排列組合应用問題教学中的一点体会

在高中代数中,排列、組合是同学感到較难接受的課題。其主要原因是:(1)排列、組合和前面所学的內容在性貭和方法上都截然不同;(2)比較抽象;(3)答数一般都較大,难于检驗。这里,我提出个人在排列、組合应用問題教学中的一些体会。 (一) 如果对同一題目能給出多种不相同的解法,这不但能丰富同学考虑問題的思路和提高其解題的技能、技巧,而且能激起同学积极思考,取得良好的教学效果。例1.用0到9这10个数字可以組成多少个沒有重复数字的三位数?(課本中的例5) 解題之前,可在黑板上記下符号×△△,用以表示3个位置,根据題意可知数字0不能排在位置×上。解法1.从0以外的9个数字中,每次取出1个排在位置×上有A_9~1种方法,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上有A_9~2种方法,故可組成A_9~1A_9~2个沒有重复数字的三位数。解法2.从这10个数字中每次取出3个排在这3个位置上,有A_10~3种排法,其中数字0排在位置×上,再从剩下的9个数字中每次取出2个排在位置△上的排法有A_9~2种,故可組成A_(10)~3-A_9~3个沒有重复数字的三位数。解法3.从0以外的9个数字中,每次取出3个     

新题征展 (67)

A题组新编1.(1)五位渐升偶数(渐升:从高位到低位数字依次增大,以下类推)共有个,其数值从小到大排列时第10个数是.(2)五位渐降奇数有个,从小到大排列时第10个数是.(3)五位凸数(万位数<千位数<百位数>拾位数>个位数,如17987)共有个,从小到大排列时第10个数是.(4)五位凹数(如32049)共有个,从小到大排列时第10个数是.B藏题新掘2.如果m>0.x,y∈[m,+∞),m>0,且(x+x2-m2)(y+y2-m2)=m2,那么().(A)x=y(B)x>y(C)x相似文献   

扰排问题的再拓广

问题 1　将 7个元素“0 ,1 ,甲 ,乙 ,A,B,C”全排列 ,若首位不排数字 ,未位不排字母 ,且正中间 (第四位 )不排汉字 ,问有多少种排法 ?问题 2　大于 1 999且没有重复数字的四位数 ,若其百位数字不是奇质数 ,十位数字不是 2的正整数指数幂 ,则这样的四位数有多少个 ?为了统一解决此类排列问题 ,作如下定义　在 n元集合 I={1 ,2 ,,… ,n}内 ,给定 m( m≤ n)个互不相交的子集 H1,H2 ,… ,Hm,若从 I中取出的 m元排列 i1i2 … im 满足i1 H1,i2 H2 ,… ,im Hm,( 1 )则称其为 ( H1,H2 ,… Hm)型扰排 ,简称 H -扰排 .注意当 Hk= 时 ,( 1 )式…     

科学计数解题三例

我们知道,一个两位数是十位数字×10+个位数字×1构成的,一个三位数是百位数字×100+十位数字×10+个位数字×1构成的,由此类推可以知道四位数、五位数……的构成,这种科学记数可以很方便地解决实际问题,下面介绍三例:     

估值求解法举隅

先看下例的解法: 例1 若3~1000的各位数字之和为m,m的各位数字之和为n,n的各位数字之和为p。求p。解∵∴ 3~1000是不超过500位的数。∴ m<500×9=4500,m不超4位, ∴ n<4×9=36,n不超2位,     

某些二位数平方的简捷计算

一、十位数字是9的二位数的平方,可以用公式(9。乙)2一(。。乙场).万’来计算.b=其中1,2,3,一9。 ·表示添写符号.如9,8一98;9‘37一937. b表示b关于10的补数:即b一10一b如2一8. ·bZ表示乙的补数的平方所得的二位数字的数,如奈82-.42- 例1 .98=9604·(xo一8)“一·2“=04,扩62=36=(9·8一8·82=(95一2)·22 932=(9·3一3).3多一(93一7),7“=5649 ,二、十位数字是5的二位数的平方,可用公式 (5·b)“=(25+b)·bZ来计算. 例2 .5a2=(5.8)2一(25一卜8)·8“=3364, 53“=(5,3)“=(25+3)·3“=2809. 三、十位数字为4的二位数的平方,可用公式(4,乙…     

一种特殊的正整方幂数

试写出一个n(n≥2为正整数)位数,它等于该数的n位数字之和的n次方.这样的数存在吗?如果存在,它有多少?我们仔细分析,从关键词下手.某数的n次方是一个n位数,此其一;n位数字之和的n次方,恰好是这个n位数,此其二.一个正整数的n次方是一个n位数,首先这个数必须是一个个位位数;又2~n,3~n(n≥2的正整数)不可能如此.因此,我们只考虑正整数K,且3相似文献   

轮换数的求和问题

我曾看过这样一篇文章 ,文中说一个两位数与它的倒转数的和都是 1 1的倍数 ,并且这个和除以 1 1的商 ,正好是这个两位数个位、十位上数字的和 .例如 :6 3+ 36 =( 6 + 3)× 1 1 .看完这篇文章后 ,我不禁想到这样一个问题 :既然两位数有上述规律 ,那三位、四位数是否也有类似规律可寻呢 ?那么就让我们一起来探讨一下吧 !如 :2 34+ 2 4 3+ 32 4 + 342 + 4 2 3+ 4 32 =1 998=2× ( 2 + 3+ 4 )× 1 1 1 ,348+ 384 + 4 38+ 4 83+ 834+ 84 3=3330=2× ( 3+ 4 + 8)× 1 1 1 .观察每个算式左边六个数 ,我发现每个加数都是相同数字组成的三位数在百位…     

第十三章 排列组合二项式定理

芍i排列 一、选择皿 1.用。,1,2,3,减,5这六个数字可以组成没有重复数字的三位数,且又是奇数的个数共有() (^)100个(B)75个 (C)60个(D)48个 2.用l,2,3,4,、5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数共有() (A)96个(B)78个 (e)72个(D)64个 3.6人站成一排,甲、乙两人之间必有2人,不同的站法有() (^)p写尸盛种(B)p写p差p互种 (e)c奋e笼尸l种(D)p忍种 4.A,B,c,一,等10人排成一行,其中A必须在B之左,B必须在c之左,这样的排法有() (^)尸蚤尸l吕种(B冲18护蚤种 (e冲获e于。种(D)ero尸了种 二、填空题 1.晚会…     

数学题中的“貌似解异”

学会正确解题不可避免地需要熟练掌握概念、公式、定理、方法等以及进行一定数量的解题训练。但是,解题前的仔细审题是正确解题的必要条件。所以,在解题前必须力求避免审题的错误。造成审题错误的原因很多,对于数学问题不注意题中的细微变化,缺乏全面的分析,或仅仅根据形式生搬硬套,常常是导致错误的重要原因之一, 下面拟举数例,说明审题中的“通盘分析,前后联系,句句斟酌,字字推敲”的重要性。例1.(1).1、2、3、4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数? (2)1、2、3、4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位偶数。分析:因为组成的四位数中不一定都是偶数,所以这两个题由于一字之差,解法全不相同, 解: (1). P_4~4=24(个)、 (2). 2P_3~3=12(个). 例2.(1).p是什么数值时,方程x~2+px-3=0     

关于排列、组合应用题的十四种解法

排列组合的应用问题具有内容独特、解答时易重易漏、得数不易检验等特点 .下面从不同角度给出几种常见解法 ,供大家参考 .1　元素受限法　优先考虑 (先排 )受限特殊元素、后排非受限元素的方法 .例 1　从 0— 9十个数字中 ,可以组成多少个没有重复数字的四位数 ?解　先考虑受限元素“0” .①不含有数字“0” ,有A49个 .②含有数字“0” ,则先排 0不能在首位 ,有 3种方法 ,再在非“0”的另外 9个数中选 3个排列 ,有A3 9种方法 ,故共有A49+3A3 9=4 5 36个 .2位置受限法　从特殊受限位置入手先排 ,再排非受限位置 .例 2　从 8人中选 3人站成…     

一道数学竞赛题的两种简捷解法

去年全国高中联合数学竞赛第二试第二题是这样的:△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形,现固定△ABC,而将△ADE 绕 A 点在平面上旋转,试证:不论△ADE 旋转到什么位置,线段 EC 上必存在点 M,使△BMD 为等腰直角三角形.(图形见本期 P40图7)这道题的解法可分成三类:1°平几证法;2°解几证法;3°复数证法.所运用的知识是紧扣中学现     

一题多解 开阔思路

在数学学习中 ,对于某些数学题 ,只要我们认真思考、分析 ,就能想出多种解答方法 ,从而开阔我们的思路 ,提高学习兴趣 .例 1　已知 :如图 1,∠Ａ =90° ,∠Ｂ =30°,∠Ｃ =2 0° ,求∠ＢＤＣ的度数 ,有下面几种解法 ,供参考 .解法 1:由四边形内角和为36 0° ,得∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ +( 36 0°-∠ＢＤＣ) =36 0° ,则　　∠ＢＤＣ =∠Ａ +∠Ｂ +∠Ｃ=90°+30°+2 0°=14 0°.解法 2 :延长ＣＤ交ＡＢ于Ｅ ,(如图 2 ) ,则∠ＣＥＢ =∠Ａ +∠Ｃ=90° +2 0°=110°.所以∠ＢＤＣ =∠ＣＥＢ +∠Ｂ上接第 35页 )　　　　 =110° +30° =14 0° .(想一…     

不对号入座问题的一个递推公式

在高中数学排列组合问题中,有一类不对 号入座问题,其讨论解法相当复杂.例如:现有 1、2、3、4、5五个编了号的小球和五个编了号的 小箱.现要将五个球放入五个箱中,且1号球不 能放在1号箱中,2号球不能放在2号箱中 ……5号球不能放在5号箱中,每个箱中只能 放一个小球.问有多少种不同解法?答案是44     

陈旧的问题改进的方法

1陈旧的问题由1，2，3，4，5五个数字组成有重复数字的五位数，把它们从小到大排成一列．（1）22435是第几个？43512是第几个？（2）第200个数是多少？     

课外练习

初一年级1.用符号“ <”连接下列各数 :-2 62 5 ,-7776,-2 0 0 2192 7.2 .请你移动一根火柴 ,使算式成立3 .已知六位数abcdef是六位数bcdefa的 13 ,求此六位数初二年级1.求值 :2 0 0 42 0 0 3 22 0 0 42 0 0 2 2 + 2 0 0 42 0 0 42 -2 .2 .从 1到 8的八个整数中 ,有三个连续整数 ,用它们组成 6个不同的分数 ,若这 6个分数之和是整数 ,试找出这三个连续的整数3 .请找出使下列等式成立的数字算式 .猴年 =3 庆猴年初三年级1.已知 :如图 ,矩形AOBC ,其中O为坐标原点 ,点A坐标为 (0 ,3 ) ,∠OAB =60° .B在x轴上 ,以AB为轴对折后 ,使点C落…     

a2+ab+b2的变换技巧及其应用

二元二次式a2 ab b2结构整齐,轮换对称,在数学问题中颇为多见.从不同的角度对它进行思考、联想、变换,不仅能获得较好的解题思路和方法,而且对拓宽解题视野,提高解题能力大有好处.现就一些典型范例进行分析和说明.变换　a2 ab b2=a3-b3a-b(a≠b).例1　求sin220° cos250° sin20°cos50°的值.(1991年全国高考理科第22题)一般解法摆脱不了积化和差、和差化积的繁琐运算.应用上述变换式结合三倍角公式,使过程新颖简洁.解　原式=sin320°-cos350°sin20°-cos50°=(3sin20°-sin60°)-(3cos50° cos150°)4(sin20°-cos50°)=3(sin20°-cos50…     

解排列组合题的十二个策略

由于排列、组合应用题条件千变万化,应用形式广泛,具有条件隐晦、思维抽象且数值较大、不易验证等特点.因而在解题时要做到排、组分清,加乘辨明,避免重漏,多解验证. 一、特殊要求优先考虑 例1用1、2、3、4、5这五个数字组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有() A.24个 B.30人 C.40个 D.60个 解析:因为是三位偶数,则个位必须是特殊元素2或4,要优先考虑,有两类情况;其他两位从剩下的四个数中选排,故有2·A24 =24个,即应选A. 例2从10人中选4人排成一排,其中甲不站排头,乙不站排尾,有多少种站法?     

一道数学高考题的巧解及推广

例1　求ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°的值.按常规解法,这道题一般是先降次,再和差化积,积化和差.但过程较繁,现给出一种解法如下.解　设ｘ=ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°·ｃｏｓ50°,ｙ=ｓｉｎ270° ｓｉｎ250° ｓｉｎ70°·ｓｉｎ50°,则ｘ ｙ=2 ｃｏｓ20°(1)　ｘ-ｙ=ｃｏｓ140° ｃｏｓ100° ｃｏｓ120°=2ｃｏｓ120°ｃｏｓ20°-12=-ｃｏｓ20°-12(2)(1) (2)得2ｘ=32,即ｘ=34.∴ｃｏｓ270° ｃｏｓ250° ｃｏｓ70°ｃｏｓ50°=34.现在,我们把这道题推及一般.例2　求ｃｏｓ2α ｃｏｓ2β ｃｏｓαｃｏｓβ在…     

一些两位数平方的简捷算法

贵刊83年第二期“某些二位数平方的简捷解法”一文,介绍了十位数字分别为9、5、4的二位数的平方的简捷解法,读后受益不浅。这里再补充几类两位数平方的简捷算法。