巧借常值数列 妙破数列问题

<正>常值数列是一类特殊的数列,是等差数列与等比数列的一个和谐统一.常值数列中各项的值都相等,其通项公式是a_n=a₁=a(n∈N^*,a∈R),是一个公差d=0的等差数列,当a≠0时其又是一个公比q=1的等比数列.常值数列在解题过程中往往有其特殊的作用,特别在一些相关的数列问题中,常值数列的特征不明显,经过合理的变形、转化与推导,“添油加醋”才能选取、配凑或构造出对应的常值数列,进而借助常值数列的相关特征性质来处理与解决问题,     

借助轨迹 妙求最值

一、题目展示 （2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,^→AB·^→AC=7,｜^→AB-^→AC｜=6,求S△ABC的最大值。     

借助轨迹 妙求最值

<正>一、题目展示(2012年高中数学联赛第5题)在△ABC中,→AB·→AC=7,→→|AB-AC|=6,求S△ABC的最大值.点评本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的研究空间.     

“新定义”巧创设，新高考妙创新

创新意识与创新应用的渗透与养成,是一个依托相关数学基础知识,进行合理类比、归纳、创新等的思维与应用过程.依托“新定义”的数学命题,已成为新高考中的一大特色.借助“新定义”,结合一些常见的创新形式,从新概念、新公式、新性质与新模式等角度加以实例剖析,培养学生创新意识与数学核心素养.     

巧用定义妙解题一例

《中学生数学》高中刊2006年第2期刊登了丁红军、贺斌老师的文章:一道解析几何题的简明的解法,读后收益匪浅,很受启发,本题是否还有更简明的解法呢?本文提供一种更巧妙、更简明的解法,供同学们欣赏,希望对大家有所帮助!     

借助“定义”巧解圆锥曲线中的最值问题

<正>本文拟通过归类举例的形式具体说明:借助圆锥曲线的"定义",可帮助同学们从"形"的角度出发,有利于迅速探求有关最值问题的求解思路.目的在于进一步提高学生对"数形结合思想"、"转化与化归思想"及"分类与整合思想"在解题中的综合运用能力,较好地培养学生直观想象、逻辑推理及数学运算等核心素养.     

借助概率统计知识，科学决策开放性问题

<正>借助概率、统计中的相关知识,科学决策现实生活中的开放性问题,是近年高考中比较常见的一类创新性应用问题.此类开放性决策问题,要用数据说话,根据相应的数据支撑,计算事件发生的概率或者均值等数据;同时表达要准确,开放性决策的理由陈述不能偏离主旨,要加以合理科学决策.1 根据概率合理决策例1 (2021届山东省德州市高三一模数学试题)2021年春晚首次采用“云”传播,“云”互动形式,实现隔空连线心意相通,全球华人心连心“云团圆”,     

巧借抛物线定义 妙解数学综合题

<正>定义是解决相关问题的理论基础和灵魂所在,解题时要善于回归定义和应用定义.抛物线的定义反映了抛物线的本质特征,揭示了曲线存在的几何性质与规律,恰当借助抛物线的定义,能够有效实现抛物线上的点到焦点的距离与它到准线的距离之间的合理转化.一方面可以将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,建构“两点距离”的直观问题;另一方面可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,建构“点线距离”的直观问题.根据不同的问题情境,有效转化,     

巧构造，妙求值

<正>涉及一些较繁杂的求值问题,若巧构造函数利用函数的单调性妙求解,则有出奇制胜事半功倍之效,下面举例说明.     

问题179——读懂定义，严谨证明

该问题共收稿11篇,均认为解法1错误,解法2和解法3结论正确．来稿前3名的作者是江苏省江浦高级中学冯仕虎,河南省上蔡一高王安寓、丁冬奎（合稿）,北京市朝阳区南沙滩甲1号3303室马殿荣．另外,浙江省杭州市滨江区逸天广场18—1401章润生、山东省阳谷县第一中学崔正学给出了与选登1类似的评析．     

借助逻辑推理，培养核心素养

<正>在数学学习的过程中,逻辑推理素养的培养重点在于提出并论证相关的数学命题,在掌握推理证明的基本形式的基础上,合乎逻辑地思考问题,正确理解相关事物之间的关联,准确把握对应的知识结构,形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质和理性精神,培养良好的科学素养.1 挖掘基本关系,巧妙逻辑推理利用数学问题中给出的函数、方程、不等式等的基本关系,通过合理的变形与转化,巧妙运用逻辑推理,朝着目标方向不断前行.     

借助数据分析，培养核心素养

数据分析是新时代数学分析与应用的主要方法.结合近年高考数学真题与模拟题实例,借助图表直观、数据之间的性质特征、逻辑推理、数学公式以及创新定义等,合理提取数据信息,有效进行数学分析,科学培养数据分析等数学核心素养.     

借助辅助问题解题

1　 问题的提出引例　如图 1 ,甲、乙两船分别从 A、B点处出发 ,各船以匀速沿 AP—— 、BQ—— 方向进行直线航道行驶 ,求两船相距最近时 ,彼此之间的距离 .图 1　　　　图 2　　　　图 3分析　图 1中由于 A、B、P、Q是变化的 ,解题关键在于能不能想出一个更好着手解决的有关问题 ?考虑极端情况 (图 2中 ) ,当乙船在 B处抛锚 ,乙船速度为 0时 ,最短距离是BS.这种极端情况看似简单 ,但的确是个好念头 .只要考虑运动的相对性 ,给乙船加上一个运动 ,使乙船看作是停在 B处不动 ,这时甲船沿着图 3中 AP AP′=AP BQ′=AP- BQ =AT…     

借助《几何画板》辅助圆锥曲线统一定义教学

现行《解析几何》教材中 ,给出了圆锥曲线的统一定义 :与一个定点 (焦点 )的距离和一条定直线 (准线 )的距离的比等于常数ｅ的点的轨迹 ,当 0 <ｅ <1时是椭圆 ;ｅ>1时是双曲线 ;ｅ=1时是抛物线 .这一定义表明了三种圆锥曲线间的内在统一 .是对学生进行辩证法等素质教育的好素材 .教材是通过分别求出轨迹方程加以说明的 .实际教学中以传统教学手段较难体现其内在一致性 .更无法进行如《全日制普通高级中学数学教学大纲》(2 0 0 0年 2月出版 )所要求的“结合教学内容 ,进行运动、变化观点的教育” .若借助《几何画板》这一动态几何工具辅助教…     

巧借复数三角形式，妙解数学综合问题

复数三角形式是复数模块知识中的一个课外补充与阅读知识,对学有余力的学生加以知识空间与应用场景的拓展.结合复数三角形式在一些数学综合问题中的应用,剖析复数三角形式的知识内涵、几何意义与应用场景,归纳总结规律,拓展数学解题研究与竞赛辅导.     

函数奇偶性，高考妙考查

<正>函数奇偶性是历年高考数学对函数进行重点考查的一大基本性质,其以基本初等函数或抽象函数等为载体,多以小题（选择题或填空题）形式出现,很好地交汇与融合了函数的概念、图象与性质等相关知识,有时单独考查,有时综合应用．下面结合2021年高考数学真题,就高考数学试卷中函数奇偶性的常见考点类型与巧妙应用,抛砖引玉,对教师教学与学生学习提供此许帮助．     

借助等差中项，妙解三角函数

对称结构是数学中一个极具美感的特征结构,对称思维是数学中一个非常优秀的思想方法.结合三角函数及其相关问题中对应要素的对称关系,合理借助等差中项的性质构建对应的等差数列,利用等差数列加以转化,实现三角函数问题的创新与求解.     

借助特殊思维，构建熟知模型

<正>在解决一些数学问题时,经常借助构建适当的特殊数学模型,有效实现数学问题的基本化、模型化、熟知化,实现数学知识的合理迁移与转化,通过熟知数学模型问题的分析、处理与破解,实现特殊思维化处理数学问题的目的.     

借助深度学习，构建学习共同体

<正>深度学习是一个源于人工神经网络研究的概念,是机器学习的一种,是实现人工智能的必经路径.随着新课程改革的进一步深入,“学习共同体”这一新颖的教学组织形式也倍受关注.合理借助深度学习,构建数学学习共同体,全面提升获得数学知识、数学思想方法和数学能力成为一个热门课题.如何有效借助深度学习,通过教师对数学例题、习题的教学,合理挖掘学生的学习潜力？     

借助复数概念，渗透数学文化

复数知识背景下的数学文化等创新情境设置是新高考数学试卷中一大热点与亮点.本文以复数为主干知识,以数学文化为内涵,综合复数自身以及其他相关知识的融合与创新,结合设问模式的创新与应用等,合理剖析试题,以期引导数学概念教学与复习备考.