有关组合问题的几个公式

我们知道,利用牛顿二项式定理可推得一个很著名的组合总数公式 C_n~1 C_n~2 C_n~3 … C_n~n=2~n-1 (1)新编高中数学课本第三册的P160上安排了一道习题,即证明: C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … hC_n~n=n·2~(n-1) (2)这个习題实际上也是一个很重要的组合公式。根据这两个公式及牛顿二项式定理,可推导出以下一些重要的结果。定理1.C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =(n-2)2~(n-1) 1 证明:C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n =C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n-(C_n~1 C_n~2 C_3~n … C_n~n), 由公式(1)及(2),得 C_n~2 2C_n~3 3C_n~4 … (n-1)C_n~n=n·2~(n-1)-2~n 1=(n-2)2~(n-1) 1     

直观方阵法求组合数列的和

在高中数学课本中,给出了下列组合数列的和: (1)C_n~0+c_n~1+c_n~2+…+c_n~n=2~n; (2)(C_n~0)+(c_n~1)~2+…+(c_n~n)~2=(2n)!/n!n! 如何利用这些组合数列的和,解它们的引伸题,我们采用了直观方阵法。例1 求和: (3)C_n~1+2C_n~2+3C_n~3+…+nc_n~n (4)C_n~0+2c1/n+3c_n~2+…+(n+1)c_n~n 解:排列方阵如下: C_n~0C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n C_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~nC_n~0 C_n~0c_n~1C_n~2……C_n~(n-1)C_n~n ………………… …     

数学板报

公式C_n~n C_(n 1)~m C_(n 2)~m 2 … C_(n k)~m=C_(n k 1)~(m 1)用于求一类数列的和甚为方便。一、求连续自然数积的和例1 求和:1·2 2·3 3·4 4·5 … n(n 1)。解:∵n(n 1)=2C_(n 1)~2 ∴1·2 2·3 3·4 … n(n 1) =2(C_2~2 C_3~2 C_4~2 … C_(n 1)~2) =2C_(n 2)~3 2=1/3n(n 1)(n 2)。例2 求和:1·2·3 2·3·4 3·4·5 … n(n 1)(n 2) 解:∵n(n 1)(n 2)=3!C_(n 2)~3 ∴1·2·3 2·3·4 3·4·5 …     

问题一瞥

1) 解方程: x~3-(a+2)x+(a+1)~(1/2)=0 2) 解方程: x~4-6ax~2+8a((ax)~(1/2))-3a~2=0 3) 确定下式的最小值: a~2+b~2+c~2/S其中a,b,c是三角形的边,S是三角形的面积。 4) 证明: tgα·tg2α+tg2α·tg3α+…+tg(n-1)α·tgnα=tgnα/tgα-n。 5) 证明不等式: tgα(ctgβ+ctgγ)+tgβ(ctgα+ctgγ)+tgγ(ctgα+ctgβ)≥6。其中α,β,γ是锐角三角形的角。 6) 证明: C_n~1 1~2-C_n~2 2~2+C_n~3 3~2-…+(-1)~n C_n~(n-1) (n-1)~2+(-1)~(n+1) n~2=0     

关于Chowla的一个猜想

在1978年赫尔辛基的ICM会议上,Apry给出(3)=sum from n=1 to (?) (1/n~3)是无理数的证明。为此,Apry定义了一个迭代数列a_n: a_0=1,a_1=5,n~3a_n-(34n~3-51n~2+27n-5)a_(n-1)+(n-1)~3a_(n-2)=0,(1) 它满足 这里Chowla在[1]中讨论了Apry数a_n的同余性质,他证明了a_(5n+1)≡0(mod p),a_(5n+3)≡0(mod p)以及对于奇素数p恒成立a_p≡5(mod p~2)。在文章最后     

min{max|x~n a_1 x~(n-1) a_2 x~(n-2) … a_(n-1) x a_n|}(x∈A)问题

引理1设n∈N,且n≥2则cosnθ=12n-1cosnθ q1·cos(n-2)θ q2·cos(n-4)θ …(1)(其中q1,q2,……均为与n有关的常数)说明:文[1]给出了余弦的n(n≥2,n∈N)次降幂公式:cosnθ=12n-1nk=0Ckncos(n-2k)θ.将上式整理即有:cosnθ=12n-1cosnθ 12n-1C1ncos(n-2)θ 12n-1C2ncos(n-4)θ     

压缩变换半群CT_n中一类元素的基数

压缩变换半群CT_n是全变换半群T_n中的压缩元组成的子半群.主要讨论了当n≥5时CT_n中一类元素{α∈CT_n|1α=1,((n-2)α,(n-1)α,nα)=(3,2,1))的基数并得到了递推公式:LN_n~((1,321))=d-d_1LN_(n-1)~(((1,321))-…-d_(k-3)LN_(n-(k-3))~((1,321)).     

对一个不等式的加强

文[1]用放缩法证明了这样一个不等式:已知n为正整数,求证:1~2[1/4] 2~2[1/4]~2 3~2[1/4]~3 … n~2[1/4]~n<(49)/(64).笔者仿照推导等比数列前n项和公式的方法,即用错位相减的方法,先求出不等式左边的和,得到了比原不等式更精确的结论.过程如下:令un=1241 22142 32143 … n214n(     

2011年清华金秋营数学试题及解答

1.求sinπnsin2πn…sin(n-1)πn的值.解设ε=cosπn+isinπn(i为虚数单位),则1,ε,ε2,…,ε2(n-1)为x2n-1=0的根,且sinkπn=εk-ε-k2i=ε2k-12iεk,所以sinπnsin2πn…sin(n-1)πn=(ε2-1)(ε4-1)…[ε2(n-1)-1]2n-1in-1ε12n(n-1)()n-1(2)(4)…[2(n-1)]     

一个与Wallis不等式有关的单调减少数列

证明了{n (64 n~3+16 n~2+72n+15)/64 n~3-16 n~2+72n-15~(1/2) integral from 0 to π/2 sin~nxdx}为严格单调减少数列,且极限为π/2~(1/2),因而得π(64 n~3-16 n~2+72n-15)/2n 64 n~3+16 n~2(+72n+15)~(1/2)integral from 0 to π/2 sin~nxdxπ(64 n~3+208 n~2+296n+167)/2 n(+1)(64 n~3+176 n~2+232n+105)~(1/2),将Wallis不等式改进为512 n~3-64 n~2+144n-15/πn (512 n~3+64 n~2+144n+15)~(1/2)2(n-1)!!/2(n)!!512 n~3+832 n~2+592n+167/(πn+0.5)(512 n~3+704 n~2+464n+105)~(1/2).     

一个猜想的证明

文[1]给出了:在任意△ABC中,A、B、C表示其三内角,则cos3A cos3B cos3C≥38.(当且仅当△ABC为正三角形时等号成立)并给出了如下猜想:cosnA cosnB cosnC≥32n.(n≥2,n∈N*)　(*)本文将利用著名的Jacobsthal不等式[2]:“设x≥0,y≥0,对任意正整数n,有xn (n-1)yn≥nxyn-1”的变形:“当x≥0,y>0时,有xnyn-1≥nx-(n-1)y”,以及相关的函数性质给出猜想的如下证明.证明　(1)若n=2k(k∈N*)时,　cosnA cosnB cosnC=cos2kA cos2kB cos2kC=(14)k-1[(cos2A)k(14)k-1 (cos2B)k(14)k-1 (cos2C)k(14)k-1]≥(14)k-1{[kcos2A-14(k-1)] [kcos2B-14…     

一个有趣的整除问题

本刊1983年第四期的问题征解上有这样一题求证(1+2+3+…+1983)|(1~5+2~5+3~5+…+1683~5)。在解此题时,我们从1~3+2~3+3~3+…+n~3=(1/4)n~2)n+1)~2=〔(1/2)n(n+1)〕~2=(1+2+3+…+n)~2,发现(1+2+3…+n)|(1~3++2~3+3~3+…+n~3)对任意自然数n皆成立。我们试问是否也有(1十2+3+…+n)|(1~5+2~5+3~5+…+n~5)对任意的自然数n皆成立呢!回答是肯定的。不难证明1~5+2~5+3~5+…+n~5=(?)(n+1)~2(2n~2+2n-1),因此,(1+2+3     

高维Pedoe不等式的一个加强

设Ω(A_n),Ω(A'_n)是n维欧氏空间E~n(n≥3)中的两个n维单形,棱长分别为a_i,a'_i(i=1,2,…,C_(n+1)~2),体积为V_n,V'_n,各棱长的乘积分别为P_n,P'_n对θ∈(0,2],本文证明 sum from i=1 to C_(n+1)~2 (a'_i~θ(sum from j=1 to C_(n+1)~2 (a_i~θ-2a_i~θ))≥((n(n+1)(n~2+n-47))/8)·[2~n(n!)~2/n+1]~(θ/n)[(P'_n/P_n)~(2θ/n(n+1))V_n~(2θ/n)+(P_n/P'_n)~(2θ/n(n+1))V'_n~(2θ/n)]等号成立当且仅当n(A_n),n(A'_n)均为正则单形。     

公式C_n~kC_k~m=C_n~mC_(n-m)~(k-m)的意义及其应用

有些数学关系既不易理解也不易记忆,但如果把它们与准确、形象、生动的实例联系在一起,就不困难了。 组合数的性质C_n~k·C_k~m=C_n~m·C_(n-m)~(k-m)就是这样。如果说C_n~m=C_(n-1)~m C_(n-1)~(m-1)和C_n~m=C_n~(n-m)分别表达了组合数的“加法”和“减法”运算的话,那     

数列中一个不可小看的公式

一、一个公式若S_n表示数列{a_n)的前n项和,即S_n=a_1 a_2 … a_(n-1) a_n,则有S_(n-1)=a_1 a_2 … a_(n-1) (n≥2),于是当n≥2时,a_n=S_n-S_(n-1),而n=1时,a_1=S_1,因此,a_n=(?)．解有关数列题目时,我们常常使用这个公式来实现问题的转化,下面举几个例子加以说明．例1数列{a_n)的前n项和为S_n=3n~2 n 1,则此数列的通项a_n=     

来信摘录

笔者认为《数学通报》1988年第5期发表的“注重习题教学发展学生思维能力”一文例1中证法四利用数学归纳法证明恒等式C_n~1 2C_n~2 3C_n~3 … nC_n~n=n·2~(n-1)的过程是错误的。过程中k 1型结论的正确性,根本未用到k型结论正确性的假设,违背了数学归纳法的证明原则,正确证明应为     

ON CONVERGENCE OF PAL-TYPE INTERPOLATION POLYNOMIALS

Let {x_k~*}_(k=1)~(n-1) be the zeros of the (n-1) -th Legendre polynomial p_(n-1)(x) and {x_k}_(a=1)~n be the zeros of the polynomial w(x)= (1-x2~)p_(n-1)~1(x). By the theory of the Pal interpolation, for afunction f ∈ C_([-1,1])~1, there exists a unique polynomial Q_n(f, x) of degree 2n-1 satisfying conditions Q_n(f, x_k)=f(x_k), Q'_n(f, x_k~*)=f'(x_k~*), where k=1, 2, …, n and x_n~*=-1. The main result of this paper is that if f ∈ C_([-1,1])~r, thenf(x)-Q_n(f, x)=O(1)W(x)w(f~(r), 1/n)n~((1/2)-r), -1≤x≤1.Hence, if f ∈ C_[-1,1])~1, then Q_n(f, x) converges to the function f(x)uniformly on the interval [-1, 1].     

实数的广义二进展式的一个概率性质

设0相似文献   

Exact Solution to an Extremal Problem on Graphic Sequences with a Realization Containing Every 2-Tree on k Vertices

A simple graph G is a 2-tree if G=K_3,or G has a vertex v of degree 2,whose neighbors are adjacent,and G-v is a 2-tree.Clearly,if G is a 2-tree on n vertices,then |E(G)|=2 n-3.A non-increasing sequence π=(d_1,...,d_n) of nonnegative integers is a graphic sequence if it is realizable by a simple graph G on n vertices.[Acta Math.Sin.Engl.Ser.,25,795-802(2009)] proved that if k≥2,n≥9/2 k~2+19/2 k and π=(d_1,...,d_n) is a graphic sequence with∑_(i=1)~n di(k-2)n,then π has a realization containing every 1-tree(the usual tree) on k vertices.Moreover,the lower bound(k-2)_n is the best possible.This is a variation of a conjecture due to Erdos and Sos.In this paper,we investigate an analogue problem for 2-trees and prove that if k≥3 is an integer with k≡i(mod 3),n≥ 20[k/3] ~2+31[k/3]+12 and π=(d_1,...,d_n) is a graphic sequence with ∑_(i=1)~n d_imax{k-1)(n-1), 2 [2 k/3] n-2 n-[2 k/3] ~2+[2 k/3]+1-(-1)~i}, then π has a realization containing every 2-tree on k vertices.Moreover,the lower bound max{(k-1)(n-1), 2[2 k/3]n-2 n-[2 k/3] ~2+[2 k/3]+1-(-1)~i}is the best possible.This result implies a conjecture due to [Discrete Math.Theor.Comput.Sci.,17(3),315-326(2016)].     

一道习题的多种证法

在高中课本中有这样一道习题:证明:C_n~1+2C_n~2+3C_n~3…+nC_u~n=n·2~(n-1)。本文给出它的七种不同的证明方法,这些证法从不同的侧面代表了数列求和的一般途径,对同学们或许有所启发。