函数极值存在的一个充分条件

函数极值的必要条件是众所周知的,然而,无论是高中数学教材还是一般的工科高等数学教材,对函数极值的充分条件均没有讲解透彻,在掌握了第二充分条件f′(x0)=0且f″(x0)≠0后,自然会想到,对于f′(x0)=0且f″(x0)=0的情况又该如何,这个问题导致许多高中学生和高校学生对此类问题的疑惑与迷茫。笔者对此进行了探究,过程如下。取一组图象熟知的幂函数,考察它们在x=0处的导数、极值情况.函数f(x)-x5-x4-x3-x2x x2x3x4x5x=0时的极值无极大无极大无极小无极小无x=0时的导数f′(0)=…=f(4)(0)=0,f(5)(0)≠0f′(0)=f″(0)=f(0)=0,f(4)(0)<0f′(0)=f″…     

关于多元函数极值存在的充分条件

<正> 多元函数极值问题是“高等数学”中一个最基本的,也是最重要的内容。随着电子计算机的日益普及与发展,这一问题在工程技术的各个部门已应用得越来越广泛。而现行的“高等数学”教材中极值的定义及充分条件都比较苟刻。本文绘出了比现行教材条件更弱的极值定义及在更弱的条件下得出了存在极值的充分条件。     

多元函数取局部极值的一个充分条件

约定 :设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D( D Rn)上具有连续偏导数的 n元函数 ,若方程组 f′xi= 0 ( i=1 ,2 ,… ,n)有实数解 P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,xn0 ) ,则称 P0 是 f的一个稳定点。定理　设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D上具有二阶连续偏导数的 n元函数 ,P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,x0n)是它的一个稳定点。对任意点 P( x1,x2 ,… ,xn) ,记 aij =f″xixj( P) ,矩阵 A =( aij) =a11a12 … a1na2 1a2 2 … a2 n…………a2 1a2 2 … a2 n。若矩阵 A在稳定点 P0 的某邻域上恒是正定或半正定的 (负定或半负定的 ) ,那么 f在点 P0 处取局部极小 …     

二元函数极值充分条件的评注

本文对二元函数极值的充分条件作了进一步的讨论 ,得到了 AC-B2 =0时 ,二元函数极值判定的充分条件     

二元函数极值充分条件的评注

本对二元函数极值的充分条件作了进一步的讨论，得到了AC－B^2=0时，二元函数极值判定的充分条件。     

n元函数局部极值存在的一阶充分条件

提出了n(n≥1)维欧氏空间中,相对经典无约束最优化问题更一般情况下,局部极值存在的统一的一阶充分条件,解决了最优化领域至今没有这一结论的困难,证明了一元函数局部极值存在的一阶充分条件是它的特殊情况.通过具体例子说明了该文结论可以消除经典的多元函数局部极值存在的二阶充分条件的缺点,最后在拟凸、拟凹假设下证明了该结论还是n元函数局部极值存在的充分且必要条件.     

多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义

在现有的高等数学教材中 ,如文献 [1 ],多元函数取局部极值这一部分仅介绍二元函数在驻点处的情况 ,而有的驻点也无法判断是否为极值点。文献 [2 ]给出了多元函数取局部极值的一个充分条件 ,但也仅考虑驻点的情况 ,有的驻点也无法判断是否为极值点。本文提出的方法 ,对驻点和偏导数不存在的点均能判断是否为极值点 ,且对多元函数本身要求不高。对于二元函数 ,此方法有其明显的几何意义。定理　设 f( x1,x2 ,… ,xn)在 P0 ( x01,x02 ,… ,x0n)的邻域 U( P0 ,δ)内连续 ,且在去心邻域 U( P0 ,δ)内有一阶连续的偏导数。若在 P0 ( x01,x02…     

数学教学中的思维定势

思维定势是心理学理论中的一个术语 .定势理论认为 ,定势是指一定的心理活动所形成的一种预先的心理状态 ,它使人们以比较固定的方式去进行认知或作出反应 ,并影响着问题解决时的趋向性 .这种趋向性 ,有时有助于解决问题 ,起着正效应 (正迁移 ) ,有时会妨碍问题的解决 ,带来负效应 (负迁移 ) .任何人在思考问题时 ,都会受到思维定势的作用 .鉴于思维定势的两重性 ,我们在教学时如何挖掘思维定势的正效应的积极因素 ,克服思维定势的负效应的消极影响 ,这不仅是提高数学教学质量的有力保障 ,而且也是我们必须研究的一个重要课题 .下面就此谈谈…     

一元隐函数取极值的一般充分条件

在本文中,我们给出了判定一元隐函数取极值的一般充分条件,为判定一元隐函数取极值提供了一般的判定方法.     

多元函数极值充分条件证明的一元方法

从多元函数极值的定义出发,用一元函数的方法给出了二元和三元函数极值判定的充分条件的证明,其中只涉及了偏导数的求法.相对于多元函数极值充分条件证明的多元泰勒公式方法,本文所用的方法更为直接而且简明.     

学生"问题空间"转换的展示平台——解题记录

现代认知心理学认为，就内在的思维活动而言，解决问题的过程就可被看成“问题空间”的不断转换．这里的“问题空间”是指任务范围的内部心理表征，包括对目标、现有状态与目标状态的差别、可以执行哪些操作等等的理解．由此看来，学生在解决问题时所建构的“问题空间”的质量是问题解决是否成功的关键所在．舍费尔德曾以解题记录的方式去研究影响数学问题解决的因素．鉴于此，笔者认为在学生解决问题时，采取“解题记录”的方式去展示学生“问题空间”转换的过程是一种行之有效的手段，并在教学中进行了摸索和尝试。     

拟凸函数的一个充分条件

十多年来,广义凸函数的研究构成了数学规划研究的趋向之一。拟凸函数是数学规划中常见的一种广义凸函数类。然而,对于给定的一个函数,如何用二阶导数判别其广义凸性。现有文献中,见之不多。Ferland[1]等人在七十年代初用K阶加边行列式的方法曾经讨论过一个二次可微函数是拟凸函数的必要条件和充分条件。熟知,对于一个二次可微函数,二阶导数可以表征函数的凸性。本文根据微分方程的极值原理,给出一个二次可微函数是拟     

面对学生的困惑

在教学中 ,有时会碰到许多学生感到困惑不解的问题 ,如何解决这些问题呢 ?既要发挥学生的主体作用 ,引导学生积极探索 ,更要体现教师的主导作用 ,给学生一个满意的解答 .图 11　打破思维定势解除困惑例 1　如图 1 ,一个盛满水的三棱锥容器 ,不久发现三条侧棱上各有三个小洞 ,D ,E ,F .且知SD∶DA =SE∶EB =CF∶FS=2 ∶ 1 .若用这个容器盛水 ,则最多可盛原来水的 (　　 )(A) 2 32 9　　 (B) 2 32 7　　 (C) 1 92 7　　 (D) 3135解　作截面DEF ,VF-SDEVC-SAB=232 ·13=42 7,所以盛水的最大体积是 1 - 42 7=2 32 7,故选 (B) .图 …     

不可忽视朴素的常识性的东西

诚如文所言，数学问题解答栏每期登场的五个问题，经常构筑成问题研究链的模式——激趣、简证、加强、推广、引发更深层次的研究．但我们也应该看到，即使是高明的作者，也难免受思维定势的消极影响，加之时间、精力所限，必然会有一些问题的解答或显得理解不到位，或显得认识太封闭，顾此失彼，思路狭窄，缺乏创新．     

创设探究时机培养数学能力

教育心理学的研究认为,积极的心智活动是有效学习的重要保证.我们在教学中创设时机,引导学生探究新知识、探究问题解决的途径,有效促进了学生心智活动,切实培养了数学能力.今将我们的做法介绍如下,供参考.1让学生探究新知识引领学生参与新知识发生过程的探究,可以优化认知结构,     

克服思维定势，探索解题捷径——初中数学解题教学的点滴做法

思维定势是人们长期形成的一种习惯的思维方向。在解题教学中,有些教师采用“类型+方法”的教学模式,让学生在题海中找到应付考试的“验方”。久而久之,学生思维就会僵化,形成解题方法的思维定势,以至出现了解法呆板、运算繁琐,滥用公式,生搬硬套,错解出等现象,     

一个字引发的思考——数学语言运用必须精炼正确

数学语言是一种特殊的语言,人们借助于语言把丰富的感性材料加以分析和综合,由此及彼、由表及里、去伪存真,从而揭示不能直接感知到的事物的本质规律.现代心理学、教育学认为:语言的准确性体现着思维的周密性;语言的层次连贯性体现着思维的逻辑性;语言的多样性体现着思维的灵活     

函数非一致连续的一个充分条件

对于导函数f′（x）在区间（a,b）（其中a可为-∞,b可为＋∞）无界的情形,通过序列的上极限引入适当条件,可给出判断函数f（x）在（a,b）非一致连续的一个充分条件.