“奔驰定理”及其应用

<正>"奔驰定理"揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律,并因其图形与奔驰的logo相似而得名.下面谈一下该定理及其应用,供大家参考.1"奔驰"定理     

四“心”归一 百变寻踪

三角形的"四心"(重心、内心、外心、垂心)具有很多优美的性质,是命制试题的重要载体,与之有关的试题往往难度较大.笔者对三角形的"四心"的向量性质进行了统一共性研究、描述和论证,发现它们有着很和谐的统一关联,应用起来非常方便.本文先推导一个定理(俗称奔驰定理,由于图形很像奔驰图标而得名),作为本文的灵魂,其余"四心"有关性质是该定理的推论,然后再通过几个例题给出它们的应用.     

HPM视角下“三角形一边的平行线性质定理及推论”教学

笔者以问题串的形式,带领学生探讨平面几何中“三角形一边的平行线性质定理及推论”能否用“出入相补原理”证明.师生发现,一方面,“出入相补原理”可以从特殊到一般证明该定理,另一方面,《几何原本》命题1.43和VI.14可以看作由“出入相补原理”推导出的“容直容横原理”的一般情况,欧氏几何是用“面积比”证明该定理,“容直容横原理”是用积来解决,理论上两者异曲同工,但在计算技巧上,中国传统数学更胜一筹.     

解斜三角形

1本单元重难点分析 本章是在有了三角函数的基础知识之后,运用平面向量的思想推导出三角形的正弦定理和余弦定理,以及应用正、余弦定理求解三角形及有关实际问题.因而本章的重点是掌握正弦定理和余弦定理的推导及实际应用.难点有两个,一是理解用向量法推导正弦定理和余弦定理;二是在实际应用中如何建立相关的三角函数模型.本章运用的重要数学思想方法有数形结合思想、函数和方程的思想等.     

把“数学发现”的权力还给学生——正弦定理的教学设计

1 .教材简析正弦定理、余弦定理是关于任意三角形边角之间关系的两个重要定理.在初中,学生已经学过一些关于三角形边角关系的定理,如大边对大角,直角三角形中的边角关系等.在学过任意角的三角函数的基础上,利用向量工具推导出这个定理,符合学生的认知规律.利用这两个定理可以解决测量、工业、几何等方面的实际问题,同时这两个定理也是反映如何利用代数方法解决几何问题的典型内容之一.通过本节内容的教学,既可以提高学生解决实际问题的能力,培养学生学习数学的兴趣,同时也可以向学生渗透数学中的一些基本数学思想方法.2　设计理念长期以来,…     

在中学数学教学中加强新旧知識联系的一些体会

在数学教学中加强新旧知识的联系,是減轻学生负担、提高教学质量的一项有效措施。本文提出一些初步的看法,与同志们共同研讨。 (一)理解与掌握教材的內在联系和相互关系我认为理解与掌握以下几种主要关系,对加强新旧知识的联系是有帮助的。 1.一般与特殊的关系。例如对函数来说,方程、数列、不等式等可视为函数的特例;而对方程来说,一次方程、二次方程等是它的特例。在中学教材的安排上,一般来说是由特殊到一般,有时是由一般到特殊。对某一部分教材来说,有时是先一般后特殊,而后又由特殊到一般。譬如在初中平面几何的“三角形”一章中,先研究三角形的一般概念,接着研究三角形的特殊部分——等腰三角形,而后研究一般三角形的有关重要定理(如全等定理)。最后研究特殊三角形的有关知识等。这样安排主要是为了便于学生接受。     

“正弦定理(第1课时)”教学设计与反思

<正>一、教学背景(一)教学内容分析本节内容安排在苏教版数学必修5第一章,"正弦定理"第1课时,是在高一学生学习了三角等知识之后,是对三角知识的应用;同时,它作为三角形中的一个定理,也是对初中解直角三角形内容的直接延伸,因而定理本身的应用十分广泛.实际教学中,"正弦定理"这部分内容共分为三个层次.第一层次,教师引导学生对实际问题进行探索,并大胆提出猜想.第二层次由猜想人手,带着疑问,以及特殊三角形中边角的关系的验证,通过"作高法"、"等积法"、"外接圆法"、"向量法"等多种方法证明正弦定理,验证猜想的正确性,并得到三角形面积公式.第三层次利用正弦定理解决引例,最后进行     

数学竞赛中的“三点共线定理”

从课本例题出发,深入探究了平面向量“三点共线定理”,运用该定理求解了两道北京市中学生数学竞赛题,并推广了三角形面积比例的一类问题.     

三角形外心的平面向量问题的解决探究

<正>平面向量既有数的代数特征又有形的几何特征,是沟通代数与几何的重要桥梁.在三角形中,选择两个边作为一组基底,由平面向量基本定理可知,该平面上的任意一个向量都可以用这一组基底唯一表示,即存在唯一一组确定的实数系数与这组基底一一对应.三角形的外心具有特殊的性质,作为平面向量命题的背     

解斜三角形

本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具．比较系统地研究了求解斜三角形这个课题．     

平面向量基本定理的面积表示及其应用

在三角形ABC所在平面内有一点O,由平面向量基本定理知,向量AO可以用三角形的边向量表示为AO=λ1AB λ2AC,其中λ1,λ2是唯一确定的.如何确定系数λ1,λ2是用好用活平面向量基本定理的关键.我们在教学中反思、研究、总结发现:在三角形中平面向量基本定理可以用面积表示.定理O为∠ABC所在区域内一点,SB,SC,S分别表示△AOC,△AOB,△ABC的面积,则AO=图1三角形SBSAB SSCAC.证当点O不在直线AB,AC上时,如图1,延长(或连接)AO交BC于D,过D点分别作AC和AB的平行线交AB和AC边所在的直线于E,F.因为AO=||AAOD||AD,又AD=AE …     

融情于景 推理探究——“正弦定理”的教学设计与反思

正弦定理是解三角形的一个重要定理,是用向量法研究三角形边角关系过程中自然而然得到的结论.在参加市青年教师教学竞赛时,笔者以培养学生逻辑推理等数学核心素养为目标设计了“正弦定理”这节课,以探究台球桌上的数学奥秘引入并贯穿整个课堂,融情入景,激发学生兴趣.通过多个探究活动的设计,让学生利用数量积自主探究定理的证明和相关结论,在推理探究的过程中完成逻辑推理等数学核心素养的渗透.     

GeoGebra辅助平面向量的教学探究——以“平面向量基本定理及坐标表示”为例

通过GeoGebra软件,将原本抽象的数学概念和定理予以直观化、动态化,分别从几何和代数两方面来揭示数学对象的本质,从而加强学生对数学抽象概念和定理的透彻理解.以“平面向量基本定理及坐标表示”的教学为例,探究GeoGebra软件在辅助平面向量教学方面的应用.     

一个三角形定理在空间的深入推广

美国数学家R.A.约翰逊在其名著中,介绍了一个优美的三角形定理.本文拟应用向量方法,将这个定理多方位地类比推广到一般多面体中.为了叙述简便起见,本文约定:(1)符号VA和VB表示两个多面体,VA的所有顶点组成的集合为V={A1,A2,…,An},     

正弦定理推证中的三个“副产品”

现行高中教材(人教版试验修订本必修第一册(下))中证明正弦定理时用的是向量方法,但未给出等于2R的证明.笔者在教学中对正弦定理“等于2R”推导的探究中,利用常用的三角形的外接圆方法来推导.在完成了任务的同时还得到了几个非常优美的“副产品”.如图1,在△BCD中,BC=CDsin∠BD     

回归平面几何视角，妙用角平分线定理

作为平面几何中的一个重要定理,三角形的角平分线定理在判断图形结构特征与构建线段比例关系等方面具有重要的作用.结合高中数学中解三角形、平面向量、平面解析几何等模块中的问题,借助三角形角平分线定理的应用,总结解题研究与技巧方法,全面培养学生数学核心素养.     

授之以“鱼”不如授之以“渔”——谈在数学课堂上培养学生应用化归思想的能力

数学思想方法是将数学知识转化为数学能力的桥梁,加强数学思想方法的教学是基础数学教育现代化的关键,而化归思想作为一种非常重要的数学思想方法,在分析、处理和解决初中数学教材中有着广泛的应用.如在研究多边形的问题时,先是研究三角形的性质,然后研究四边形、五边形、六边形等多边形性质时,都是通过添加辅助线将多边形问题转化为三角形问题来解决的,这是由特殊到一般,是一     

“重心”在手中 “五心”皆成功——三角形“五心”的向量统一表示

众所周知,点P是△ABC重心的充要条件是→(PA)+→(PB)+→(PC)=0.下面本文将从三角形重心出发,推出三角形“五心”的向量的两种统一表示方法[1].1 问题提出先请看下列经常出现在高考和竞赛中的向量问题:问题1 设△ABC内一点P满足m→(PA)+n→(PB)+l→(PC)=0(m,n,l为正常数),分别用Sa、Sb、Sc表示△BPC、△CPA、△APB的面积(下同),求Sa∶Sb∶Sc.分析 所给的向量等式与三角形的重心向量等式很相似,是否可以将它转化为三角形的重心呢?     

三角形“四心”的向量式充要条件及其应用

2006年数学高考大纲中明确指出:要加强平面向量在平面几何中的应用.纵观近几年的高考题,我们已经体会到这种命题思想的变化.在平面向量在平面几何中的应用问题中,又以涉及三角形“四心”的试题为热点.由于三角形的“四心”与向量之间有着紧密的联系,这就为运用向量解决这类“心     

关于正交张量的向量和反称张量表示

§1 引言 1943年,A.Signorini在建立有限变形的协调条件时,首先采用了有限转动张量的向量表示(见[1,2]),虽然有限转动张量的向量表示已经是一个古老的结果,但它的推导方式始终吸引着数学家和物理学家们的兴趣[3-13].有限转动张量只是一般正交张量的特殊情形:行列式等于+1。[14]首先给出了正交张量向量表示的统一推导。其后[15]对推导作了改进,并给出进一步的系统结果。文献[14,15]的推导要点在于应用Laplace恒等式及张量第一不变量的一个公式。本工作将从另一角度给出定理的证明以及一些其它的结果。