关于三角形的高与旁切圆半径的不等式

以下约定△ＡＢＣ的内切圆半径、外切圆半径与面积分别为ｒ,Ｒ ,△ ,ＢＣ =ａ ,ＣＡ=ｂ,ＡＢ=ｃ,ｓ=12 (ａ+ｂ +ｃ) ,其相应边上的高线 ,角平分线与旁切圆半径分别记为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ;ｗａ,ｗｂ,ｗｃ;ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.文 [1 ]介绍在一个锐角三角形中 ,有不等式∑ｗａｗｂ ≥ ∑ｈａｒａ (1 )不等式形式简洁 ,但美中不足的是有“在一个锐角三角形中”这个较强的条件 ,在一般三角形中 ,循环和∑ｈａｒａ 有什么结论呢 ?本文研究了循环和∑ｈａｒａ,得到了两个结论 .定理 1　在△ＡＢＣ中 ,有ｓ2 ≥ ∑ｈａｒａ (2 )等号当且仅当△ＡＢＣ为正三…     

《几何不等式》中一个不等式的纠正

笔者发现 ,《几何不等式》[1 ] 一书第 68～ 69页 5 47题有不妥之处。该题如下 :在△ＡＢＣ中 ,ａ ,ｂ,ｃ为边长 ,ｒａ,ｒｂ,ｒｃ 为旁切圆半径 ,Ｓ为半周长 ,ｒ为内切圆半径 ,则ａｒａ ｂｒｂ ｃｒｃ ≤ 32ｓｒ .　　 ( 1 )本文指出其错误证法 ,并建议将 ( 1 )修正为 :ａｒａ ｂｒｂ ｃｒｃ ≤ 2ｓｒ .　　 ( 2 )1　原书的错误证明现恭抄如下 :证明　因为ｒａ =ｒｓｓ-ａ,等等 ,不等式 ( 1 )等价于 :ａ(ｓ-ａ) ｂ(ｓ-ｂ) ｃ(ｓ-ｃ)≤32 ｓ.由几何———算术平均不等式得ａ(ｓ -ａ) ｂ(ｓ -ｂ) ｃ(ｓ -ｃ)≤ａ ｓ-ａ2 ｂ …     

涉及三角形傍切圆半径的一个不等式

定理设△ＡＢＣ的三边长为ａ,ｂ,ｃ,其傍切圆与外接圆、内切圆的半径分别为ｒａ,ｒｂ,ｒｃ与Ｒ,ｒ,则有（２－ｒＲ）２≤ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａｂ２＋ｒａｒｂｃ２≤（Ｒｒ－ｒＲ）２①引理令ｓ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,则ｒｂｒｃａ２＋ｒｃｒａａ２＋ｒａｒｂａ２...     

构造几何模型证明两个三角不等式

题 1　若α、β、γ均为锐角 ,且满足ｃｏｓ2 α+ｃｏｓ2 β +ｃｏｓ2 γ=1.求证 :ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ≥ 32 .证明　如图 1,设以ａ、ｂ、ｃ为三度的长方体ＡＢＣＤ Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 的对角线ＡＣ1 与三条棱ＡＤ、ＡＢ、ＡＡ1 所成角分别为α、β、γ ,则　　ｃｔｇα=ＡＤＤＣ1=ａｂ2 +ｃ2 ,ｃｔｇβ=ＡＢＢＣ1 =ｂａ2 +ｃ2 ,　　ｃｔｇγ=ＡＡ1 Ａ1 Ｃ1=ｃａ2 +ｂ2 ,∴　ｃｔｇ2 α +ｃｔｇ2 β+ｃｔｇ2 γ　 =ａ2ｂ2 +ｃ2 +ｂ2ａ2 +ｃ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2　 =ａ2 +ｂ2 +ｃ2ｂ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｃ2 +ａ2 +ｂ2 +ｃ2ａ2 +ｂ2 -3　 =(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) ( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　 =12 [(ｂ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｃ2 ) +(ａ2 +ｂ2 ) ]&;#183;( 1ｂ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｃ2 +1ａ2 +ｂ2 ) -3　≥ 12 [(ｂ2 +ｃ2 )&;#183; 1ｂ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｃ2 )&;#183; 1ａ2 +ｃ2 +(ａ2 +ｂ2 )&;#183; 1ａ...     

应用放缩法证明不等式

放缩法是证明不等式的重要方法 .应用哪些方法进行放缩 ,向哪个方向放缩 ,放缩到什么程度 ?是使用该法证明不等式的难点 .本文将就这些方面作些介绍 .1　去掉式子中某些正项或负项去掉式子中某些正项或者负项 ,可使式子缩小或者放大 .例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ 且ａｂ ｂｃ ａｃ =1,求证 :ａ ｂ ｃ≥ 3 .证　∵ (ａ ｂ ｃ) 2 =ａ2 ｂ2 ｃ2 2ａｂ 2ｂｃ 2ａｃ=12 [(ａ -ｂ) 2 (ｂ -ｃ) 2 (ｃ -ａ) 2 ] 3(ａｂ ｂｃ ａｃ)≥ 3(ａｂ ｂｃ ａｃ) =3 ,∵ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,∴ａ ｂ ｃ≥ 3 .例 2　在△ＡＢＣ中 ,求证 :ｓｉ…     

关于一个不等式的隔离

关于一个不等式的隔离姜卫东华云（黑龙江省农业经济学校１５７０４１）《数学通报》１９９７年第１期文［１］给出如下一个不等式：设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，则有ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃａ２ｒｂｒｃ＋ｂ２ｒｃｒａ＋...     

关于三角形旁切圆半径的两个不等式

涉及三角形的边与旁切圆半径的不等式不少，散见于多种数学刊物，本文再介绍一个优美的等式与两个新的不等式．定理记△ＡＢＣ三边ａ，ｂ，ｃ上的旁切圆半径分别为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ．则有２ｒａａ＋ｒｂｂ＋ｒｃｃ－ａｒａ＋ｂｒｂ＋ｃｒｃ＝２１ａ＋１ｂ＋１ｃ１ｒａ＋１...     

一个不等式的加强及类比

在△ＡＢＣ中，有以下不等式［１］：ｗａｂｃ＋ｗｂｃａ＋ｗｃａｂ≤３３２．（１）本文先给出它的一个加强．定理１设ｗａ、ｗｂ、ｗｃ为△ＡＢＣ三边ａ、ｂ、ｃ上的角平分线长，Ｒ、ｒ为其外接圆半径与内切圆半径，则ｗ２ａｂｃ＋ｗ２ｂｃａ＋ｗ２ｃａｂ≤４Ｒ＋ｒ２Ｒ...     

一个几何不等式的再加强和推广——兼答shc44

一个几何不等式的再加强和推广——兼答ｓｈｃ４４吴跃生（中国计量学院基础部３１００３４）设△ＡＢＣ的三边分别为ａ，ｂ，ｃ；ｍａ，ｍｂ，ｍｃ是相应边上的中线；ｒａ，ｒｂ，ｒｃ是相应边上的旁切圆半径．１９９１年，杨任尔证明了不等式［１］：∑ｒａｍａ≥３①其...     

一个三角形不等式猜想的否定与修正

文[1]介绍了安振平老师的一个猜想:设△ＡＢＣ的三条高和旁切圆半径分别为ｈａ,ｈｂ,ｈｃ,ｒａ,ｒｂ,ｒｃ.外接圆与内切圆半径分别为Ｒ,ｒ,则ｈａｒａ ｈｂｒｂ ｈｃｒｃ≤3Ｒ2ｒ.经探讨发现,此猜想不成立.图1　三角形在如图1所示的△ＡＢＣ中,∠Ｃ=90°,∠Ｂ=15°,ａ=1,则易知ｂ=2-3,ｃ=6-2.　　ｒ=ａ ｂ-ｃ2=1 2-3-(6-2)2=3(3-1)-2(3-1)2=(3-1)(3-2)2Ｒ=ｃ2=6-22=2(3-1)2.Ｒｒ=23-2=2 6.　3Ｒ2ｒ=6 362.ａ ｂ ｃ=1 2-3 6-2=(3-1)(3 2).1ａ 1ｂ 1ｃ=11 12-3 16-2　=1 2 3 6 24=14(3 1)(43 2).由文[1]知　ｈａｒａ ｈｂｒｂ ｈｃｒｃ=(ａ ｂ…     

谈对均值不等式的理解和应用

均值不等式是不等式一章中最基础、应用最广泛的灵活因子 ,它是考查学生素质、能力的一个窗口 ,是高考的热点 .对均值不等式的应用可从以下三个方面着手 .1　通过特征分析 ,用于证不等式均值不等式1)ａ2 +ｂ2 ≥ 2ａｂ=ａｂ +ａｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ) ,2 )ａ +ｂ≥ 2ａｂ =ａｂ +ａｂ(ａ ,ｂ∈Ｒ+ ) .两端的结构、数字具有如下特征 :1)次数相等 ;2 )项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等 ;3)左和右积 .当要证的不等式具有上述特征时 ,考虑用均值不等式证明 .例 1　已知ａ ,ｂ,ｃ为不全相等的正数 ,求证 :ａ(ｂ2 +ｃ2 ) +ｂ(ｃ2 +ａ2 ) +ｃ(ａ2 +…     

巧化齐次式妙证不等式

若不等式两边各项的次数相等 ,不妨称之为齐次不等式 .如均值不等式中 ,ａ2 +ｂ2 ≥2ａｂ ,是齐二次不等式 ,ａ +ｂ+ｃ3 ≥ 3 ａｂｃ是齐一次不等式 ,对某些非齐次不等式的证明 ,若能结合题设条件 ,将低次项的次数适当升高 ,从而将原不等式转化为齐次不等式来处理 ,往往会产生出奇制胜的解题效果 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ+ｂ +ｃ=1.求证 :ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 .分析　所证不等式左边是二次式 ,右边是一个常数 ,即零次式 .由已知　ａ +ｂ+ｃ =1,∴　　　 (ａ+ｂ+ｃ) 2 =1,从而所证不等式可化为齐二次不等式ａｂ +ｂｃ+ｃａ≤ 13 (ａ +ｂ+ｃ) 2 ,即　ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ≥ａｂ +ｂｃ+ｃａ .而　左边 -右边= 12 [(ａ-ｂ) 2 +(ｂ -ｃ) 2 +(ｃ -ａ) 2 ] ≥ 0 ,∴　原不等式成立 .例 2　已知 ｐ3 +ｑ3 =2 .求证 :ｐ+ｑ≤ 2 .分析　所证不等式左边为一次式 ,右边为零次式 ,考虑到已知等式是一个三次式 ,从而将所证不等式两边立方 ,得 (ｐ+ｑ) 3 ≤ 8,∵　ｐ3 +ｑ3 =2 ,　∴　 8=4( ｐ3 +ｑ...     

三角形内角的余弦方程及应用

设△ＡＢＣ的三边为ａ、ｂ、ｃ,ｐ＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）,内切圆、外接圆的半径分别为ｒ、Ｒ,则ｃｏｓＡ、ｃｏｓＢ、ｃｏｓＣ是方程,４Ｒ２ｘ３－４Ｒ（Ｒ＋ｒ）ｘ２＋（ｐ２＋ｒ２－４Ｒ２）ｘ＋（２Ｒ＋ｒ）２－ｐ２＝０（１）的三个根．证明在△ＡＢＣ中,由ｔｇＡ...     

函数y=θ-argz的几何解释

设复数ｚ =ａｃｏｓθ ｉ·ｂｓｉｎθ,(ａ>ｂ >0 ,0 <θ<π2 ) ,则θ为复数ｚ在复平面上对应点ｚ轨迹 ｘ =ａｃｏｓθｙ =ｂｓｉｎθ(0 <θ<π2 为参数 )———椭圆 (在第一象限部分 )的离心角 ,如图 ,函数ｙ=θ-ａｒｇｚ即为∠ＡＯＺ .ｔｇ∠ＡＯＺ =ｔｇｙ =ｔｇ(θ-ａｒｇｚ)=ｔｇθ - ｂａｔｇθ1 ｔｇθ· ｂａｔｇθ=(ａ -ｂ)ｔｇθａ ｂｔｇ2 θ=ａ-ｂａｔｇθ ｂｔｇθ≤ ａ-ｂ2ａｂ,所以ｙ的最大值为ａｒｃｔｇａ -ｂ2ａｂ,当且仅当 ａｔｇθ=ｂｔｇθ,即θ =ａｒｃｔｇ ａｂ 时取得 .当ａ =3 ,ｂ=2或ａ =3 ,ｂ=1时就分别得到 9…     

周界中点三角形又一有趣的性质

若三角形一边上的一点和这边所对的顶点将三角形的周长二等分 ,则称这一点为三角形的周界中点 ,并将以三个周界中点为顶点的三角形称为周界中点三角形 .文 [1]、文 [2 ]得到了与周界中点三角形有关的三角形外接圆半径、面积之间的三个不等式 .本文再给出一个更有趣的性质 .定理 1　设Ｄ ,Ｅ ,Ｆ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ ,ＣＡ ,ＡＢ上的周界中点 ,且ＢＣ =ａ ,ＣＡ =ｂ ,ＡＢ =ｃ,Ｓ =12 (ａ +ｂ +ｃ) ,△ＡＢＣ的外接圆半径和面积分别为Ｒ ,△ ,△ＤＥＦ的外接圆半径为Ｒ0 ,则有 :Ｒ·Ｒ0 ≥2 39△ .为证明此不等式 ,先看如下引理 :图 1　引…     

上期课外练习解答

高一年级1 .在ＡＢ上取一点Ｄ ,使ＤＢ =ＣＢ ,设Ｅ为Ｄ关于ＡＣ的对称点 .连ＥＡ ,ＥＢ ,ＥＤ ,ＣＤ .易证△ＤＣＥ为正三角形 .ＢＥ为ＤＣ的中垂线 ,ＡＣ为ＤＥ的中垂线 ,有 :∠ＥＢＡ =4 0° =∠ＥＡＢ ,ＥＢ =ＥＡ =ＡＤ =ｂ -ａ .在△ＡＢＥ中 ,ｃｏｓ∠ＡＥＢ =2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ -ａ) 2 ;在△ＡＢＣ中 ,ｃｏｓ∠ＡＢＣ =ａ2 +ｂ2 -ｂ22ａｂ ;由ｃｏｓ∠ＡＥＢ =-ｃｏｓ∠ＡＢＣ ,得2 (ｂ-ａ) 2 -ｂ22 (ｂ-ａ) 2 =- ａ2ｂ.整理 ,得　ａ3+ｂ3=3ａｂ2 .2 .ｙ=1 -ｓｉｎｘｃｏｓｘ1 +ｓｉｎｘｃｏｓｘ=212 ｓｉｎ2ｘ + 1- 1 .∵　 π…     

值得注意的一点

题　已知△ＡＢＣ的外接圆半径为 6 ,ａ ,ｂ ,ｃ分别是角Ａ ,Ｂ ,Ｃ所对应的边 ,角Ｂ ,Ｃ和面积Ｓ满足条件Ｓ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 且ｓｉｎＢ+ｓｉｎＣ =43,求△ＡＢＣ的面积Ｓ的最大值 .乍一看 ,这是一道易解的与不等式知识结合的三角题 ,可以很快给出解答如下 .解　由余弦定理 ,得ａ2 =ｂ2 +ｃ2 -2ｂｃｃｏｓＡ ,即ａ2 =(ｂ -ｃ) 2 + 2ｂｃ( 1 -ｃｏｓＡ) ( 1 )又∵Ｓ =12 ｂｃｓｉｎＡ =ａ2 - (ｂ -ｃ) 2 ( 2 )由 ( 1 ) ,( 2 )可得　ｓｉｎＡ =4 ( 1 -ｃｏｓＡ) ,∴1 -ｃｏｓＡｓｉｎＡ =14 ,∴ｔａｎ Ａ2 =14 ,∴ｓｉｎＡ =81 7.又∵ｓｉ…     

关于两道不等式的注记

关于两道不等式的注记杨晋（安徽芜湖市第１３中学２４１００２）《数学通报》在１９９４年第１０期和１９９６年第２期分别提供了如下两个问题：９２０设△ＡＢＣ的边长为ａ，ｂ，ｃ，傍切圆半径为ｒａ，ｒｂ，ｒｃ，求证：ｂｃｒ２ａ＋ｃａｒ２ｂ＋ａｂｒ２ｃ４（１）...     

涉及三角形中线的一个十分有用的变换

涉及三角形中线的一个十分有用的变换贺斌（湖北谷城教师进修学校４４１７００）本文约定：△ＡＢＣ的三边长、三中线之长、面积、半周长、外接国半径、内切圆半径、三傍切圆半径分别为ａ，ｂ，ｃ，ｍａ，ｍｂ，ｍｃ，△，Ｐ，Ｒ，ｒ，ｒａ，ｒｂ，ｒｃ．对于△Ａ’Ｂ’Ｃ...     

用平均不等式证明不等式的思路

平均不等式ａ2 ｂ2 ≥ 2ａｂ ( 1)(ａ ,ｂ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ时取等号 )及　　　　ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ 3ａｂｃ ( 2 )(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,当且仅当ａ =ｂ =ｃ时取等号 )是证明不等式的重要工具 ,怎样熟练灵活运用它们证明不等式是学习中的难点 .实际上 ,灵活运用上述公式可从平均不等式与待证不等式的特征入手 .1　升降次数例 1　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａｂｃ =1,求证ａ3 ｂ3 ｃ3 ≥ａ ｂ ｃ .分析 :两个平均不等式对单个字母而言从左到右是起降次作用 ,注意到要证的不等式正具有此特点且ａ =ｂ =ｃ =1时两边相等 ,因而有下面的证法 .证　…