对一道浙江高考调测题的解法探究及推广

试题:如图1,椭圆C:x²+3y²=3b²（b>0）.（I）求椭圆C的离心率;（Ⅱ）若b=1,A,B是椭圆C上两点,且|AB|=3^1/2,求△AOB面积的最大值.解法一:（I）由x²+3y²=3b²得x²/（3b²）+y²/b²,所以e=c/a=(（3b²-b²）^1/2)/(（3b²）^1/2)（Ⅱ）设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂）,△ABO的面积为S.如果AB⊥x轴,由对称性不妨记A的坐标为(3^1/2/2,3^1/2/2),此时S=1/2·3^1/2/2·3^1/2=3/4;如果AB不垂直于x轴,设直线AB的方程为y=kx     

椭圆焦点三角形“五心”轨迹探究

<正>设F₁,F₂为椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上(异于左右顶点),通常把△PF₁F₂称为椭圆的焦点三角形.三角形的"五心"(内心、外心、重心、垂心、旁心)具有相似的来源背景,丰富的几何性质,统一的向量表示.当它们和圆锥曲线的焦点三角形结合时,则会产生优美的轨迹问题.题1已知F₁,F₂为椭圆c:x²/4+y²/3=1的左、     

由四个解析几何命题引发的猜想及其证明

笔者在文[1]和文[2]中得到了4个命题:命题1如图1,点F₁,F₂分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点,线段AB是过F₁的椭圆的一条弦.     

一个简单不等式的发现与初步应用

<正>一、问题提出本文源于如下两道试题:题1已知椭圆C:x²/25+y²/9=1,直线l:4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点,它到直线l的距离最小?最小距离是多少?^[1]题2在双曲线C:x²/25-y²/9=1上求一点M,使     

例谈解析几何中的形异质同问题

<正>在解析几何中,我们经常会遇到一些形异质同问题,这些问题所描述的情景和所要解决的问题虽各有不同,但它们的本质却相同.解题时若能抓住这一本质,便可实现快速解题.例1如图1,已知离心率为3^(1/2)/2的椭圆C:x(1/2)/2的椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)     

相似椭圆的性质再探

由文[1]的定义,我们把椭圆E1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)和E2:x2/a2+y2/b2=λ(λ>0,λ≠1)称为相似椭圆(可以证明:两相似椭圆有相同的离心率),文[2],[3],[4]给出了相似椭圆的一些性质,本文再给出相似椭圆的若干性质.     

“母子”椭圆和双曲线及其一个有趣性质

<正>椭圆（x²/c²）+（y²/b²）=1(a>c>6>0,c=（a²-b²）^1/2内含于椭圆（x²/a²）+（y²/b²）=1（a>b>0）,双曲线（x²/c²） -（y²/b²）=1(a>0,b>0,c=（a⁺b²）^1/2内含于双曲线（x²/a²）-（y²/b²）=1（n>0,b>0）.所以,我们不妨把     

椭圆中“焦点四边形”的一组性质

<正>1.定义已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F₁(-c,0),F₂(c,0),点A(m,0)是x轴上异于焦点和顶点的定点,过点A的直线l(不是x轴)交椭圆于P,Q两点,称以F₁,F₂,P,Q为顶点的四边形为相对于点A的"焦点四边形".椭圆"焦点四边形"的三种类型如图1～图3.     

2012年高考安徽卷理科第20题的探究与推广

题目:如图1,F₁（-c,0）,F₂（c,0）分别是椭圆C:（x²）/（a²）+（y²）/（b²）=1（a>b>0）的左、右焦点,过点F₁作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点P,过点F₂作直线PF₂的垂线交直线x=（a²）/c于点Q;（Ⅱ）证明:直线PQ与椭圆C只有一个交点.分析:此题第（Ⅱ）问结构简洁,内涵深刻,由     

焦点三角形角平分线一个性质的几何证法

<正>本文就《数学通讯》2019年第4期(下半月)刘才华先生给出的"椭圆与双曲线焦点三角形角平分线的一个性质"提供一种几何证法.性质1如图1,已知椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)中,F₁(-c,0),F₂(c,0)为其左右焦点,P是椭圆     

相似椭圆的一组性质

文[1]，文[2]介绍和研究了相似曲线的概念和判定方法,由文[2]得椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=1相似（相似比为λ），本文将给出有关椭圆x^2/α^2＋y^2/b^2=λ^2（0〈λ〈1）与x^2/α^2＋y^2/b^2=1的一组性质。     

我为高考设计题目

<正>题390已知椭圆E:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F₁、F₂,P(1,3/2)是椭圆E上一点,且|PF₁|+|PF₂|=4.(1)求椭圆E的方程;(2)设四边形ABCD是椭圆E的内接四边形,直线AB与CD的倾斜角互补,且交于点M(3,0).(i)证明:直线AC与BD交于定点N.     

关于反平均数的2个上界

对于整数k,θ≥3,β≥1,称k个元素集合S为（k;β,θ）⁰自由集,如果S的最小元素为0且它没有互不相同的元素a_ij∈S(1≤j≤θ使得∑_j=1^θ-1a_ij=βa_iθ成立,S的最大元素记为max（S）.反平均数定义为λ（k;β,θ）=min{max（S）:S是（k;β,θ）⁰自由集}.给出反平均数λ（k;β,θ）的2个界.     

一道错题的剖析与再变

1错题由来题已知Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,则S_△ABC=_<sub><sub><sub>.学生的解法:解法1（标准答案）:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y,则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,故S_△ABC-1/4[（x+y）²-（x²+y²）]=1/4[(4 3^1/2)²-16=8.解法2:因为Rt△ABC的周长是4+4 3^1/2,斜边上的中线长是2,所以斜边长为4,设两个直角边的长为x、y则x+y=4 3^1/2,x²+y²=16,消去y得x²-4 3^1/2x     

椭圆小辅助圆的若干性质

把以椭圆短轴为直径的圆x²+y²=b²称为椭圆C:(x²/a²)+(y²/b²)=1 (a> b> 0)的小辅助圆,本文介绍椭圆C的小辅助圆x²+y²=b²的几条性质.     

椭圆中的最值问题

<正>最值问题是解析几何中的一类常考问题,具有综合性强、思维量大等特点,经常作为压轴题出现.下面以椭圆为例,谈一下破解策略,供大家参考.策略一、借助二次函数的性质例1已知点P(x,y)在椭圆x²/8+y2/8+y²/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|2/4=1上,点B(0,1),求|PB|的最大值.解因为|PB|²=x2=x²+(y-1)2+(y-1)²,且x2,且x²=     

一道解析几何试题的多视角探析

<正>已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1(a>b>0)的离心率为32=1(a>b>0)的离心率为3^(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x(1/2)/2,一个顶点在抛物线:x²=4y的准线上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设O为坐标原点,M,N为椭圆上的两个不同的动点,直线OM,ON的斜率分别为k1和k2,当k1k2=-1/4时,探讨△MON的面积是否为定值,若为定值,求出该定值.若不为定值,说明理由.     

三个共轴等离心率椭圆的有趣性质

我们知道,椭圆x2/a2+y2/b2=λ1（λ1>0）与椭圆x2/a2+y2/b2=λ2（λ2>0,λ2≠λ1）有相同的对称轴（x轴和y轴）和相等的离心率e=（（2a-b2）/a）^1/2,下面我们给出关联三个共轴等离心率椭圆的两个有趣性质.定理1给定两个共轴等离心率椭圆C1:     

一道2019年高中数学联赛预赛题的探究

<正>一、题目呈现(2019年全国高中数学联赛江西省预赛第9题)设椭圆C的两焦点为F₁,F₂,两准线为l₁,l₂,过椭圆上的一点P,作平行于F₁F₂的直线,分别交l₁,l₂于M₁,M₂,直线M₁F₁与M₂F₂交于点Q.证明:P,F₁,Q,F₂四点共圆.二、证法探究证法1设椭圆方程为x²/a²+y₂/b²=1(a> b>0),据对称性知,点Q在y轴上(如图1).记P(x₀,     

Hα∞到Hβ∞复合算子的线性组合

设B是N维复空间C^N中的开单位球,φ_i为B上的解析自映射,H_α^∞表示定义在单位球上的加权解析函数空间.本文主要研究的是从空间H_α^∞到H_β^∞上的复合算子线性组合■的紧致性,其中λ_i(i=1,2,…,M)是非零常数.另外,根据紧致性等价条件,得出算子差分对(C_φ1-C_φ2)-(C_φ3-C_φ1)是紧致的当且仅当C_φ1-C_φ2与C_φ3-C_φ1都是紧致的算子.