从一道全国高中数学联赛预赛题想起

<正>题目(2014年山东赛区预赛第二题)已知函数f(x)=sinx+(1+cos²x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t2x)(1/2)(x∈R),则函数f(x)的取值范围____.解设t=sinx,则t∈[-1,1],原函数可化为g(t)=t+(2-t²)(1/2),t∈[-1,1],即原题等价于求g(t)的值域问题,下面从不同角度来研究此函数的值域.一、解法探究解法1平方再开方.     

2022年全国高中数学联赛数论题的解法

这篇文章虽是解题,但没有一般的形式化表述,而是从始至终阐述思维展开过程．作者想突出的从特殊到一般的思维方法讲述得非常清楚．最后作者还强调了其中的要点和难处,平实而又省人．     

2013年全国数学联赛湖北省预赛第12题

<正>~~     

2007年全国高中数学联赛湖北省预赛试题答案

1.C.原方程变形为lolgo3g(333x) lolgo3g(3327x)=-34,即1 l1og3x 1 l3og3x=-34.令1 log3x=t,则1t 3t=-43,解得t1=-1,t2=-3.所以1 log3x=-1或1 log3x=-3,所以方程的两根分别为91和811,故a b=8110.2.A.连PD,则DP=25BC,所以DP//BC,故∠ADP=∠B,故S△APDS△ABC=12AD.DP.sin∠ADP12A     

一道2019年高中数学联赛预赛题的探究

<正>一、题目呈现(2019年全国高中数学联赛江西省预赛第9题)设椭圆C的两焦点为F₁,F₂,两准线为l₁,l₂,过椭圆上的一点P,作平行于F₁F₂的直线,分别交l₁,l₂于M₁,M₂,直线M₁F₁与M₂F₂交于点Q.证明:P,F₁,Q,F₂四点共圆.二、证法探究证法1设椭圆方程为x²/a²+y₂/b²=1(a> b>0),据对称性知,点Q在y轴上(如图1).记P(x₀,     

2001年全国高中数学联赛加试第一题另解

题目如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF 交于点H,百线ED和AB交于点M,FD与AC交于点N.求证:(1)OB⊥DF,OC⊥DE;(2)OH⊥MN. 证明(1)如图建立坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,α)、(b,0)、(c,0). ∴ CF方程为y=b/α(x-c) ①     

一道2022年全国高中数学联赛平面几何题的证法研究

从代数运算与几何综合推理两个视角研究2022年全国高中数学联赛A卷平面几何试题的证法.     

2002年全国高中数学联赛山东赛区预赛题解

选择题(每小题6分,共60分) 1.设数列{an}是公比为2的等比数列,且a1·a2……a30=230,则a3·a6……a30等于 ( ) (A)210. (B)215. (C)216. (D)220. 解 令S1=a1·a4·a7……a28, S2=a2·a5·a8……a29, S3=a3·a6·a9……a30,     

一题多解抓本质 一题多变重创新——以2017年高考全国卷Ⅰ理科第10题为例

在高中数学教学中,教师要指导学生认真研究和钻研数学试题,有一题多解的意识,善于一题多变,掌握编题变题的技巧,认真归纳经典题型的解法,使多种解法归一为一体,形成通性通法,让多题归纳成一类形成一解,这样解题思路和思维就会互相联系、互相作用成为一个整体,加深对数学知识体系化和网络化,不断提炼解题编题技巧,提升学生的数学素养,增强学生解题思维的灵活性和编题技能的独创性.总之,一题多解、一题多变是一种能力,学生有联想的思维活动,真正形成发散思维和创新思维,提高学生解题能力和核心素养.     

全国高中数学联赛一例

20 0 2年全国高中数学联赛试题第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ　 (ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :(1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且ｆ(ｘ)≥ｘ ;(2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ (ｘ + 12 ) 2 ;(3)ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只要ｘ∈ [1,ｍ ] ,就有 ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .解　ｆ(ｘ -4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,∴　函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线ｘ =-1对称 ,∴　 -ｂ2ａ=-1,即ｂ =2ａ①令　ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2 ,则直线 ｙ =ｘ与抛物线 ｇ(ｘ) =(ｘ + 12 ) 2图 1相切于点Ａ(1,1) .又当ｘ∈…     

一道2023年全国高中数学联赛预赛试题的探究

先给出一道2023年全国高中数学联赛北京赛区预赛试题的解法,并对其进行变式拓展,探究这类三角函数最小值问题的命题策略,给出符合学生思维的常规解题方法.     

全国高中数学联赛一题的另证

<正>~~     

浅谈高中数学多题一解

在课改的背景下,在素质教育的引领下,减轻学生负担,增强学生能力成为教师在教学过程中必要的前挹多题一解,能很好地减轻学生负担,对于普通高中的学生学习数学起很关键的作用.所谓多题一解,主要指对不同类型的题,用同一种思维去解题.可能中间用的概念、公式或定理不一样,但是整个解题思维是一致的.这样的解题方法称为多题一解.     

2009年全国高中联赛一题的别解

2009年全国高中联赛一试压轴题为：求函数y=√x＋27＋13-x＋√x的最大和最小值。     

2002年全国高中数学联赛第15题的解法的探讨

20 0 2年全国高中数学联赛试第 15题 :设二次函数 ｆ(ｘ) =ａｘ2 +ｂｘ +ｃ(ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ≠ 0 )满足条件 :1)当ｘ∈Ｒ时 ,ｆ(ｘ - 4 ) =ｆ(2 -ｘ) ,且 ｆ(ｘ)≥ｘ ;2 )当ｘ∈ (0 ,2 )时 ,ｆ(ｘ)≤ ｘ +122 ;3) ｆ(ｘ)在Ｒ上的最小值为 0 .求最大的ｍ(ｍ >1) ,使得存在ｔ∈Ｒ ,只需ｘ∈[1,ｍ],就有ｆ(ｘ +ｔ)≤ｘ .该题将对二次函数性质和解一元二次不等式的考查相结合 ,题目涉及到两个参变量ｔ与ｍ的讨论 ,因而具有相当的难度 .从整体上来说 ,首先要确定函数 ｆ(ｘ)的表达式 ,然后才好进行ｔ与ｍ的讨论 .根据题设所给的条件 1) ,2 ) ,…