利用原函数关键点巧解函数与导数综合问题

<正>在高中数学中,利用关键点处的函数值常常能巧解函数与导数综合问题,常见的关键点有最值点和函数值较为特殊的点．利用关键点解题必须找到“关键点”,本文总结了两种方法:(1)最值点法:研究函数的单调性得到关键点,即最值点;(2)特殊点法:观察原函数解析式的特点猜想关键点．例如函数f(x)=e^x在x=0处有f(0)=1,函数f(x)=lnx在x=1处有f(1)=0等．例1 ^{2021年新高考·全国甲卷文科20题}设函数f(x)=a²x²+ax-3lnx+1,其中a>0.     

导数问题中指数类型函数的变形问题

<正>指数函数是高中阶段非常重要的一种函数类型,跟指数函数有关的不等式恒成立问题,方程有解问题都是常见题型.画图像时往往先求导找单调区间,当遇到形为y=e^x+f(x)的函数,其导函数是y=ex+f(x)的函数,其导函数是y=e^x+f′(x).求单调区间时候往往需要解超越不等式,那么可能需要二次求导甚     

巧用结论证明不等式

<正>在解决函数与不等式相结合的问题时,有时我们冥思苦想不得其解,但是一些常见结论的使用可以化繁为简,使得解题思路豁然开朗,下面就一个常见结论的应用与大家分享.我们知道函数f(x)=e^x在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,结合图像可知,切线在函数f(x)=ex在点(0,1)处的切线方程为y=x+1,结合图像可知,切线在函数f(x)=e^x的下     

利用公切线研究曲线的位置关系

<正>1问题发现近期本人在同学们的作业中发现了这样一个问题:判断函数f(x)=e^x-xx-x²的零点个数.该问题在同学们之中引起了广泛讨论,争议点就是当x>0时,函数f(x)是否存在零点.许多同学选择了对函数f(x)求两次导数的方法解决了上述问题,这不失为一种较为理想的方法,但我们的研究不能止步于此,有没有更好的可以解决该问题的方法呢?     

善于变换 妙于作答

<正>在数学解题中碰到困难时,若能改编策略,变换不同视角来进行解题处理,则可把"山穷水尽"问题变得"柳暗花明".现举例加以说明,供参考.1.变换位置例1(2012年课标全国卷12题改编)设点p在曲线y=1/2e^x上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,试求|PQ|的最小值.解答因为函数根据曲线y=1/2e^x与曲     

例析有零点函数的参数取值问题

<正>高考解答题中涉及参数的函数问题,主要考查函数的单调性、函数的零点、函数的极值(最值)、求参数取值,解题过程中往往用到分类讨论、数形结合、化归与转化等思想方法,处理这类问题,同学感到困难.本文结合2016年全国高考Ⅰ卷理科数学21题第一小问,探讨有零点函数中参数的取值问题基本思路.已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)x+a(x-1)²有两个零点,求a的取值范围.一、函数零点判定函数零点个数的判定     

从函数的零点研究引发对双函数零点的思考

<正>在初、高中数学中,函数具有举足轻重的作用,对函数的零点的研究就显得格外重要.一般地,对于函数y=f(x)(x∈R),我们把方程f(x)=0的实数根x叫作函数y=f(x)(x∈R)的零点.即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值.初中接触到的是一次函数、二次函数的零点,更难一点的是含参二次函数的零点的研究,涉及到的一类题型是已知二次函数的零点个数,求参数的取值范围.那么在高中阶段,接     

一道导数压轴题的解法探究与拓展

<正>题目已知函数f(x)=e^x+ax²,g(x)=x+blnx.若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线相交于点(0,1).(1)求a,b的值;(2)求函数g(x)的最小值;(3)证明:当x>0时,f(x)+xg(x)≥(e-1)x+1.这是本市期中考试的导数压轴题,第(3)问是一个函数不等式证明问题,难度较大.经过一番探究,笔者发现两种重构函数的简单解法,现整理成文,与大家分享.     

导数问题中证明函数不等式的常用策略

<正>导数问题中证明函数不等式,关键是构造好相应的辅助函数,利用导数研究其单调性、最值.基于此,如何构造出合理可行的辅助函数是解决这类问题的突破口,本文将通过实例谈谈构造的常用策略.策略一:移项构造例1已知函数f(x)=e^x-axx-ax²+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.     

巧用放缩法解答高考导数题

<正>导数综合题一般作为压轴题,题目往往以导数为工具讨论函数的单调性、求函数的极值和最值、解决函数主线下的数列、方程与不等式问题,由于其解法灵活,没有固定套路,因此突破难度较大.这类题中常常涉及到两个重要函数y=e^x和y=lnx,利用它们与x,xx和y=lnx,利用它们与x,x²,     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

数形结合变视角 合理分类定乾坤——2022年全国高考乙卷导数压轴题解法研究

<正>1试题呈现(2022年全国高考乙卷第21题)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe^-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围．本题第(1)问考查函数在某点处的切线问题,利用导数的几何意义就可以解决．第(2)问考查的是函数在两个区间上的零点问题,解决函数零点问题的一种方法就是通过研究函数的单调性观察图象与x轴交点的个数,另一种是通过分离参数后探究两个函数图象交点的个数．     

2020年全国Ⅰ卷文科数学函数题的探究

<正>1问题呈现(2020全国Ⅰ卷文科数学第20题)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.分析与解(1)当a=1时,f(x)=e^x-(x+2),∴f′(x)=ex-(x+2),∴f′(x)=e^x-1,令f′(x)=0,我们得到x=0,所以当x<0时,f′(x)<0;当x>0时,f′(x)>0;所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.     

函数与方程思想解决一元三次函数零点问题

<正>一元三次函数y=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)零点问题一直是高考考察的热点.同学们常用导数法解决一元三次函数零点问题,用函数与方程思想解决一元二次函数零点问题.可是我们知道这两者都是一元多项式函数中的特殊情况,那我们能不能采用函数与方程的思想来研究解决一元三次函数零点问题呢?     

选择函数图象的技巧

<正>从所给四个图象中选出符合已知函数的项,是高考试题中频频出现的一类问题.下面通过实例,列举解答过程需关注的点,供参考.例1 (2018全国卷Ⅱ(理)第3题)函数f(x)=(e^x-ex-e^(-x))/x(-x))/x²的图象大致为().解析∵f(x)=y_1/y_2为奇函数,排除(A).又x>0时,f(x)>0,排除(D).     

“导根反代”——隐零点法的精髓

<正>导数中的“隐零点”问题是指:当一个函数的零点存在但又无法求出的零点问题．“导根反代”是指:由于可导函数的极值点是其导数的零点,不求出导数零点的具体数值,而是用导数零点x0建立方程,得到关于x0的关系式,将关系式代入原函数f(x₀)中消去指数、对数或者参数,最终化为关于x₀的函数,最终根据x₀的范围求解具体问题．本文通过两个具体的例子来体会导数中的隐零点法精髓——“导根反代”．     

例谈特殊值法解决问题的可行性

<正>1问题背景在一类多元含参问题中,经常会出现一类直接求或间接转化为含参绝对值函数最大值的最小值题型.此类题的很重要的一类代数解法就是:利用必要条件,然后运用绝对值不等式进行放缩,从而得到最小值.但是同学们会发现不同的特殊取值,会导致结果不同,问题出在哪里呢?那我们就选取一个典型的案例,以明辨是非.     

函数零点的几种转化方法

<正>函数的零点是最近几年高考数学出题的热点,无论是选择题,填空题,解答题的压轴题出现这个知识点的频率都很高.较简单的类型零点可直接求出,零点问题变化较多,但寻求f(x)=g(x)的零点个数主要方法还是转化成两个函数y=f(x),y=g(x)的公共点个数,关键在于y=f(x),y=g(x)的函数图像在同一个直角坐标系中容易画出,有时需要进行变形整理.有些对称问题和纵坐标相等的问题都可以转化成函数交点问题来解决.一、零点个数转化成两个函数公共点个数     

例说零点问题的解法

<正>含参数零点问题是历年高考考查的热点,难点之一.下面就2018年我校的第一次月考试题给出一类含参零点问题的两种策略与三种解法.一、考题呈现已知函数f(x)=alnx+3/2x~2-(a+3)x恰有两个零点,则实数a的取值范围是().(A)(-3/2,+∞)(B)(-3,0)(C)(-3/2,0)(D)(-3/2,-1)试题分析本题以对数函数与二次函数为载体,用导数研究其单调性,极值,进而研究零点问题,考查学生的运算能力,逻辑推理能力,分析问题能力,体现了分类讨论,数形结合,函数与方程,转化与极限思想.     

函数零点的应用

函数的零点是函数的重要性质之一,它把函数、方程、不等式紧衔地联系在一起．函数y=f（x）的零点a既可以理解为使函数值等于零的自变量的值（即f（a）=0）,又可以理解为方程f（x）=0的根（解）,零点的几何意义是函数y=f（x）图像与x轴的公共点的横坐标．下面笔者针对变号零点的几个作用举例剖析．