“数”“形”和谐统一，问题巧妙破解——以2021年数学新高考Ⅱ卷第15题为例

<正>平面向量具有独特的“数”与“形”的“两面性”,既可以从“数”的因素加以抽象或运算,又可以从“形”的思维加以设置或切入,一直是高考数学的常见题型之一,常考常新,创新新颖,变化多端.实际破解此类问题时,要全面提高用“数”、解“数”思维,拓展识“形（图）”、用“形（图）”能力,充分强化与实现代数运算、直观想象等核心素养在平面向量及其他相关问题中的巧妙应用.     

创新设计，巧妙破解，探究拓展——2021年高考数学上海卷第11题的探究

<正>直线与抛物线的位置关系问题,一直是高考数学试卷中的一类常见考点,设置巧妙,形式各样,变化多端.2021年高考数学上海卷第11题就是以抛物线为问题背景,通过直线与抛物线的位置关系所产生的具体三角形的三边长,创新设置问题,新颖别致,是一道令人眼前一亮的创新题,值得好好研究、挖掘.1 真题呈现高考真题 (2021年高考数学上海卷第11题)已知抛物线C:y²=2px(p>0),若第一象限内的点A,B在抛物线C上,焦点为F,     

多思维策略，妙方法破解——对2021年数学新高考Ⅰ卷第6题的探究

<正>三角函数式的化简与求值一直是历年高考数学试卷中的一个基本考点,或单独设置问题考查,或交汇融合其他知识辅助考查,或作为基本过程合理过渡,常考常新,变化多端,形式各样;而且由于三角函数中公式众多,切入点多维,破解方法多样,对逻辑推理与代数运算的能力与素养要求比较高,是考查考生综合能力和核心素养的良好载体.     

对2023年高考数学天津卷第15题的解法探究与背景思考

<正>2023年高考数学天津卷的第15题被誉为“最难小题”和“最美小题”,说其“难”主要是指此题如果用分类讨论的方法,则解题难度较大;说其“美”是因为其设计精巧,去绝对值时无论正负函数式都可以因式分解,非常具有美感．以下是对这道题的解法探究与命题背景思考,让我们一起来看．1原题呈现若函数f(x)=ax²-2x-|x²-ax+1|有且仅有两个不同的零点,则实数a的取值范围是________．     

多方法破解，多规律总结，多变式拓展——对2021年数学新高考Ⅰ卷第5题的探究

<正>1真题呈现高考真题^{2021年高考数学新高考Ⅰ卷第5题}已知F₁,F₂是椭圆C:■的两个焦点,点M在C上,则|MF₁|·|MF₂|的最大值为()．A.13 B.12 C.9 D.6该题题目简洁明了,通过椭圆标准方程的给出,进而确定椭圆两焦半径积的最大值．题目难度不大,破解思维方式多样．破解最直接有效的办法就是应用基本不等式;而采用两点间距离公式或焦半径公式也是不错的方法,结合函数思维来确定最值;     

2022年高考数学浙江卷第16题的探究

离心率是圆锥曲线的一个非常特殊的几何性质,同时又能融合其他数学相关知识很好地考查学生思维与能力.结合一道高考真题实例,从解析几何与平面几何这两个最常见的思维视角切入,深入探究有关圆锥曲线的离心率问题,并总结出破解技巧与方法应用.     

对2019年高考北京卷理科数学第18题的探究

<正>课标倡导数学探究性课题学习:引导学生围绕某个数学问题,自主探究,提出有意义的数学问题,探求适当的数学结论或规律.这里结合一道高考题,加以说明.题(2019年北京卷第18题)已知抛物线C:x²=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率     

一道考查学生数学核心素养的好试题——2021年高考乙卷理数第11题的多角度探究

好的试题来之不易,它需要命题老师立足教材,高于教材,精心命制而成.2021年高考数学乙卷第11题是一个典型例子,笔者从不同角度,开拓思路,分析解答,充分挖掘高考题教学指导功能,再现命题的能力立意,并给出几点启示,以期提高教学实效性.     

巧妙设参，探究拓展——以2022年高考数学新高考Ⅱ卷第16题为例

<正>1真题呈现高考真2题2(2022年高考数学新高考Ⅱ卷·16)已知椭圆■,直线l与椭圆在第一象限交于A,B两点,与x轴、y轴分别交于M,N两点,且■,则直线l的方程为___．此题以椭圆为问题背景,结合直线与椭圆位置关系的设置,综合线段的长度以及长度关系,唯一确定相应的直线方程．     

2021年新高考Ⅰ卷第21题解法及题源背景探究

<正>2021年新高考Ⅰ卷第21题,主要考查求曲线标准方程、根基公式及利用圆锥曲线相关结论求解斜率之和问题的方法,综合检测同学们的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、转化与化归能力．1试题分析试题(2021年新高考Ⅰ卷第21题)在平面直角坐标系xOy中,     

2023年新高考数学Ⅱ卷第21题的探究

<正>1试题呈现(2023年新高考Ⅱ卷第21题)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为■,离心率为■(1)求C的方程;(2)记C的左、右顶点分别为A₁、A₂,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M、N两点,M在第二象限,直线MA₁与直线NA₂交于点P,证明:点P在定直线上．     

2021年全国高考数学甲卷理科第21题的解法及变式探究

从不同角度、不同方位审视了分析2021年高考数学全国甲卷理科第21题,沿着不同的思考方向,寻求该题的多种解法;并就该题进行变式探究,意在通过多题一解,抓住问题的本质.在数学解题教学中,教师应该重视一题多解和多题一解的相互结合与灵活运用.     

对2004年浙江高考数学卷理科第12题的逆向探究

2004年浙江省高考理工类第12题: 若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数,且方程x-f[g(x)]=0有实数解,则g[f(x)]不可能是(B).     

代数思维运算，几何思维直观——2023年高考数学新高考Ⅰ卷第17题探究

解三角形问题融合了初中平面几何与高中三角函数等知识,是数学知识交汇的一个重要桥梁,成为高考数学试卷中的一个重要主干知识点.结合一道高考真题进行实例分析,从不同思维视角切入,总结解题规律,启示教学学习,指导数学教学与学习.     

多解思维，多层拓展，多向归纳——以2021年高考数学新高考Ⅰ卷第15题为例

<正>函数的最值问题,一直是高考中比较常见的一类题型,背景新颖,创新多变.此类问题可以选择题或填空题的形式出现,也可融入解答题中,形式多样.既可以基本初等函数的组合形式来设置,也可与其他数学知识的交汇与融合来设置,变化多端.具体破解时,思维多样,方法多变,可以很好地考查学生的数学知识、数学思想方法和数学能力等,充分体现高考的选拔性与区分度.     

2021年高考数学全国乙卷(理)第4题的探究

结合一道高考抽象函数奇偶性的判断问题,通过多思维视角的切入,进行多种方法的求解,合理拓展,总结破解策略与规律,最后给出了教学启示.     

2021年全国新高考Ⅰ卷第19题赏析

<正>(2021年全国新高考Ⅰ卷第19题)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b²=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b2=ac,点D在边AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)求证:BD=b;(2)若AD=2DC,求cos∠ABC.试题中(1)的证明较为简单,过程如下:如图1,在△ABC中,由正弦定理可得b sin∠ABC=c sinC.与BDsin∠ABC=asinC相乘得BD·b=ac=b²?BD=b.     

对2015年北京高考数学第19题的探究

<正>题目(2015年高考数学北京卷(理科)19)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为22=1(a>b>0)的离心率为2^(1/2)/2,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(Ⅰ)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(Ⅱ)设O为原点,点B与点A关于x轴     

追根溯源 推广探究——以2021年数学新高考Ⅰ卷第21题为例

<正>教材与考试大纲是历年高考命题最直接、最基本的基石,尤其数学教材一直是高考命题的主要依据.借助数学教材中的一些例(习)题,或融合数学知识,或挖掘问题背景,或提炼思想方法,或优化解题策略,或倡导综合应用,或拓展探究提升等,形式各样,变化多端.高考命题植于教材情理之中,源于教材意料之外,高于教材能力之上.1 真题呈现高考真题 (2021年数学新高考Ⅰ卷第21题)在平面直角坐标系xOy中,已知点,点M满足|MF1|-|MF2|=2.     

对2010年江苏高考数学卷第13题的思考

2010年江苏高考数学卷的第13题的题目是： 在锐角ΔABC中,角A,B,C的对边分别为 a,b,c若b/a＋a/b=6cosC,则tanC/tanA＋tanC/tanB的值是___.