单位圆在三角函数不等式证明中的作用

利用单位圆与三角函数的关系,将三角函数视为几何图形中的面积或边长,本文收集了一类三角函数不等式的初等证明方法.     

单位圆在三角不等式中的应用

单位圆是数学中研究问题与解决问题的一个重要工具。通过单位圆所表示的三角函数线段能将比较抽象的三角函数量,表示成形象的有向线段,从而能将非几何的问题转化成几何问题来解决。本文拟就单位圆在三角不等式中的应用谈谈几点想法. 一、用单位圆解三角不等式某些三角不等式,利用单位圆来解,比较形象直观,并且可以加深学生对三角函数定义和性质的理解、     

利用单位圆证明三角不等式

在单位圆中,圆心角的弧度数与它所对弧的弧度数相等,圆心角的三角函数值可以用三角函数线来表示。利用单位圆的上述特点.证明某些既含角又含三角函数的三角不等式,往往可以使证明过程既简练又     

单位圆在解题中的应用

我们知道,利用单位圆中的某些特定的有向线段,定义了三角函数线。这对于直观地表示任意角的三角函数值,描绘三角函数图象及研究三角函数的有关性质提供了极大的方便。此外,利用单位圆这一最基本、最简单的几何图形还可以帮助我们从另一个角度或更巧妙地解决某些数学问题。例如,利用单位圆实行数形     

“三角函数线”在解題中的应用

高中《代数》(甲种本)第一册“用单位圆中的线段表示三角函数”一节中,介绍了利用单位圆中的某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数值,通常称它们为三角函数线。三角函数线的引入对绘制三角函数的图象,研究三角函数的性质起了奠基作用,笔者认为,“三角函数线”是《三角》中的基本概念,如能更好地发挥“三角函数线”本身的直观性,那么许多问题的处理可     

浅谈三角函数线在《三角函数》教学中的作用

三角函数线是单位圆中用来表示三角函数值的有向线段.中学课本中讲了正弦线、余弦线和正切线,这些在单位圆中的线段的长度表示三角函数值的绝对值,它们的方向表示三角函数值的符号(向上或向右为正,向下或向左为负),即这些三角函数线的数量就等于其对应角的三角函数值.课本中三角函数的图象就是用“三角函数线法”即“几何法”作出的,其好处除了课本中阐述的两点之外,还可以培养学生运动变化的观点.所以,三角函数线在《三角函数》的教学中运用很广,其特点是形象、直观、易于理解,对学生理解和记忆相应的公式和解决有关问题,特别是快速解选择…     

关于《两角和与差的余弦》的几点思考

文[1]对《两角和与差的余弦》在教材中的地位和作用、这一节课的教学目标、重点、难点和关键作了精辟的分析,读后获益非浅.但是在教学模式和课堂设计方面,笔者觉得下列几点是可以商榷的.1　文[1]写道:“探讨三角函数问题的最常用最基础的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线.”本节课未用到三角函数线,也可在半径不为1的圆中研究.本节课用的是更一般的工具———坐标法.根据三角函数的定义,把有关角的正、余弦转化为角的终边与单位圆交点的坐标.2　文[2]写道:“关键突破性阶段ｃｏｓ(α β)=?……让学生去探索,若5分钟后学生…     

在三角方程解的通值教学上的一些经验

数学教学大纲指示:“不必强记反三角函数的通值公式.”“要求出方程的一切解(不强求把一切解的通值再加综合).”在教反三角函数时,是从图象和单位圆使学生了解反三角函数的多值性,并根据图象和单位圆得出通值,不归纳成公式.在这一基础上,本学期又研究了数学教学大纲和柏拉斯基著的中学数学教学法;在教三角方程这一单元时,学生写出三角方程的一切解是依靠单位圆,做到不强记通值公式.因为解三角方程写出通值之前,先要求得基本三角方程;因此只就解基本三角方程为例,介绍写出解的通值的这一点做法.     

三角函数綫教学的几个問題

一、三角函数綫在三角教学中的地位与作用中学三角的基本任务有三:第一、研究三角函数及其性质;第二、研究三角形解法;第三、讲授三角在其它学科上的实际应用。其中,三角函数及其性质的研究,是三角学的基础知識,是三角学的中心。高中三角的前三章,对完成这一任务,有突出重要的地位。在这部分内容中,单位圆和三角函数綫的地位与作用又很突出。主要表現在以下三个方面: 1.是巩固与加深三角函数概念的重要手段。三角函数定义,是研究三角函数的基础。单位圆及三角函数綫,利用几何形象,把三角函数概念直观地表現了出来,既有助于定义的理解与巩固,又为利用几何方法研究三角函数創造了条件。 2.是研究三角函数性貭及其关系的有力工具。三角函数基本性貭及其相互关系的研究,如三角函数定义域、三角函数周期性、增減性、奇偶性、有界性、基本关系式、誘导公式等等,多是借助于单位圓与三角函数綫进行研究的,通过把三角函数用綫段表示,将三角     

复合型三角函数定义域问题的图解法

复合型三角函数的定义域借助于图形 (单位圆、三角函数线、三角函数的图象、数轴等 )来解 ,具有直观、易懂、便于掌握的优点 ,同时还可以培养学生的创新意识 .下面介绍几种常用方法 .1　单位圆法如果确定定义域的不等式组是纯三角不等式组 ,则适应于单位圆法 .即在单位圆内找出三角不等式组中的各个不等式的解区域 (即解 (角 )的终边所在的区域 ) ,然后取其公共区域即交集 ,就是所求的定义域 .例 1　求函数ｙ =ｌｇ(ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ) +ｃｓｃｘ的定义域 .解　解不等式组　　　 ｓｉｎｘ·ｃｏｔｘ >0ｃｓｃｘ≥ 0(1)(2 )图 1　例 1图在单…     

三角函数线在解答中的应用

单位圆中的三角函数线是三角函数的一种几何表示 .用函数线的数值来代替三角函数值比由定义所规定的比来得出三角函数的值优越得多 .因此 ,三角函数线是讨论三角函数性质的一个重要工具 .透彻理解在单位圆中的三角函数线并能灵活运用是解三角题的重要技巧 .例 1　 ( 1 992年高考题 )在 [0 ,2π]上满足ｓｉｎｘ≥12 的ｘ的取值范围是 (　　 )(Ａ) 0 ,π6 .　　　 (Ｂ) π6 ,5π6 .(Ｃ) π6 ,2π3. (Ｄ) 5π6 ,π .图 1　例 1图分析　由图 1中很容易看出在 [0 ,2π]上满足条件的ｘ应满足 :π6≤ｘ≤5π6 ,故选 (Ｂ) .评注　对于这类简单的三角…     

单位圆与三角函数线的妙用

<正>单位圆与三角函数线具有直观、简捷、准确、方便的特点,对于解决三角函数中一些求值、求范围、比较大小及证明题可以化难为易、思路清晰,效果颇好,是一种重要的手段.一、确定角的范围例1若sinx>1/2,求x的取值范围.解如图1,作单位圆,并作直线y=1/2与单位圆交于A、B两点,连结OA、OB,当α终边落在图     

例析数形结合法解决三角问题

有关三角函数的单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题,一般先将函数化成基本三角函数的形式,借助于单位圆或三角函数的图像来处理,数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要方法．     

单位圆自述

我叫单位圆 ,大家经常见 .半径单位长 ,圆心在原点 .三角函数线 ,尽在圆中现 ;①几何作图象② ,我来作贡献 ;推导三公式③ ,我把功来建 ;求角定范围④ ,我常冲在前 ;三角不等式 ,我解最方便 ;构造单位圆 ,新颖有创见 .图 1　单位圆中三角函　　　数线示意图注 :①在单位圆中 ,ＭＰ ,ＯＭ ,ＡＴ ,ＢＮ分别是角α的正弦线、余弦线、正切线、余切线 .②用单位圆的正弦线、余弦线和正切线 ,可作正弦、余弦、正切函数的图象 ,这是三角函数图象的几何作法 .③三公式指关于 1 80° +α ,-α的诱导公式及Ｃα +β.④求取值范围问题、解三角不等式问…     

构造单位圆和正切线巧解三角化简求值问题

单位圆和三角函数线是解决三角问题的重要工具之一,利用它们能充分挖掘出三角中的几何背景,沟通数与形的关系,从而使抽象问题直观化.但是高中数学教材中引入三角函数线的目的只是为进一步引入三角函数的图象和性质做铺垫,因此三角函数线的重要作用没有充分得到发     

单位圆在三角问题中的应用

在三角函数中会经常遇到一些涉及已知三角函数值求角 ,求三角函数值 ,比较三角函数值的大小及其证明的问题 .有时解决以上问题 ,会遇到一些困难 ,由于单位圆具有直观、准确、方便的特点 ,因而 ,利用单位圆去思考、分析和判断 ,可使问题化难为易 ,思路清晰 ,它是解决三角函数问题的一种重要手段 .一、求角 (函数定义域 )图 1例 1　求函数ｙ =ｌｏｇ21ｓｉｎｘ-1的定义域 .解　要使函数有意义 ,须满足ｌｏｇ21ｓｉｎｘ-1≥ 0 ,∴　ｌｏｇ21ｓｉｎｘ≥ 1,1ｓｉｎｘ>0 ,|ｓｉｎｘ|≤ 1,即　1ｓｉｎｘ≥ 2 ,0 <ｓｉｎｘ≤ 1.∴　 0 <ｓｉｎｘ≤ 1…     

“诱导公式”教学实录与反思--发现教学法应用案例

1基本情况笔者有幸为前来江苏淮安考察的西藏教育代表团上了一堂公开课,课题为"三角函数诱导公式(1)".所用教材是普通高中课程标准实验教科书苏教版必修4.1.1学生分析所教班级是我校高一重点班,学生数学基础较好,学习积极性较高.1.2教材分析学生在初中已经学习了锐角的三角函数值求法,前几节课又学习了任意角三角函数定义、三角函数线、三角函数基本关系式,本节内容以这些为基础,利用单位圆和三角函数的定义,导出三角函数的     

圆与三角函数结合

<正>在圆中求一个三角函数时,通常通过圆的基本性质构造直角三角形或把要求的三角函数转化为等角的直角三角形求解.同样通过三角函数转化直角三角形求得圆中的相关值.类型一利用圆转化角求三角函数值例1已知,如图1(1)所示,M、N、P为     

巧用三角函数线解题

巧用三角函数线解题２０１５００上海市金山县中学戴丽萍在现行全国统编教材的三角内容中，介绍了用单位圆上的有向线段──三角函数线来表示三角函数．但教材限于篇幅对三角函数线的应用，仅在描绘三角函数的图象，探究三角函数的性质时作了部分应用．如在解题时，能恰当...     

一类三角不等式的证明

三角不等式的证明方法是多种多样的。有一类有关角与三角函数的不等式同学们往往无从下手,觉得角与三角函数之间的关系很难发现。下面就介绍一种这类题目的常用的证法——单位圆证法。这种证法的主要步骤是:在单位圆中将角与三角函数用它们对应的弧、线段表示出来,然后依靠图形直观地加以比较。这种方法简洁,易于掌握。