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用升阶法求常系数非齐次线性微分方程的特解 总被引:2,自引:0,他引:2
一、引子线性非齐次方程的通解等于相应的齐次方程的通解加上自身的一个特解。对于二阶常系数非齐次线性方程y″+py′+qy =f ( x) ( 1 )因其相应的齐次方程 y″+py′+qy=0的通解已解决 ,这样方程 ( 1 )的特解的求得 ,就成为 ( 1 )通解求得的关键。针对 ( 1 )中 f( x)是某些特殊类型的函数 ,特别是 p( x) ,p( x) eλx,[p1( x) cosωx+p2 ( x) sinωx]eλx,(其中 p( x) ,p1( x)和 p2 ( x)为多项式 )时 ,一般教科书均按待定系数法来求得 ( 1 )的特解。当然 ,待定系数法有其方程式化的特点 ,但计算量太大。本文用升阶法来求常系数非齐次线性方程… 相似文献
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利用二元复合函数求导的链式法则,推导一阶线性齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(y)f1y=0的解,由此得出一阶线性非齐次偏微分方程P(x)f1x+Q(x)f1y=R(x)f和P(x) f1zx+Q(y)f1y=R(x)f的通解. 相似文献
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考虑 n阶常系数非齐次线性方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =f ( x) ( 1 )方程 ( 1 )的通解等于其对应的齐次方程y(n) +p1y(n- 1) +… +pn- 1y′+pny =0 ( 2 )的通解与它本身的一个特解之和。而方程 ( 2 )的通解 ,只要能求得 ( 2 )对应的特征方程的特征根 ,则( 2 )的通解问题就解决了。因此 ,求得 ( 1 )的一个特解就成为求微分方程 ( 1 )的通解的关键了。一般常微分方程教材或参考书 ,对于 f( x)的不同类型 ,分别采用降阶法、待定系数法、常数变易法、拉普拉斯变换法、算子法等方法求得其特解。本文再介绍一种新的方法——升阶法 ,用… 相似文献
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用初等变换法求Riccati方程的特解 总被引:2,自引:0,他引:2
一般的 Riccati方程 :dydx=p( x) y2 +q( x) y +r( x) ( 1 )其中 p( x)、q( x)、r( x)在区间 [a,b]上连续 ,而且 p( x)≠ 0。只利用初等积分法不一定能求出它的通解 ,但是 ,如果 p( x)、q( x)、r( x)是一些特殊的函数 ,那么 ( 1 )的通解就可能完全利用初等积分法求出来。另外我们知道 ,只要求得 ( 1 )的一个特解 ,再对 ( 1 )作适当的变换 ,就可以求出它的通解 ,可见求特解是关键。本文利用初等变换的方法 ,给出三种不同类型的 Riccati方程特解的简便求法。我们约定用 A( x)表示多项式 A( X)的次数 ,结论一 p( x)为常数 ,1 ) q( x) =0 ,… 相似文献
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微分方程解的理论告诉我们:通解中任意常数的个数与方程的阶数相同,求得通解后,利用初始条件就可确定其特解。但对某些特殊问题,微分方程的通解中任意常数的个数多于微分方程的阶数或持解决定不出。我们认为这并不是解的理论出了问题,而是一些条件没有得到充分利用,笔者将其称为“隐含条件”。现举例说明如下:试求函数f(x)。解为:而一阶方程只含一个任意常数。分析可知:f(t)是方程的解,则存在。据可导必连续有人0”)一八百)定出口2*一1.故所求通解为人X)一在这里f连续是“隐含条件”。例2求方程y”W4y一3sinx在卜一。,… 相似文献
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1. 設在利卡迪方程 dy/dx=f(x)y~2+g(x)y+h(x) (1)中,係數f(x),g(x),h(x)均在某區間a相似文献
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我们来看一个简单的问题 :一个函数的 n阶导数等于其自身 ,求该函数。如果用 y=f( x)表示未知的函数 ,问题转化为解微分方程y( n) =y ( 1 ) n=1时 ,方程为 y′=y,一个特解为 y1=ex。n=2时 ,方程为 y″=y,两个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x。n=3时 ,方程为 y =y,特征方程为 λ3=1 ,λ=1 ,-12 ± i 32 ,三个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x2 cos 32 x,y3=e- x2 sin 32 x。n=4时 ,方程为 y( 4) =y,特征方程为λ4 =1 ,λ=± 1 ,± i,四个线性无关的特解为 y1=ex,y2 =e- x,y3=cosx,y4 =sinx。n=5时 ,方程为 y( 5) =y,特征方程为 λ5=1 ,… 相似文献
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A 题组新编1 .函数 f ( x) =2 x - ax 的定义域为( 0 ,1 ]( a为实数 ) .( 1 )若 a =- 1时 ,求函数 y =f ( x)的值域 ;( 2 )若函数 y =f ( x)在定义域上是减函数 ,求 a的取值范围 ;( 3)若 a≥ 0时 ,判断函数 y =f ( x)的单调性并证明 ;( 4 )求函数 y =f ( x)在 x∈ ( 0 ,1 ]上的最大值及最小值 ,并求出函数 y =f ( x)取最值时 x的值 ;( 5)若 f ( x) >5在定义域上恒成立 ,求 a的取值范围 .2 .设 f ( x) =ax2 bx c( a >b>c) ,f ( 1 ) =0 ,g( x) =ax b.( 1 )求证 :函数 y =f ( x)与 y =g( x)的图像有两个不同的交点 ;( 2 )设 y =f ( x)… 相似文献
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一类变系数微分方程通解公式的求法 总被引:2,自引:0,他引:2
已知微分方程y″+a(x)y′+b(x)y=f(x)相对应的Riccati方程z′+z2-a(x)z+b(x)一个特解,可以导得原二阶线性常系数微分方程的通解公式。 相似文献
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值此新年到来之际,谨编写有关“2008”趣题10例,供广大数学爱好者赏析,并祝大家在新的一年里万事如意!1.若定义在R上的函数y=f(x 1)的反函数是y=f-1(x-1),且f(0)=1,求f(2008).解由y=f-1(x-1)得x-1=f(y),则y=f-1(x-1)的反函数为y=f(x) 1,即f(x 1)=f(x) 1.则f(2008)=f(2007) 1=… 相似文献
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所谓函数思想的运用 ,就是对于一个实际问题或数学问题 ,构建一个相应的函数 ,用函数的有关知识去分析问题 ,最终达到目的———解决问题 .运用函数思想解题是中学数学中的一种重要方法 .下面举例说明函数思想在数学解题中的应用 .1 求值例 1 设x ,y∈R ,且 (x - 1 ) 3 +2 0 0 3(x- 1 ) =- 1 ,(y - 1 ) 3 +2 0 0 3(y - 1 ) =1 ,求x+y的值 .解 设 f(t) =t3 +2 0 0 3t,易知 f(t)是奇函数 ,且在R上是增函数 ,故由已知条件得f(x - 1 ) =- f(y - 1 ) =f(1 - y) ,∴x - 1 =1 - y ,∴x +y =2 .例 2 已知x ,y∈ - π4 ,π4 ,a∈R且x3 +sinx - … 相似文献
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我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数 .由于这种表现形式的抽象性 ,使得直接求解思路难寻 .解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 ,即赋予恰当的数值或代数式 ,经过运算与推理 ,最后得出结论 .下面分类予以说明 .1 判断函数的奇偶性例 1 若 f ( x + y) =f ( x) + f ( y)对于任意实数 x、y都成立 ,且 f( x)不恒等于零 ,判断函数 f ( x)的奇偶性 .解 在 f( x + y) =f ( x) + f ( y)中令x =y =0 ,得 f( 0 ) =0 .又在f ( x + y) =f( x) + f ( y)中令 y =- x,这样就有 f ( x - x) =f ( x) + f( - x) ,即 f ( 0 ) =f ( x) + f ( - x)… 相似文献
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题 1 设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2 设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1 令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴ f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴ y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2 令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴ 函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,… 相似文献
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《高等数学研究》2002,5(2):45-47
一、填空题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分。)( 1 ) ∫+∞cdxxln2 x=[1 ]。( 2 )已知函数 y=y( x)由方程 ey+6xy+x2 -1 =0确定 ,则 y″=[-2 ]。( 3 )微分方程 yy″+y′2 =0满足初始条件 y|x=0 =1 ,y′|x=0 =12 的特解是 [y=x+1或 y2 =x+1 ]。( 4)已知实二次型 f( x1,x2 ,x3) =a( x21+x22 +x23) +4 x1x2 +4 x1x3+4 x2 x3经正交变换 x=Py可化成标准形 f=6y21,则 a=[2 ]。( 5)设随机变量 X服从正态分布 N (μ,σ2 ) (σ>0 ) ,且二次方程 y2 +4 y+X=0无实根的概率为 12 ,则μ=[4]。二、选择题 (本题共 5小题 ,每小题 3分 ,满分 1 5分… 相似文献
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任何事物的矛盾都是普遍性和特殊性的辩证统一 ,普遍性存在于特殊性之中 ,特殊性里包含着普遍性 ,因此认识“特殊”是认识“一般”的入门向导 .求二元一次不定方程的一个特解 ,是求该方程通解的关键 ,也是求二元一次不定方程的正整数解或二元一次不定方程应用题的重要基础 .用观察法求特解 ,简便易行 ,快速敏捷 .下面 ,举例说明用观察法求特解的一点技巧 .1 对于二元一次不定方程 ax by=c( a,b,c为整数 ,( a,b) =1) ) ,当 a|c或 b|c的情况 .例 1 求 3 x 5 y=9的一个特解 .解 ∵ ( 3 ,5 ) |9,此方程有整数解 .求特解∵ a=3 ,3 |9 可… 相似文献