巧妙设参，探究拓展——以2022年高考数学新高考Ⅱ卷第16题为例

<正>1真题呈现高考真2题2(2022年高考数学新高考Ⅱ卷·16)已知椭圆■,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于M,N两点,且■,则直线l的方程为___．此题以椭圆为问题背景,结合直线与椭圆位置关系的设置,综合线段的长度以及长度关系,唯一确定相应的直线方程．     

与抛物线相关的一类正三角形的个数问题——由2011年高考数学湖北卷的一道选择题所引发的探究

2011年高考数学湖北卷文、理科选择题中有如下一题:记满足两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上,另外一个顶点是抛物线的焦点的正三角形个数为n,则A.n=0 B.n=1 C.n=2 D.n≥2这道题以与抛物线相关的正三角形为问题情境,主要考查直线与抛物线的位置关系和数形结合的思想.要求考生能通过几何直观,并抓住满足条件的正三角形和抛物线分别关于x轴对称的特征,进行合情推理,容易得出正确选项为C.     

在探究活动中感受数学美

一、背景分析2010年江苏数学高考18题第(3)问:在平面直角坐标系中,已知椭圆9/x~2+5/y~2=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,经过点T(9,m)的直线TA,TB与椭圆交于M,N两点,求证:直线MN必过.x轴上的一定点(其坐标与m无关).看到这道题,不由得联想起教材"选修2-1"第63页"思考与应用"中这样一题.设抛物线y~2=2px(p>0)的右焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//X轴,证明:直线AC经过原点O.两题都是研究直线恒过定点问题,这两题之间有什么本质联系吗?题目的背景是不是有什么相似之处呢?     

一道高考试题的探究

2007年高考江苏卷第19题是一道有关抛物线的解析几何题:图1如图1,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=x2相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l:y=-c交于P,Q.(1)若OA·OB=2,求c的值;(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由.此题主要是考查抛物线的基本性质,直线与抛物线的位置关系以及向量的数量积等知识,是一道容易上手却值得探究的好题.探究1 c=2是巧合吗?根据OA·OB=2,我们可以求出c=2.那么c=2是巧合吗?不妨设OA·OB=t,于是我们…     

追根溯源 推广探究——以2021年数学新高考Ⅰ卷第21题为例

<正>教材与考试大纲是历年高考命题最直接、最基本的基石,尤其数学教材一直是高考命题的主要依据.借助数学教材中的一些例(习)题,或融合数学知识,或挖掘问题背景,或提炼思想方法,或优化解题策略,或倡导综合应用,或拓展探究提升等,形式各样,变化多端.高考命题植于教材情理之中,源于教材意料之外,高于教材能力之上.1 真题呈现高考真题 (2021年数学新高考Ⅰ卷第21题)在平面直角坐标系xOy中,已知点,点M满足|MF1|-|MF2|=2.     

多方法破解，多规律总结，多变式拓展——对2021年数学新高考Ⅰ卷第5题的探究

<正>1真题呈现高考真题^{2021年高考数学新高考Ⅰ卷第5题}已知F₁,F₂是椭圆C:■的两个焦点,点M在C上,则|MF₁|·|MF₂|的最大值为()．A.13 B.12 C.9 D.6该题题目简洁明了,通过椭圆标准方程的给出,进而确定椭圆两焦半径积的最大值．题目难度不大,破解思维方式多样．破解最直接有效的办法就是应用基本不等式;而采用两点间距离公式或焦半径公式也是不错的方法,结合函数思维来确定最值;     

高考合理过渡，凸显教材变化——以2021年新高考Ⅰ卷第8题为例

以2021年高考数学新高考Ⅰ卷第8题中事件相互独立性的判断为例,从新旧思维破解真题、真题条件的变式拓展以及真题的引领与导向几方面,剖析新旧教材的变化以及高考试题的过渡,引领并指导中学数学教学.     

对一道高考题的探究

<正>问题已知点M(-1,1)和抛物线C:y~2=4x,过C的焦点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=____.本题为2018年全国高考理科数学Ⅲ卷第16题,是填空题中的压轴题,看似平淡无奇,但仔细挖掘,却发现其内涵十分丰富,本文就对其解法进行探究,同时对该题加以拓展,以期能对大家的学习有所启发和帮助.     

一道抛物线定直线问题的推广

题目已知点A、B为抛物线C：y2=4x上的两个动点,点A在第一象限,点B在第四象限,直线l1,l2分别过点A、B且与抛物线C相切,点P为直线l1,l2的交点.（1）若直线AB过抛物线C的焦点F,求证：动点P在一条定直线上,并求此直线的方程;（2）设C、D分别为直线l1,l2与直线x=4的交点,求△PCD面积的最小值.这道题是2014年《福建高考“集结号”最后冲刺模拟卷》·数学（文史类）第三卷中的第22题,     

对一道新高考联考题的多视角思考与求解

<正>为了熟悉新高考模式,广东、福建等第三批高考综合改革省市安排了此次2021年新高考适应性考试.此题为单项选择题第7题,该题体现了新高考命题的创新性,其解题思路与方法具有很大的开放性.1试题呈现(2021年新高考八省联考)如图,已知抛物线y²=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2=2px上三点A (2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)²+y2+y²=1的两条切线,     

“数”“形”合作，巧妙破解——对2021年高考数学天津卷第15题的探究

<正>平面向量的数量积问题涉及平面向量的基本概念、模、投影、夹角、坐标等相关知识,同时具备“数”的特征与“形”的直观,一直是历年高考中的热点题型与常考题型之一,背景新颖,方式创新,难度适中,倍受命题者的关注与青睐．特别是新高考的天津卷,对平面向量的数量积考查已经形成了“天津”特色．1真题呈现高考真题(2021年高考数学天津卷第15题)如图1,已知等边三角形ABC的边长为1,D在线段BC上,且DE⊥AB,     

对2019年高考北京卷理科数学第18题的探究

<正>课标倡导数学探究性课题学习:引导学生围绕某个数学问题,自主探究,提出有意义的数学问题,探求适当的数学结论或规律.这里结合一道高考题,加以说明.题(2019年北京卷第18题)已知抛物线C:x²=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率     

对一道高考解析几何试题的推广与探索

<正>1问题的提出(2019年浙江省数学高考试题第21题)如图1,已知点F (1,0)为抛物线y²=2px(p>0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧,     

也谈圆锥曲线的一组有趣性质

近日,笔者在研究高考试题时,发现了圆锥曲线的一组有趣性质,将其整理,受教于同行.一、试题及解答试题(2014年高考数学辽宁卷理科第10题)已知点A(-2,3)在抛物线C:y²=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为().     

一道上海高考题的探究与推广

一、分析与研究 2010年高考上海卷理科第23题第（Ⅱ）问： 设直线L1：y=k1x＋p交椭圆Г：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）于C,D两点,交直线L2：y=k2.x于点E.若k1·k2=-b2/a2,则E为CD中点。     

一道2020年高考椭圆中最值问题的探究与变式

—、问题提出题1(2020年高考海南卷,21题)已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶点,且AM的斜率为1/2.(1)求C的方程;(2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值.题1考查了椭圆的标准方程、几何性质、直线与椭圆的位置关系以及椭圆中的最值问题,考查了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,检验了学生分析问题与解决问题的能力.     

精想细算 轻松突破

<正>2017年北京高考理科第18题:已知抛物线C:y²=2px过点P(1,1),过点(0,1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．     

2004年高考湖北卷的一道题的来龙去脉

2004年高考湖北卷数学第11题(以下简称"＇04题");已知平面α与平面β所成的二面角为80°,P为α,β外一定点,过P的一条直线与α,β所成角都是30°,则这样的直线有且仅有(A)1条.(B)2条.(C)3条.(D)4条.此题很容易让人联想到1993年全国高考理科数学第18题(以下简称为＇93题):已知异面直a与b所成的角是50°,P为空间     

一道高考试题的探究

2007年高考江苏卷第19题是一道有关抛物线的解析几何题： 如图1，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点C（0，c）任作一直一线，与抛物线y=x^2相交于A，B两点，一条垂直于x轴的直线分别与线段AB和直线l：y=-c交于P，Q．