在三角函数基本性貭的教学中貫彻“少而精”原則的几点体会

“三角函数的基本性质”是指现行高级中学三角课本(1958年第二版)第一章“0°到360°的角的三角函数”和第三章“任意角的三角函数”中的主要内容,这是整个三角课的基础部分。现将笔者在教这部分教材时,贯彻少而精原则以提高教学质量的几点粗浅体会写在下面,请同志们指正。就研究的基础而言,三角函数的定义贯串着全都教材;就研究的工具而言,三角函数的线段表示法贯串着全部教材;就研究的对象而言,三角函数的基本性质贯串     

三角函数诱导公式

1 教材分析1.1 教材的地位与作用本节课教学内容“诱导公式(二)、(三)”是人教版《高中代数》上册第二章§2.6节内容.它既是学生已学习过的三角函数定义、诱导公式(一)等知识的延续和拓展,又是推导诱导公式(四)、(五)的理论依据.是本章“任意角的三角函数”一节及全章中起着承上启下作用的重要纽带.求三角函数值是三角函数中的重要内容.诱导公式是求三角函数值的基本方法.诱导公式的重要作用是把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～90°角的三角函数值问题.诱导公式的推导过程,体现了数学的数形结合和归纳转化思想方法,反映了从特殊到…     

谈谈“三角函数”的教学

统编高中《数学》第一册第二章是三角函数。由于在这章之前,学生已学过0°—180°三角函数;集合与对应;一些初等函数及其性质,这样三角函数这一章就带来一些新的特点。本文想就这一章的前四节,谈点个人的看法。 一、角的概念的推广 除按传统的教学以外,我想补充下面两点: 1.关于课本p60—61两个例的教学 例1,在0°到360°的范畴内,找出与下列各角终边相同的角,并判定各是哪个象限的角。 (1) -120°;(2) 640°;(3) -950。12′     

“三角函数周期性”教学中的几个問題

本文对“三角函数周期性”这一节教材在实际意义上,在研究問題方法上,在教学思想方法上,在对教材处理上作一番探討。因限于作者的水平,錯誤难免,希望得到同志們的批評和指正。問題的提出为什么要对“三角函数周期性”这一节教材进行教学上的探討呢?我現在陈述如下: 第一,我們在0°—360°的三角函数的基础上,根据函数的一般概念,定义了任意角α的六种对应关系,并且专門給了这些对应关系的命名,它們分別称为任意角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割函数,統称为三角函数。这种定义任意角α的六种对应关系的科学性乃是由科学的欧几里得几何和严格的实数理論給予保証。     

巧构直角三角形

直角三角形是三角形家族中的“骄子” ,是解题的“利器” ,特别是在解三角形函数时 ,若能适时改变视角 ,恰当地构造直角三角形 ,则不仅可以使解答过程简捷直观 ,而且有助于学生创新思维能力的培养 .一形象记忆特殊角的三角函数值0°、3 0°、45°、6 0°、90°的三角函数值在解题时常常要用到 ,可是我们却苦于记忆 .为减轻同学们的记忆负担 ,可借助于图形的直观、形象 .如 :可构造直角三角形如图 1 ,图 2所示 ,然后根据三角函数定义直接得出 .图 1图 2二巧求某些特殊角的三角函数值图 3例 1　求 1 5°的四个三角函数值 .解作Ｒｔ△ＡＣＢ如…     

介紹新编高級中学平面三角課本

人民教育出版社最近出版了新編的高中平面三角課本,我参加了这本課本的編写工作,想在这里介紹一下它的主要內容。这本課本是我們根据1956-1957学年度中学数学教学大綱(修訂草案)編写的,虽然主要取材於苏联恩·雷布金所編的平面三角課本,但是各章的內容和順序都遵照大綱的規定重新編排,这样就解除了以前使用的雷布金課本和大綱不相一致而引起的教学上的不便。全書共分九章;为了适合我国的教学情况,在各章的适当处所插入了配合課文的習題,全書最后还附有复習題,这些習題和复習題都主要取材於阿·伊·胡多宾和恩·伊·胡多宾合編的三角習題彙編。第一章是0°到36°的角的三角函数。开始时說明三角学和其他学科一样,是在解决具体实际問題的过程中,由人类的实踐成長起来的,並且說明在我国很早的时候,就实际上已經求得了某些特殊角的三角函数的值。接着講解0°到360°的角的三角函数的定义。因为高中一年級平面几何里已經講过了銳角的三角函数,所以这里就在这一基础上直接講0°到360°的角的三角函数,避免了銳角的三角函数这一个內容的重复。     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题 三角函数 适用年级 初中三年级 学期 2004-2005学年度第二学期 训练目的 利用三角函数的定义和同角三角函 数的关系式,解决一些求值、化简及等 式证明的相关问题。 典型范例 例 不查表,求15°的四种三角函数值. 分析 30°,45°,60°这些特殊角的三角函数值, 我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何 性质及勾股定理直接给出.同样,15°角的三角函数 值,也可以通过构造适当的三角形,将它转化为30° 角的三角函数问题,这种将新的未知问题通过一定途     

学会发现,让我们富有探索精神

在三角函数的学习过程中,我发现除了一些特殊角的三角函数值可直接计算之外,还有一些非特殊角组成的三角函数式,可通过三角变换"整体"地求出它们的值.如cos20°cos40°cos80°,就可以巧妙地应用二倍角公式转化为1/8sin20°·8sin20°cos20°cos40°cos80°=1/8sin20°·sin160=1/8.实际上,与之形式相同的,如cos40°cos80°cos160°也同样可求得. 在做完这道题后,出于爱好研究一个系列问题的习惯,我又思考:cos40°+cos80°+cos160°的值易求吗?我先用计算器算,发现其值为0.再用理论进行推导.考虑到这些角与特殊角60°的差异,不难转化为cos(60°-20°)+cos(60°+20°)-cos20°,展开得其值为0.做完这道题后,又使我联想到求cos20°+cos40°+cos80°的值的问题.     

用几何方法求15°、75°角的三角函数值

初三几何教科书中,介绍了利用锐角分别为30°、45°的两个基本直角三角形,通过建立形与数之间的联系,直接求得30°、45°、60°等这些特殊角的三角函数值.在锐角中,15°和75°角也是较为特殊的角,利用基本的直角三角形,我们也可以求出它们的三角函数值.     

任意角的三角函数

本单元是三角函数的起始内容，也是学习后继内容的根基．教材首先将角的概念推广到任意角，并引入弧度制的表示方法；在此基础上，定义了任意角的六种三角函数；然后介绍同角三角函数的基本关系式以及三角函数的诱导公式，它们是进行三角恒等变换的必备基础．     

三角函数

三角函数是一类基本的、重要的函数,在数学、其它学科及生产实践中都有广泛的应用．新课改教材高中数学必修4第一章《三角函数》首先将角的概念推广到任意角,并引入弧度制的表示方法,在此基础上,定义了任意角的三角函数,介绍了同角三角函数的基本关系式以及三角函数的诱导公式,然后研究三角函数的图象和性质,并介绍了三角函数模型的简单应用．     

课外答疑也应注意启发

教学点滴 一天上晚自习时,有部分学生问我（老师）这样一道题：求ｓｉｎ １８°、ｃｏｓ ３６°的值． 我没有急于给出这道题的解法,而是启发学生思考． 老师：这道题是求非特殊角的三角函数数值,对于求非特殊角的三角函数值,我们学过了哪些方法？ 学生甲：将非特殊角转化成特殊角或者将非特殊角消掉（加、减）或约去（乘、除）． 老师：但这一道题我们无法将１８°、３６°转化成特殊角或将其消（约）去,我们以前学过的方法行不通了． （学生们展开了讨论,一时没有找到解法．这时,学生们将求知的目的光投向了老师）我没有将解法急于…     

談三角函数的单調性的教学

三角函数(在相应区间内)的单调性,和三角函数的其他性质(奇偶性,有界性,周期性等)一样,是三角函数的基本性质之一,它也是学习反三角函数,解三角不等式,确定某些函数的定义域,绘制三角函数图象的理论根据。但学生对三角函数的单调性及相应的单调区间,往往理解的并不清楚。“正切是永远上升的”,“余切是永远下降的”这种不正确的说法,就是不理解正切(余切)的单调性的反映。事实上正切在整个定义域内是没有单调性可言的,比如:0°<45°<135°,tg0°tg135°,这对单调函数来说     

一类三角不等式的通用证法

关于三角形内角的三角函数的不等式 ,例如sinAsinBsinC ≤3 38,sin A2 sin B2 sin C2 ≤ 18,cosA+cosB+cosC≤ 23,cos2A+cos2B+cos2C≥ - 23等 ,要证明它们通常需要比较丰富的技巧 .在这类不等式中 ,等号成立的条件均为A=B=C =60°.60°角是一个特殊角 ,它在不等式的证明中起什么作用呢 ?通过研究我们发现 ,倘若给不等式左侧配上相应的 60°角的三角函数后 ,角成双成对 ,反倒便于应用积化和差、和差化积公式 ,从而使这类不等式的证明成为简洁的、程序性的操作了 .1　直接添加 60°角的三角函数例 1　在△ABC中 ,求证cosA+cosB+cosC…     

构造对偶式求一类三角函数式的值

三角函数式求值的方法很多 ,笔者在近期的三角函数教学中发现 :构造对偶式来求某些类型的三角函数式的值非常简便 ,并且能够推导出比较好的结论 .下面举例说明 .例 1　求 sin2 1 0° cos2 4 0° sin 1 0°cos 40°的值 . (代数上册 P2 33例 9)解　令 x =sin2 1 0° cos2 4 0°     

“诱导公式”教学实录与反思--发现教学法应用案例

1基本情况笔者有幸为前来江苏淮安考察的西藏教育代表团上了一堂公开课,课题为"三角函数诱导公式(1)".所用教材是普通高中课程标准实验教科书苏教版必修4.1.1学生分析所教班级是我校高一重点班,学生数学基础较好,学习积极性较高.1.2教材分析学生在初中已经学习了锐角的三角函数值求法,前几节课又学习了任意角三角函数定义、三角函数线、三角函数基本关系式,本节内容以这些为基础,利用单位圆和三角函数的定义,导出三角函数的     

談談三角函数定义及其基本性貭部分的复习工作

“三角函数的定义及其基本性貭”这一部分的复习內容包括教本第一章0°到360°的角的三角函数,第二章弧与角的弧度制,第三章任意角的三角函数。这是全部中学三角課的基础,必須深透的加以复习,根据几年来高三三角总复习的实际經驗,使我們充分认識到,把三角函数的定义及其基本性貭放在主导地位对它的复习多用一些精力、多占一些时間是必要的、也是位得的。在复习順序上,可以将第二章弧与角的弧度制及第三章中§18角的概念的普遍化,§19終边相同的角綜合成“角的形成和度量”,在复习好正角負角及其单位換算的基础上,再将一、三两章概括起来,使学生通过复习能对三角函数的定义及其基本性貭有一系統深刻而又巩固的认識,并以概念指导形成熟练的运算技能技巧,具体作法如下。     

三角函数与解直角三角形的几种解法

在解直角三角形这一章中 ,锐角三角函数和解直角三角形是本章的重点之一 ,而锐角三角函数是解直角三角形的基础 .解直角三角形是解任意三角形的最基本的方法 ,有着广泛应用 .同学们应切实学好 .下面谈运用本章的知识进行解题的几种方法 .一、用锐角α的三角函数值都是正值和变化规律( 0 0 <α <90 0 ,则sinα,tanα随着α的增大而增大 ;cosα ,cotα随着α的增大而减小 )进行解题 .例 1　化简 :( 1 -cot3 0°) 2 +|1 -tan3 5°|+tan2 3 5° -cot45°.解 :原式 =|1 -cot3 0°|+|tan45°-tan3 5°|+|tan3 5°|-1=cot3 0°-1 +tan45°-tan3 5°…     

理清知识逻辑,经历概念抽象的思考过程——以锐角三角函数概念教学为例

在一次区教研活动中研讨浙教版教材“锐角三角函数”第1课时时,发现许多教师对锐角三角函数的概念理解不清,不知道概念“从哪里来,到哪里去”,也不清楚“定量研究边、角关系时为何要聚焦在用边之比刻画角”“为何要在直角三角形中研究锐角三角函数”等问题,难以引领学生经历概念教学的深度思考,导致学生只知其然不知其所以然,教学效果不理想.现将改进后的情况与大家交流.     

浅谈特例在数学教学中的应用

特例是数学学习中获取信息 ,寻求问题解决的一种基本方法 ,是培养学生学习主动性和创新精神的一种有效手段 .我尝试将这一手段和方法引入到教学中 ,取得了较为显著的成效 .1　特例是强化概念的有利工具很多学生在学习数学概念时 ,常常不能抓住它的本质属性 ,只是机械地记忆表述概念的名称 ,这样 ,由于某些概念的名称相近或类似 ,就容易造成理解上的混淆 .而特例的十分简明和有说服力 ,往往能起到正面例子所起不到的作用 .对周期函数的定义中当ｘ取定义域内的每一个值的表述学生理解不深 .教材特意安排了下题 :等式ｓｉｎ( 30°+ 1 2 0°) =…