一道竞赛题的多种解法及思考

2003年山东省初中数学竞赛有这样一题: 如图,将左边正方形剪成四块,恰能拼成右边的矩形,设a=1,则这个正方形的面积为( ).     

浅谈“网格“背景下知识与能力的整合

网格型试题较好地把数学知识与多种能力有效整合,符合新课程标准的要求,因而备受关注.现以2005年中考试题为例进行分类分析.一、网格中线段、角度的隐含性例1(浙江省台州市)如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC=°,BC=;(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.【分析】:正方形网格中,有两个显著的特点:①任何格点间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线,所以格点间的任何线段长度都能求得;②利用正方形的性质,一些特殊的角度45°、90°、135°一目了然.本题判断两三角…     

移动魔方

准备材料 正方形折纸、彩笔、尺子、铅笔. 第一步 拿出正方形折纸,用尺子将其均匀地分成25个正方形格子,并用铅笔画线标记. 第二步 将正方形折纸沿横线向下折叠4次后展开. 从左往右数,第一排第二个小正方形沿对角线向右下方对折后展开;第三个小正方形沿对角线分别向左下方和右下方各对折1次并展开;第五个小正方形沿对角线向右下...     

漫画趣题

第一题 大正力形的4个角卜已填入4十数,4个数之和是2的。奇妙的是;把这十凶倒过来看,和仍然是2 6464O请你在中问的。卜正方形的4个角的圆圈臣,填人4个数,使每条对角线卜的4十数之和正看和倒看都是264,而且小正形角卜的4十数之和正看和倒看也都是264。 第二题 有一个边卜为3JM米的正方形Oiff你将它剪成几十正方形,使得所有正方形的边长之和等于28厘米,你能在1分钟内完成吗?漫画趣题参考答案第一题 由于可以倒过来看的数字只有卫、6、8、9四个,因此只能在由这四个数字组成的两位数中挑选.厂0﹂X第二题 分法见右图.由于【——一一】虚…     

四阶幻方的几个有趣性质

<正>在一个4×4的正方形网格图中,将1¹6填入其中,使它的每一行、每一列及对角线上的四个数之和都相等(均为34),这样就构成一个四阶幻方(如图1),四阶幻方除了具有上述性质之外,它还具有如下有趣性质:1.其中任意一个2×2的小正方形网格图中,其四个数之和都是34,例如图216填入其中,使它的每一行、每一列及对角线上的四个数之和都相等(均为34),这样就构成一个四阶幻方(如图1),四阶幻方除了具有上述性质之外,它还具有如下有趣性质:1.其中任意一个2×2的小正方形网格图中,其四个数之和都是34,例如图2⁵:     

由一道中考模拟题引起的思考

背景在直线l上摆放着三个正方形.(1)如图1,已知水平放置的两个正方形的边长依次是a,b.斜着放置的正方形的面积S=____,两个直角三角形的面积和为____;(均用a,b表示)(2)如图2,小正方形的面积S1=1,斜着放置的正方形的面积S=4,求图中两个钝角三角形的面积m1和m2,并给出图中四个三角形的面积关系;     

也谈“趣分正方形”

<正>贵刊在2015年3月下的智慧窗,刊登了王秉春老师的文章"趣分正方形":如图1,是一个8×8的正方形,请你从该图中去掉一个小正方形,将剩下的63个小正方形分成21个1×3的长方形.文中虽只有一个答案,但非常精彩,并很有启发.现进一步地探讨:在图1的64个小正方形中去掉了怎样的一个小正方形才符合题意,总共有几种去法?试一一列举.并阐明理由.为此,借贵刊一角,介绍出来,与     

挖掘潜在信息 释放图形内涵

思维始发于入微的观察,升华于丰富的联想．今诠释几例图形问题,以供大家探究．一、拼图型问题例1(第四届“希望杯”全国数邀赛)如图1,十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x、y、z)．试求满足上述条件的矩形面积的最小值．     

n阶奇异矩形的分类与性质

<正>1.引言近几年来,各地中考和比赛[1,2]中出现了关于下面n阶奇异矩形的试题,旨在考查学生的归纳推理能力.一张矩形纸片,剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第一次操作;在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形,剩下一个矩形,称为第二次操作;…;若在第n次操作后,剩下的矩形为正方形,则称原矩形为n阶奇异矩形.如图1,矩形ABCD中,若AB=2,BC=6,则称矩形ABCD为2阶奇异矩形.     

追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

一、试题呈现题目(2011年北京市初二数学竞赛试题)如图1,边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动,始终保持EF∥AB.线段CF的中点为M,DH的中点为N,则线段MN的长为().1017A.17B.C.210D.2233二、分析与解法本题以学生熟悉的正方形为基本图形,主要考查梯形中位线的性质、三角形中位线的性质、正方形的性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识,是一道综合性较强的试题.正方形EFGH在正方形ABCD所在的平面上移动,它的位置不确定,这也增加了试题的难度.笔者通过     

正方形有关类推操作问题

<正>正方形有关的类推操作问题在近年来中考中屡见不鲜.这种问题以某一个图形为背景,按相同的操作方式分别进行正方形的构造或放置,要求我们解答所得到的第n个正方形有关量的值问题.解答时,要注意先依次计算前几个正方形对应量的值,再仔细观察、比较,将隐含在其中的规律找出来.现举例介绍如下:     

赏析格点作图试题 感受不一样的新意

以中考真题为例,赏析近年来出现的正方形网格作图试题,感受试题形式和内涵,思考这些试题的切入途径.     

眼见不一定为实——图解数学“骗局”

<正>在数学学习中你是否会被一些不可思议的情景所折服,明明觉得不可能,可是又不知道哪里不对.其实这些都是数学"骗局",下面我们一起去揭开几个"骗局"的面纱.骗局1:失踪的正方形现有4个几何图形甲、乙、丙、丁,其中图形甲和图形乙是直角三角形(四个几何图形如图1所示).请动手操作一下,先将这4个图形     

新题型、新创意——简评2002年全国高考数学（21）题

自从 1 995年全国高考增添了大应用题以来 ,应用题的考查大多在函数、不等式、数列等章节里做文章 ,今年高考应用题 ( 2 1 )跳出了这个框框 ,考了个跟平面几何、立体几何有关的剪拼图问题 ,与高中数学课程研究性学习直接挂钩 ,给人以耳目一新的感觉 .首先试题的背景材料熟悉公平 .剪拼图 ,在小学幼儿园就玩过 ;背景源于新教材《数学》第一册 (上 ) 2 .9练习 2 (类同《代数》(下册必修 ) 6 .1 1的例 5)“有一块边长为ａ的正方形铁皮 ,将其四个角各截去一个边长为ｘ的小正方形 ,然后折成一个无盖的盒子… ,”新教材《数学》第二册 (下 )习题 9…     

聚焦网格作图

<正>所谓网格作图,就是仅利用无刻度直尺,根据正方形网格的性质,利用格点来作图,其难点在于找到符合条件的格点,下面举例说明其方法.1确定三角形顶点例1如图1G1,在8×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上.在图中找一点E (点E在小正方形的顶点上),使tan∠AEB=2(AE 相似文献   

两个正方形演绎的中考试题及其变式

<正>一、两个正方形演绎的中考试题例1(2013年黑龙江齐齐哈尔市)在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:1BG=CE;2BG⊥CE3AM是△AEG的中线;4∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是().(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个解析(1)如图1,因为四边形ABDE和ACFG都是正方形,∴AE=AB,AC=AG,∠BAE=∠CAG.∴∠BAE+     

勾股定理及其应用(上)

<正>2001年3月10日由中央电视台播出的"第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛"初赛第一道试题是:"2002年将在北京召开国际数学家大会,如图1所示,这是大会的会标图案,它由四个相同的直角三角形拼成.已知直角边的长为2和3,求大正方形的面积."     

正方体及其展开图

我们知道 ,正方体共有六个面、十二条棱、八个顶点 .我们可以沿着其中若干条棱将正方体剪开后展开成平面 ,成为六个不同位置的正方形 ,它们中每一个正方形至少与另一个正方形有一条公共边 (不允许只有一个公共顶点的情形出现 ) ;反过来说 ,展开图上六个边与边相连的相同小正方形 ,我们也可以沿着其中若干条边折叠 ,使其成为正方体如图 ( 1 ) .在正方体中上与下 ,左与右 ,前与后都是相对的面 ,上与左 ,右与后等是相邻的面 .( 1 )我们首先研究平面上六个不同位置的正方形何时才能折叠成正方体 .通过观察图 ( 1 ) ,显然的事实是 :1 排在同一条…     

中考复习例说无刻度尺作图

<正>在近几年的中考数学试题中出现一些无刻度尺作图的试题,这些题目为作图题赋予新的活力,我们在复习中关注了这个问题,把它整理成一个专题,供同行参考.一、格点中的作图题例1(2014年天津市)如图1,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.     

加法原理与乘法原理的应用举例

加法原理与乘法原理是解决中学排列、组合问题的关键的两个原理。一般举例甚浅,给人形成一种可有可无的印象,看不到方法的强有力性,作为教科书的补充,今举二例: 例1、在n×n个小方格上,求由若干个小方格刚好拼成正方形的个数。解;设一个小方格的边长为1,完成拼成正方形这件事,有n类办法: 拼成边长为1的正方形,有n~2个; 拼成边长为2的正方形,有(n-1)~2个; 拼成边长为3的正方形,有(n-2)~2个; ……拼成边长为(n-1)的正方形,有2~2个; 拼成边长为n的正方形,有1~2个; 故依加法原理知,刚好能够拼成的正方形共有