3 4a3 4 b3 41同理 bb 3a≥ b3 4a3 4 b3 4.相加即得所求 .文 [2 ]继续给出不等式 :例 2　 a,b>0 ,求证 :　 aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 (2 )文 [3]看到了这两个例子的共同结构 ,作出了如下的“指数推广”:例 3　 n∈ N,a,b∈ R ,则　　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 (3)正如文 [3]的编者按所指出的 ,(3)也可以看成是 (1 )的特例而并不是…     

由k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的证明所想到的

本刊1984年第8期《不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法》一文(以下简称文〔1〕中,对不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)作出了六种证法。其实,这个不等式还有一种更简单的证法,现补充如下,我们姑且叫它为〔1〕的第七个证法吧: g) 间接证法:     

3~(1/2)是无理数的又一简证

文[1]对一道小证明题竟用到数学的分类思想、反证法、奇偶数的性质．本文换个角度, 依据质数不可以质因数分解的性质,给出一个较为简明的证明,并顺势推广到一类无理数．     

|A+B|~(1/n)≥|A|~(1/n)+|B|~(1/n)的一个加强

-j协 ,llweJ 路 1.引言文「1〕证明了命题:设A,B是。阶正定矩阵,则}勿‘一卜“!,一〔·+”’ 1 11!A+B!“)}A}”+IBI”(1)等号成立当且仅当A=无B(lc>0). 其后,吴忠民[2]、吴爱军[劫又分别给出了(约的两种不同的证法.本文则将建立一个比(1)更强的正定矩阵不等式.全文约定A>O表示矩阵A正定,I,=只·I(又>0)为数量矩阵;如不特别说明,本文中的矩阵均指n阶实矩阵. 定理设滩>0,刀>0,,A}>J几;{,,BJ>11目,则一挤(加一扩(IA+Bl一,z。+z。.)篇等号成立当且仅当几‘/a=拼‘/b.(公一=1,2,,二,忍). 证明:令‘=兀兄:一‘,少二且。,一””· ‘=1…     

如何化简((8+4)3~(1/2))~(1/2)

同学们用几何法求sin75°的值时,是这样做的.分析构造一个含有75°角的直角三角形,使∠C=90°,∠B=15°,∠BAC=75°,如图.在BC上取一点D,连结AD,使∠BAD=15°,则∠DAC=60°,于是BD=AD,AD=2AC.设AC=1,则DC=ACtan∠DAC=1     

阿基米德如何求1 1/4 (1/4)~2 (1/4)~3 …

2000多年前的阿基米德,被认为是有史以来的三个最伟大的数学家之一(另外两位是牛顿与高斯).阿基米德在许多方面有杰出的贡献.他在研究无穷递缩等比数列的和1 1/4     

a+b/2≥(ab)~(1/2)≥2/(1/a+1/b)的一个几何证明

(a+b)/2≥ab~(1/2)2/(1/a+1/b)(a>0,b>0)是平均数不等式——“算术平均最大,几何平均次之,调合平均最小”的最简单的情形。它有许多证法,在此介绍一个几何证法作圆,其圆心为A,从圆外一点O引切交OG,切点为G,OA的连线交圆于B、C两点,引GH⊥OB,垂足为H(如图) 令 OC=a,OB=b,则 OA=OC+BC/2=OC+(OB-OC)/2 =(OC+OB)/2=(A+B)/2; ∵ OG~2=OC·OB(切割线定理) ∴ OG=(OC·OB)~(1/2)=ab(1/2); 又 OG~2=OH·OA(射影定理) ∴OH=OG~2/OA=ab/((a+b)/2)=2/(1/a+1/b) 显然,在Rt△OGA中,OA>OG,即(a+b)/2>ab~(1/2);在Rt△OHG中,OG>OH,即ab~(1/2)     

关于无理方程((a-x)~(1/2))+((x-b)~(1/2))=(a-b)~(1/2)

这是现行初中代数教材上的一道习题: 解关于x的方程 (a-x)~(1/2)(x-b)~(1/2)=(a-b)~(1/2)(A) 限制在条件a≥b,b≤x≤a下,将(A)两边平方,得 2(a-x)(x-b)~(1/2)=0。方程的两根是x=a或x=b。研究了(A)型方程的特点后来解这类无理方程是相当简捷的.现举数例如下。例1 解方程(100-x)~(1/2)+(x-64)~(1/2)=6。解:将原方程化为(A)型:     

∑(a/(b c))~(1/2)<1 2(3~(1/2)/3)的初等证明

本刊文 [1 ]中用导数方法证明了 :在△ ABC中 ,有　　 ∑ ab c<1 2 33 . (1 )本文给出一个初等的证明 .证明　由对称性 ,不妨设 a≥ b≥ c=1 ,易知 a b≥ 2 ,a 相似文献   

从(a_1 a_2)/2≥(a_1a_2)~(1/2)到(a_1 a_2 a_3)/3≥(a_1a_2a_3)~(1/3)

现行教材介绍了如下的重要不等式 其中a_1,a_2,…,a_n.∈R~ ,n∈N,n>1。 学生学到这里,常有两点不足: 其一,式(2)与式(3)的证明各立一法,从而失去了式(2)的基础作用; 其二,式(2)不成为基础,也就无法推到一般,只好因为“难证”而略去式(n)的证明。 本文在不增加新的知识(如引理一类)的     

不等式f(x)·(g(x))~(1/2)≥0的解法

解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0极易出现漏解或增解 ,最常见的错误解法是 ,将 f(x)·g(x) ≥ 0转化为不等式组 f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0 .须知 f(x)·g(x) >0与 f(x) >0 ,g(x) >0同解 ,但是 f(x)· g(x) ≥ 0与f(x)≥ 0 ,g(x)≥ 0并不同解 .那么 ,怎么解此类不等式呢 ?下提供三种基本的解法供参考 .方法 1　将关系符号分解符号“≥”是由“ >”与“ =”复合而成 ,这样解不等式 f(x)·g(x) ≥ 0可以转化为解不等式 f(x)· g(x) >0与解方程 f(x)·g(x) =0 .例 1　解不等式 (x - 4 ) x2 - 3x - 4 ≥ 0 .解　原不等式可以转化为 (x - 4 )x2 - 3x - 4>0或 (…