例谈托勒密定理的应用

托勒密(Claudius Ptolemy)是希腊的著名学者,他于公元150年所著的《数学汇编》(被评论家们称为至高无上的《大汇编》)是希腊天文学权威著作.这部著作共有十三卷,在第一卷中他解释了一个含义丰富的几何命题,就是托勒密定理.     

托勒密定理及其应用

新编初中数学《几何》第二册复习题五第20题。求证:在圆内接四边形ABCD中,AB·CD+BC·AD=AC·BD. 这是著名的托勒密(Ptolemy,公元二世纪古希腊数学家、星学家兼地里学家)定理。本文就定理的证明和在解题中的应用,举数例供参考。     

椭圆中的托勒密定理

著名的托勒密（Ptolemy）定理“圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和”有多种推广．但笔者未见在椭圆中的推广．其实,Ptolemy定理椭圆中也有．     

托勒密定理纵横谈

托勒密(Ptojemy)是公元三世纪古希腊数学家.他发现:"圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和".这个命题通常称为"托勒密定理".此定理应用极广,某些复杂的几何命题,用它来证明,简捷清新.本文介绍此定理的多种证法及其应用,以供参考.     

一条平几定理在证明不等式中的应用

初中几何第一册第61页定理:三角形任何两边的和大子第三边,及其推论:三角形任何两边的差小于第三边,在平几及后续课程中,有广泛的应用。尤其是用它来证明一些三角不等式和几何不等式,使证明更为明快。因此,在初中平几的后续课程的教学和高考复习中,适时地向学生指出这一定理的应用,以便使学生弄清一些知识的前后联系,扩大视野,增进综合解题能力都是有益的。     

柯西定理在不等式证明中的应用

本文利用内积空间理论给出一些不等式的代数证明，方法简单扼要．     

Abel定理在不等式证明中的应用

文[1]介绍了数列求和的一种重要方法——Abel求和法,读后颇受启发.其实,Abel定理不仅在数列求和中十分有用,而且在证明一些著名不等式中也特别奏效,今举例说明.为方便起见,仍把Abel定理摘录如下.Abel定理　设{ak},{bk}为任意两个数列,设Sk=a1 a2 … ak　(k=1,2,…,n),则∑nk=1akbk=Snbn ∑n-1k=1Sk(bk-bk 1)例1　设a,b,c表示三角形的边长,证明:a2(b c-a) b2(c a-b) c2(a b-c)≤3abc1(第6届IMO试题)证　欲证不等式1,只须证a(ab ac-a2-bc) b(bc ab-b2-ac) c(ac bc-c2-ab)≤02由对称性知,不妨设a≤b≤c,记a1=ac bc-c2-ab,a2=bc ab-b2-ac,a3…     

从课本中的例题到托勒密定理

九年义务教育三年制初级中学几何第三册例2．如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：AB·AC=AE·AD．连结BE，由△ABE△ADC可证明本题．连结EC，由△ACE△ADB也可以证明本题．由△ABE△ADC，还可以得到由△ACE△ADB，还可以得到由②十①得AB·EC＋AC·BE=AE·BD＋AE·DC=AE（BD＋DC）=AE·BC．对四边形ABEC来说，这正是回内接四边形的托勒囵定理：国内接四边形对角线的积等于两组对边积的和．使我们不能满足的是它是托勒路定理的特殊懂况，一条对两线是圆的直径．对于例2的研究，我们知道，…     

一个不等式定理的别证

不等式a3 b3 c3≥3abc(a、b、c∈R )是高中数学中的一个重要定理,在教材中该不等式是用比较法证明的,下面再给出其它四种证法,证明如下:     

韦达定理在解析几何中的应用几例

平面解析几何,是用代数方法研究平面几何图形的一个数学分科。它所提出的问题以及问题的结论都是几何的,而中间的论证和推导基本上是代数方法。因此许多代数定理和运算法则在解析几何中是不可缺     

原函数存在定理在不等式证明题中的应用

基于原函数存在定理，可适当作辅助函数，方便地证明一些相关的不等式。     

例谈定积分在证一类不等式题中的应用

纵观近几年的高考试题、模拟试题及竞赛试题,不难发现有一类试题:证明形如ni=n0f(i)>C(或g(n)(或相似文献   

托勒密定理、三弦定理和四角定理

众所周知,在三角形中,边、角之间存在着许多重要的关系．不难想到,在圆内接四边形中,边、角之间也应该存在着类似的重要关系．如托勒密定理,它表述的是圆内接四边形中边之间存在的重要关系的一种,那么在圆内接四边形中,是否在边、角之间或角之间也存在某种重要的关系呢？答案是肯定的,如文［１］三弦定理．我们探讨了它的来源和证明． 定理 如果Ｐ是一圆上的任意一点,ＰＡ、ＰＢ／Ｃ是该圆上的三条弦,那么： ＰＢｓｉｎ（ＡＰＢ＋ＢＰＣ） ＝ ＰＣｓｉｎ ＡＰＢ＋ＰＡｓｉｎ ＢＰＣ 文［２］指出,这种新的边角之间的积和关系,…     

托勒密定理的解题功能

圆内接四边形两双对边乘积的和等于其对角线的乘积。这是公元二世纪希腊数学家兼星学家托勒密(Ptolemy)发现的一条美妙的定理,即托勒密定理(以下简称托氏定理)。一千多年来,经过数学工作者们的不断攻究、实践、探索,使得定理的应用遍及中学数学的各个领域,那么托氏定理在解题中为什么能产生如此之功力,发挥如此之效能呢?这里仅就其功能的几个方面作一粗浅的探索,不妥之处,恭请同仁指正。     

妙用托勒密定理巧解一道应用问题

<正>问题已知三村庄A、B、C构成了如图1所示的△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120°),现选取一点P打水井,使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小,求输水管总长度的最小值.分析本题是一道关于最值的应用问题,题目给的信息量较少,不少学生无从下手解决问题,如果我们了解托勒密定理,并熟悉其应用,就给这类题型解答带来方便.托勒密定理如图2若四边形ABCD的     

切线长定理在证明一类不等式中的应用

切线长定理在证明一类不等式中的应用吴善和（福建龙岩市福建煤校３６４０１２）在证明与三角形的边长有关的几何不等式时，可用到隐含条件：ａ＋ｂ＞Ｃ，ｂ＋Ｃ＞ａ，Ｃ＋ａ＞ｂ．但这些条件用起来很不方便，现采用如下变换：设ａ，ｂ，ｃ为ΔＡＢＣ的三边，因为任何三角...     

四点共圆之托勒密定理

<正>说起四点共圆,想必大家一定都不陌生,它的诸多性质帮助我们解决了很多几何上的难题.今天要研究的托勒密定理,能让我们在四点共圆的基础上进一步深入学习,探索更多的规律.1定理的内容托勒密定理实际上出自伟大的古希腊数学家依巴谷之手,而托勒密只是从他的书中摘出.托勒密定理指出,圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.     

三角公式的托勒密定理模型

<正>三角与几何联系非常紧密.贵刊文[1]给出了差角正弦公式的十三种简单几何模型,笔者认为其中的托勒密定理几何模型可以简化.经研究,得到了两角和与差的正弦、余弦公式的十分简洁的托勒密定理模型.一、和角正弦公式的托勒密定理模型设⊙O的直径AC=1,α、β均为锐角,且β<α(下同).如图1,在⊙O的内接四边形ABCD中,设∠BAC=α,∠CAD=β,     

Stolz定理和不等式在数列极限证明中的应用

介绍Stolz定理和一些数列极限的不等式证明思想,通过一些数列极限的证明更深刻地理解如何巧妙地运用Stolz定理和不等式证明极限的方法.