几何体表面最短程问题常见错误例析

几何体表面最短程问题的计算在生产实际中应用广泛 .储油罐由下而上环绕罐面建扶梯 ,从山下往山上建筑环形公路 ,确定卫星的运行轨道等都包含着几何体表面最短程问题 .求解空间几何体表面上两点的最短程问题 ,其一般思路是 :展开几何体的表面成平面 ,归结为求平面上两点间最短距离问题 .本文旨在剖析几何体表面最短程问题中的常见错误 .例 1　正三棱柱ABC -A1B1C1的各条棱长都等于 2 ,M为棱AA1的中点 ,N为底边BC的中点 ,问点M沿柱体表面到点N的最短路程是多少 ?错解 1　如图 1,将正三棱柱ABC -A1B1C1沿B1B剪开 ,把侧面展平 ,连MN …     

蚂蚁爬行中的数学问题

蚂蚁从几何体的某点出发,爬行到另一点或某直线上,求蚂蚁爬行的最短距离的问题,单凭直观想象很难找到爬行的路线．因而难度较大,解决这类问题通常是把几何体展开成平面图形,再利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”等性质,找出蚂蚁爬行的最短路线,然后再通过计算求得结果．     

绕圆台侧面一周最短路程计算的研究

1　问题的提出习题　已知圆台的母线长为 2 ,上、下底面半径分别为 1和 2 ,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .为了便于研究 ,把问题一般化 :“已知圆台的母线长为 l,上、下底面半径分别为 r′和r,有一动点 P从下底面圆周上一点 A开始出发 ,绕圆台侧面一周再回到 A点 ,求动点 P经过的最短路程 .”(如图 1 )2　解决方法这是求几何体表面两点间最短距离问题 ,考虑到圆台侧面可展开成平面图形 (一个扇环 ) ,因此 ,把空间问题化为平面问题来解决 ,只需求这个扇环上相应两点间的最…     

两种典型方法解决与体积相关问题

对于空间几何体,一般情况下求体积都能直接应用体积公式来解决,但是对于一些特例问题则不能直接解决,下面介绍两种方法来解决与体积相关问题.1.用"割补法"解决不规则几何体的体积一般地说,对于不是常见的柱、锥、台、球,通常有两种方法,一是将其分割,把它分割成若干个能直接应用公式求体积的几何体,二是在原来的几何体的基础上补形,补成一个能直接应用公式求体积的几何体,不过此时要求所补部分的体积易求或能够用所求几何体的体积来表示,通常把上述方法称为"割补法".     

简单几何体与球

1 重点、难点分析 本单元以常见的几何体为载体,一是继续研究如何证明线线、线面、面面平行与垂直,如何求空间的各种距离,如何求空间的各种角,二是研究这些几何体的性质、侧面积、全面积及体积等.本单元的重点是棱柱、正棱锥、正多面体、球的概念;棱柱、直棱柱、棱锥、正棱锥、正四面体、长方体、正方体的性质;球的性质、体积、表面积.难点是正确判断简单几何体中的点、线、面之间的关系,如何把空间问题转化为平面问题及球体积、表面积公式的推导方法的理解.     

利用网格线巧求锐角三角函数

<正>在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题,我们知道借助于网格线可以构造直角三角形,利用勾股定理求出任意两个格点连线的长度,也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线.那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢?一、构造直角三角形锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系,所以要求三角函数值,必须将这个角放到直角三角形中.(2015·山西)如图1,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,求∠ABC的正     

空间中的距离

[复习说明 ]空间中的距离作为刻画空间三元素 (点、直线、平面 )之间相对位置的重要参量之一(另一参量为空间角 ) ,是高考中考查考生立体几何知识的一个热点 .在近 5年的高考中 ,涉及到空间距离的试题年年都有 ,所以在复习时要引起重视 .本专题的重点是求线面距离与点面距离 ,难点是求球面距离 .[内容提要 ]空间中的距离包括点点距离、点线距离、点面距离、线线距离、线面距离、面面距离、几何体表面距离等 7种 .在多种空间距离中 ,其核心是点到平面的距离 .这里因为诸多空间距离的计算最终都是转化为点面距离 .点面距离既可以借助于作出垂…     

初中几何问题中线段长度的求解技巧探究

平面几何是初中数学知识中重要的一部分，线段长度的变化影响着图形的大小、形状.考查线段长度的形式多种多样，相关的问题也都十分灵活.求线段长度的基本方法有等面积法、利用勾股定理、利用相似等.本文中结合不同例题，具体分析解答求线段长度问题常见的解题思路.     

球面上两点之间的最短距离问题

<正>球面上两点之间的最短距离是一个常见的地理问题.问题如下:如果飞机从乌鲁木齐飞往北京,选择最短航线,则飞机飞行的方向大致为().(A)向正东方向飞行(B)先向东北再向东南(C)先向东南再向东北这道题的正确答案应该选(B).同学们在解决这个问题的时候,根据的是地理书上的一个结论:球面上两点间的最短距离,是连接这两点的大圆在这两点之间的劣弧长度.     

应用勾股定理的逆定理解题例析

勾股定理及其逆定理揭示了直角三角形中三边之间的性质,是中学数学中几个重要的定理之一.正如德国著名数学家、天文学家开普勒曾经说过的:"几何中有两个宝藏,一是勾股定理,一是黄金分割."他给勾股定理以很高的评价.勾股定理在解决三角形的计算、证明和解实际问题中得到广泛应用.勾股定理的逆定理是由三边关系判定直角三角形的一个重要方法,它常与三角形的内角和、三角函数值、三角形的面     

组合体的计算方法

由若干个简单几何体组合的几何体称为组合体.组合体一般分两大类,一类是若干个简单几何体在外部接、切而成:另一类则是在内部切、接而成.解组合体的问题,涉及有关组合体的面积,体积计算.一般都要作出其纵剖面或轴截面,将关键的点、线集中在一个平面图形中,以求将立体问题平面化.或抓住组合图形中关键切、接点与线或交接面,将问题转化为熟知的简单几何体问题。     

例析“辅助圆”的作用

<正>部分初中几何综合题,如果能根据题目的本质特征恰当构造辅助圆,既能巧妙地利用"同弧所对圆周角是圆心角的一半,同弧所对的圆周角相等"求角,也能利用"圆外一点与圆上各点之间的最长距离是这点到圆心的距离与半径的和,圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差",从而突破线段最值问题.     

应用侧面展开图寻求最短路径

<正>寻求多面体和旋转体上两点之间的最短路径,可以充分利用其侧面展开图,将立体问题平面化,现略举几例.例1如图1,已知正四面体A―BCD,其棱长为1,P、Q分别为AB、CD上的两点,且AP=CQ=λ(0<λ<1),求在四面体侧面上从P到Q的最短距离.解由对称性可知,在侧面上P到Q只须考虑以下两种情况:(1)经过棱AC上一点到达Q;     

体积比问题的类型及解法

体积问题是立体几何中的一类重要问题 ,其中求几个几何体的体积比是较常见的一类问题 ,且多以选择题、填空题设置 .通常可设法求出每一个几何体的体积 ,再求体积比 ;或借助几何体的体积关系 ,整体处理求得体积比 .对选择题、填空题型 ,也可采取特殊化 (赋予几何体相关特殊值、特殊图形、特殊位置等 )思维策略求解 .本文结合典型问题仅以解答题求解方式探究此类问题的求解方法 .1　直接法　对于某些规则几何体 ,若据题意其体积易于求得 ,则可直接求出其体积 ,再求其体积比 .例 1　 (1991年上海高考题 )一个圆柱的底面直径和高都等于一个球的…     

例谈多面体的外接(内切)球半径的求法

<正>三视图问题是高考的必考内容,在2017届各地的高考模拟题中出现了三视图考查的新动向——求三视图还原而成的几何体的外接(内切)球的表面积或体积的问题,这是高考的重点,也是学生学习的难点.困难表现在两个方面:一是根据三视图如何准确还原几何体;二是依据画出的几何体的特征如何采用适当的     

截面在解题中的妙用

有些立几问题 ,看似与截面无关 ,但若能恰当地作出截面 ,借用截面可使复杂问题得到简化、隐含条件得到显化 .以下举例说明 .1　妙用截面　实现体积转化1 997、1 999两届高考试题中都出现求多面体内部几何体的体积 ,大多数学生感到比较困难 .可巧作截面 ,借用截面实现体积转化 ,化为有一面在多面体表面的几何体体积 ,以达简化的目标 .例 1　如图 ,已知正四棱柱ＡＢＣＤ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 Ｄ1 ,点Ｅ在棱Ｄ1 Ｄ上 ,截面ＥＡＣ ∥Ｄ1 Ｂ ,且面ＥＡＣ与底面ＡＢＣＤ所成的角为 45°,ＡＢ =ａ ,求三棱锥Ｂ1 -ＥＡＣ的体积 .( 1 999年全国高考题 )分析 …     

两个模型解决几何体外接球问题

几何体外接球是高中数学较难的一部分知识内容．本文意在通过化归思想将外接球问题最终都转化为两个模型．通过对模型的求解来求几何体外接球的半径．我们知道,并不是所有的几何体都有外接球,但圆锥与圆柱都有外接球．本文通过对圆锥和圆柱的求解来求其他几何体的外接球半径．     

几何体的面积和体积

面积和体积是立体几何中的两类重要问题 ,其中体积的计算和应用是重点 .几何体的面积主要包括表面积和截面的面积 .其中截面面积的计算是数学竞赛中的一种常见题型 .处理截面问题一般分为三个步骤 :定位、定形、定量 .在掌握好求体积的基本方法的基础上 ,还应重视以下的常用方法和技巧 :1)转移法 ,即利用祖 日恒原理或等积变换把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积 ;2 )分割求和法 ;3)补形求差法 ;4 )交换底面求三棱锥 (或四面体 )的体积 .面积和体积最值问题也是一种常见题型 ,解决这类问题的基本方法有三种 :1)“选变量 ,寻定…     

巧用三边比,求直角三角形的边长

<正>"在直角三角形中,已知一条边和一个角,求另外两条边长"是一个常见的问题,主要考查同学们对三角函数这一知识点的熟练程度,当然也有一些同学会先利用三角函数求出另一条边长再用勾股定理来求第三条边长.笔者在教学过程中,常使用"三边比例"来解答,现     

巧割妙补求体积

<正>我们学习了简单规则几何体的体积公式V_柱体=S_底×h,V_锥体=（1/3）S_底×h,V_球=（4/3）πR³.当我们遇到求非规则的几何体的体积问题时,就要把所求问题转化为求简单规则几何体的体积,这种转化常用到以下两种方法:一是把