基于第二类椭圆积分的椭圆弧长公式变换与应用

以第二类椭圆积分为理论基础,通过推导,将椭圆弧长公式变换为以椭圆离心角、极角等常用角度参数为自变量的第二类椭圆积分的标准形式,建立起椭圆弧长公式与第二类椭圆积分标准形式之间的关系,并分析了椭圆上的弧微分变化规律及椭圆周长与离心率的变化关系.公式反映了椭圆弧长的本质问题即为第二类椭圆积分问题.因此,各类涉及椭圆弧长计算的应用问题,均可化为第二类椭圆的计算问题,应用时直接调用各类编程软件的函数库中的第二类椭圆积分函数,无需复杂编程即可实现椭圆弧长的高精度计算.文章以GPS采用的WGS-84椭球子午线弧长为例进行计算分析,验证了给出的公式及相关分析的正确性及应用价值.     

关于椭圆性质的几点注记

以椭圆为研究对象,利用积分几何理论求出了椭圆的周长公式,利用微分几何理论求出椭圆的切线方程并证明了椭圆的凸性,最后利用射影几何理论,研究了椭圆的一些度量性质.     

椭圆一类内接多边形的一个有趣共性

文[1]证明了椭圆的内接三角形、以椭圆长轴为一底边的椭圆内接梯形及以椭圆短轴为一底边的椭圆内接梯形,其面积有相同的最大值．笔者最近也对椭圆内接多边形进行了研究,在这对文[1]进行推广．     

椭圆焦半径的性质及应用

设F为椭圆的一个焦点,M是椭圆上任一点,我们把线段MF叫椭圆的焦半径,下面给出椭圆焦半径的性质,并举例说明性质的应用．     

“椭圆光学性质”的古今三种证明方法及思考

1椭圆光学性质简介椭圆光学性质是指:由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.其等价形式有:椭圆上任意点的切线与两焦半径所成夹角相同.椭圆的光学性质在生产与科技方面有着广泛应用,如电影放映机的聚光灯泡(如图1),以及光能的换位聚焦等就是利用椭圆的这一性质.     

同一法证明圆锥曲线光学性质及应用举例

1 圆锥曲线的光学性质 1.1 椭圆的光学性质:从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上(如图1.1)     

平行四边形的内切椭圆

类似于多边形的内切圆,可以如下定义多边形的内切椭圆：与一个多边形的各边都相切且位于该多边形内部的椭圆称为该多边形的内切椭圆．文[1]、[2]利用仿射变换对三角形的内切椭圆的存在性和性质进行了深入的研究,那么四边形的内切椭圆是否存在？特别地,文[3]利用仿射变换,将椭圆变换为圆,给出了平行四边形内切椭圆的一种几何作法（问题43）．笔者尝试用初等方法研究平行四边形的内切椭圆的一些简单几何性质和作图问题．     

同一法证明圆锥曲线光学性质及应用举例北大核心

1圆锥曲线的光学性质 1．1椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光,经过椭圆反射后,反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上（如图1．1）     

一类多边形的几何特征

本文约定:满足1a2 1b2=1的椭圆(长半轴长a,短半轴长b)称为标准椭圆;以椭圆的中心为圆心的圆称为椭圆的同心圆,其中半径为1的椭圆的同心圆称为椭圆的同心单位圆.文[1],[2]证明了与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切的三角形不存在.本文确定与标准椭圆内接,且与其同心单位圆外切     

例析椭圆问题的圆处理

<正>在椭圆方程中,令a=b=r,则椭圆方程变为圆方程;在椭圆面积公式S=πab中,令a=b =r,则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆,它们有很多相     

探求椭圆的近似画法

已知长轴和短轴画椭圆有各种不同的画法。在制图中,借助于以长轴和短轴为直径的两个辅助圆可以得到椭圆上的点;在解析几何中,按椭圆的定义亦可作出椭圆上的点。然后用平滑的曲线把这些点连接起来而得到整个椭圆。当然,找的点愈密,所得到的椭圆就愈精确,显然,这样画椭圆是比较麻烦的。在实际问题中,常常希望找椭圆的简便画法。现     

“三焦点”广义椭圆曲线及其传导特性

提出了三焦点广义椭圆的概念,给出了三焦点广义椭圆的画法及其轨迹方程,建立了三焦点广义椭圆的重心M到三焦点广义椭圆轨迹曲线上动点P的距离d的数学模型,研究了三焦点广义椭圆构件对力与速度的传动特性及其在工业上的应用.     

数学问题解答

766.设A、B是椭圆的任一对共轭直径与椭圆的两交点,D是椭圆过A、B的两切线交点,O为椭圆中心,OD交椭圆于C。试证:OD与OC成定比。 证 如图:不妨令椭圆方程为b~2x~2+a~2y~2     

椭圆弧长的级数表达式及其近似计算

导出了以椭圆参数方程离心角为变量的椭圆弧长级数表达式,可以计算任意离心角对应的椭圆弧长;在级数表达式基础上归纳了椭圆弧长近似计算公式,为解决实际应用问题提供了方便.     

椭圆的伴随圆系及其性质

1 椭圆的伴随圆的含义 所谓椭圆的伴随圆是指与椭圆有关的圆,如椭圆的内切圆是常见的一种伴随圆,文[1]中对抛物线的伴随圆系及其性质进行了研究,本文进一步对椭圆的伴随圆系性质进行探究.并且归纳出椭圆离心率的又一几何意义.     

Steiner椭圆、老封点及两组公式的证明

1826年,近代综合几何创建人之一、瑞士几何大师Jacob Steiner（1796—1863）提出了两个有趣的问题：（1）在△ABC的无数个外接椭圆中,哪一个的面积最小？（2）在△ABC的无数个内切椭圆中,哪一个的面积最大？△ABC的面积最小的外接椭圆,叫做它的外接Steiner椭圆;△ABC的面积最大的内切椭圆,叫做它的内切Steiner椭圆.     

深入钻研椭圆

椭圆是圆锥曲线中最重要的内容,也是高考命题的热点.纵观近年来有关椭圆的高考试题,我们认为学习中应当在定义、标准方程以及几何性质等几个方面,多下功夫,打好基础.一、活用定义椭圆的定义是椭圆最本质     

椭圆积分的计算及其应用

椭圆积分的概念、椭圆积分表的编造以及通过实例说明椭圆积分的重要性.     

椭圆积分及其应用

介绍椭圆积分的概念和椭圆积分表的编造原理,通过实例说明椭圆积分在几何学、代数学、力学等方面的应用.     

由三角形投影问题再探椭圆面积

椭圆面积公式S=πab,其中π为圆周率,a、b分别是椭圆半短轴、半长轴的长.关于椭圆面积公式的证法有多种,文献[1]利用仿射变换与仿射不变量推导出椭圆面积公式,文献[2]通过对单位正方形的拉伸(压缩)变换前后面积关系的讨论,给出了椭圆面积公式的又一证法.文献[3]利用初等数学的方法,推导出椭圆面积的计算公式.本文利用投影和定积分知识相结合的方法,给出了任意曲边形面积公式,进而给出椭圆面积公式的一种新的证法.