巧用向量的数量积解三角问题

向量的数量积是向量的一个重要知识点.有些数学问题似乎与向量的数量积毫无瓜葛,但如能根据题设的结构特征构造出对应的向量,巧妙地利用向量的数量积求解,则方法新颖别致,过程简捷、明了.本文结合实例介绍向量的数量积在三角问题中的应用,供同学们学习参考.     

用向量的数量积巧解一类向量问题

已知三个向量a^→，b^→，c^→的模（长度）及a^→，b^→，c^→中每两个向量的夹角（或夹角的余弦值），且a^→=x^→b＋y^→c，如何求x，y的值？下面通过实例给出这一类问题的一种解法．     

利用数量积解几何问题

向量是数学新教材的重要概念之一 ,由于向量能有效地将复杂的几何论证问题转化为简单的数学运算 ,体现了中学数学重要的思想方法之一———转化思想 .向量方法在平面几何、立体几何及解析几何中有广泛的应用 ,其在新教材中占有较重的份量 .现举例说明向量的数量积在几何中的应用 .1　证明三线共点例 1　如图 1,已知AD ,BE ,CF是△ABC的三条高 ,求证 :AD ,BE ,CF三线交于一点 .图 1　例 1图证　设BE ,CF交于一点H ,AB→ =a ,AC→ =b ,AH→=h ,则BH→ =h -a ,　CH→ =h -b ,　BC→ =b -a .∵BH→ ⊥AC→ ,CH→ ⊥AB→ ,∴ (h …     

对平面向量数量积"性质1"的解读

1平面向量数量积“性质1”[1]的解读设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量e=|bb|,θ是a与e的夹角.则(1)e·a=a·e=|a|cosθ|bb|·a=a·|bb|=|a|cosθ|a·b|b=|a|cosθ(2)|a·b|b=|a|cosθ都表示a在b方向上的射影(课本上称投影.)(3)a在b方向上的射影(投影)的长度d=|a·b|     

向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦.也就是a·b=|a|·|b|·cosα,其中α是向量a和b之间的角.     

用向量数量积解线性规划问题

→a·→b的几何意义是:数量积→a·→b等于a的长度|→a|与→b在→a的方向上的投影|→b|cosθ的乘积.……     

巧用向量的数性积解题举例

文 [2 ]用点到直线的距离公式巧妙地解决了5类数学问题 ,读后深受启发 .笔者发现 ,利用向量的数性积解决这五类问题更加方便快捷 .本文在用向量数性积解决文 [1 ]5类问题的基础上 ,探讨了数性积与点到直线距离公式之间的内在联系 ,给出了推导点到直线距离与点到平面距离公式的新方法 .设向量ａ={Ｘ1 ,Ｘ2 } ,ｂ ={Ｙ1 ,Ｙ2 } (二维空间向量 )或ａ ={Ｘ1 ,Ｘ2 ,Ｘ3} ,ｂ ={Ｙ1 ,Ｙ2 ,Ｙ3} (三维空间向量 ) ,其夹角为θ.那么 ,这两个向量的数性积定义为ａ·ｂ =｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ.用坐标来表示有 :ａ·ｂ =Ｘ1 Ｙ1 +Ｘ2 Ｙ2 或ａ·ｂ =Ｘ1 …     

平面向量数量积常见考点剖析

向量是解决数学问题的重要工具,而数量积又是向量内容的重点,所以数量积是高考考查的热点,以基础题和中档题为主,现以2011年高考题为例说明如下. 一、求数量积     

向量数量积的一些应用

两个非零向量的数量积指的是它们长度的乘积再乘以它们之间夹角的余弦．也就是a·b。｜a｜．｜b｜．cosα,其中α是向量五α万b之间的角．     

用向量数量积的性质证明不等式

《中学生数学》2003年2月上期第25页刊文《巧用a/b^2≥2/b-1/a证明不等式》,在该文中列举了8个例题说明了a/b^2≥2/b-1/a的应用.读后颇受启发,笔者联想到新教材增加了向量的内容,其中两个向量的数量积有一性质：     

平面向量数量积性质的应用

<正>平面向量的数量积是平面向量的核心内容,同时是高考考查的热点.平面向量的数量积分坐标形式与几何形式,利用这两种形式及相关的性质不仅可以解决平面向量的长度、角度、垂直等问题,还可以解决一些函数的最值问题,往往收到化繁为简、化难为易的效果.下面举例说明平面向量数量积性质的应用.一、求解两向量垂直问题     

利用向量数量积的几何意义解题

平面向量是高中数学的三大数学工具之一,平面向量问题是近年来高考考查的热点也是难点,有关平面向量的命题也越来越灵活.向量问题通常有三种处理方法：坐标法、基向量法、几何法.而几何法具有直观性和简捷性的特点,同时它具有的灵活性也使得它不易被掌握,但用好向量的数量积的几何意义却能使很多问题的解决变得简单.     

向量的数量积与数的乘法的若干区别

1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则…     

例谈平面向量数量积的求值问题

平面向量的数量积是向量中的一个重要的概念,它有物理背景和几何意义,有自己的运算律与坐标运算公式,能把代数与几何等内容巧妙地结合在一起．在近年的高考卷与模拟测试卷中,经常见到求平面向量数量的值或它的取值范围的问题．就这一类问题的解决思路与方法,本文结合一些例子,做一些梳理,以期举一反三,启迪思维．     

巧用向量数量积及其性质求最值

与函数最值相关的问题，贯穿于中学数学各章知识中，经常出现在各种考试试题中，巧用向量数量积α·b=｜α｜·｜b｜．cosθ（θ为向量α与b的夹角）及其性质｜α·b｜≤｜α｜｜b｜可以求解一些函数的最大值与最小值，思路十分清晰，解题方法巧妙，解答过程简捷．     

例谈平面向量数量积的求值问题

平面向量的数量积是向量中的一个重要的概念,它有物理背景和几何意义,有自己的运算律与坐标运算公式,能把代数与几何等内容巧妙地结合在一起.在近年的高考卷与模拟测试卷中,经常见到求平面向量数量的值或它的取值范围的问题.就这一类问题的解决思路与方法,本文结合一些例子,做一些梳理,以期     

向量数量积在解代数题率的应用

由于平面向量融数、形于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此,向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法,使它在研究其它许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具解题,可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面分类介绍向量的数量积在解代数题中的应用．     

构造法在求向量数量积取值范围中的应用

在求解向量数量积取值范围一类问题时,有时会遇到一些用常规方法解决很繁琐的问题,这时,我们可以考虑用构造法将问题转化,使问题中原来隐晦不清的关系和性质在构造中清晰地展现出来,从而简捷地解决问题.本文通过构造三角形、四边形和圆直观地揭示已知与未知的关系,从而达到迅速解题的目的.